专题10.1 二元一次方程组的概念（4大知识点+ 7大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦二元一次方程组的概念这一核心知识点，系统梳理二元一次方程的定义与三大核心条件，二元一次方程组的构成特征，方程（组）解的定义及判断方法，以及特殊解的求解步骤，形成从概念理解到应用的递进学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计与核心素养融合，基础题型强化概念辨析，如判断二元一次方程个数培养抽象能力，培优题型如根据实际问题列方程组发展模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题10.1 二元一次方程组的概念 知识点1：二元一次方程的概念与特征 1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2.三大核心条件（缺一不可）： 整式方程：等号两边均为整式，分母不含未知数（如不是二元一次方程）； 双未知数：方程中只含有两个不同的未知数（如不是二元一次方程）； 次数为1：含有未知数的项的次数都是1，而非未知数的次数都是1（如中项次数为2，不是二元一次方程）。 3.一般形式：（、、为常数，且，）。 知识点2：二元一次方程组的概念与特征 1.定义：由两个含有相同两个未知数的一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 2.三大核心条件（缺一不可）： 方程类型：每个方程均为整式方程且是一次方程； 未知数个数：方程组中总共含有两个不同的未知数（允许单个方程只含一个未知数，如是二元一次方程组）； 项的次数：含有未知数的项的次数均为1。 3.一般形式：（、、、不同时为0）。 知识点3：二元一次方程（组）的解 类型 定义 核心特征 判断方法 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 1.解为成对出现的未知数的值（用大括号联立，如）； 2.一般有无数组解，附加限制条件（如正整数）后解的个数有限 将未知数的值代入方程，左右两边相等则为解 二元一次方程组的解 二元一次方程组中两个方程的公共解 1.解需同时满足方程组中所有方程； 2.一般只有一组解（特殊情况：方程组无解或有无数组解） 将未知数的值代入每个方程，所有方程左右两边均相等则为解 知识点4：二元一次方程的特殊解 1.常见限制条件：正整数解、非负整数解、整数解等； 2.求解步骤： 变形：将方程化为用一个未知数表示另一个未知数的形式（如化为）； 划界：根据限制条件确定自变量的取值范围（如非负整数解中，且）； 试值：在取值范围内逐一代入，筛选出符合条件的解； 确定：整理所有符合条件的解，用大括号联立表示。 【基础必考题型】 【题型1】判断二元一次方程的个数 1.核心知识点 二元一次方程的三大核心条件；整式方程的判断；含未知数项的次数判断。 2.解题方法技巧 ①逐个筛查：对每个式子依次判断是否满足“整式方程、双未知数、项次数为1”； ②排除法：先排除非整式方程（分母含未知数）、未知数个数≠2的式子，再排除含未知数项次数≠1的式子； ③验证结论：对疑似二元一次方程的式子，再次核对是否符合所有条件，避免遗漏。 【例题1】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【题型2】判断二元一次方程组的个数 1.核心知识点 二元一次方程组的三大核心条件；方程组中未知数的统一性；单个方程的类型要求。 2.解题方法技巧 ①整体分析：先看方程组中总共含有的未知数个数是否为2； ②逐个验证：检查每个方程是否为整式方程且是一次方程； ③特殊情况处理：若单个方程只含一个未知数，需确认另一个方程含相同的第二个未知数，且整体满足次数要求。 【例题2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·周测）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】检验一对数值是否为方程（组）的解 1.核心知识点 二元一次方程（组）解的定义；代入验证的逻辑。 2.解题方法技巧 ①方程验证：将数值代入方程左右两边，计算后若两边相等，则为方程的解； ②方程组验证：需将数值代入方程组中所有方程，只有每个方程左右两边均相等，才是方程组的解； ③格式规范：验证过程需写出代入步骤和计算结果，明确判断结论。 【例题3】.（25-26七年级下·吉林长春·月考）下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（   ）. A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【题型4】用含一个未知数的式子表示另一个未知数 1.核心知识点 等式的基本性质；二元一次方程的变形技巧。 2.解题方法技巧 ①移项：将含目标未知数的项留在左边，其他项移到右边（移项要变号）； ②系数化为1：在等式两边同时除以目标未知数的系数（系数为分数时，等价于乘以倒数）； ③化简结果：将表达式化为最简形式（如化简为）。 【例题4】.（25-26七年级上·全国·课后作业）把方程变形，用含的式子来表示，则________；用含的式子来表示，则________． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知，用含x的代数式表示y，则______． 【变式题4-2】.（2026七年级下·广东广州·专题练习）将方程变形为用含y的式子表示x，那么_______． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把二元一次方程化为的形式，则__． 【培优高频题型】 【题型5】根据定义求字母的值（或取值范围） 1.核心知识点 二元一次方程（组）的定义；绝对值的性质；整式方程的隐含条件。 2.解题方法技巧 ①列条件等式：根据“含未知数的项的次数为1”列等式（如）； ②列限制不等式：根据“未知数系数不为0”列不等式（如）； ③求解验证：解等式和不等式的组合，代入原方程验证是否符合所有条件（避免遗漏隐含限制）。 【例题5】.（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）如果方程是表示关于x，y的二元一次方程，那么m的值是______． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东河源·月考）若方程是二元一次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【题型6】根据方程（组）的解求字母的值 1.核心知识点 二元一次方程（组）解的定义；一元一次方程的解法。 2.解题方法技巧 ①代入转化：将已知解代入方程（组），把含字母的二元一次方程转化为关于字母的一元一次方程； ②求解字母：解一元一次方程得到字母的值； ③多字母处理：若含多个字母，需结合方程组中两个方程分别代入，得到方程组后求解。 【例题6】.（2025九年级下·广东广州·专题练习）若是关于，的二元一次方程的一个解，则___． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7】根据实际问题列二元一次方程（组） 1.核心知识点 数学建模思想；找实际问题中的等量关系；二元一次方程（组）的表达。 2.解题方法技巧 ①审题设元：明确题目中的两个未知量，用、表示； ②找等量关系：从题目中提取两个独立的等量关系（如“总数量”“总费用”“总路程”等）； ③列方程（组）：根据等量关系列出对应的二元一次方程（组），注意单位统一。 【例题7】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）古代数学著作《九章算术》有这样一道题，今有糙米、白米共五十斗，糙米二斗可换白米一斗．若将全部糙米换白米，共得白米三十斗．问糙米、白米原有各几斗？设糙米原有斗，白米原有斗，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（2025·广东深圳·二模）滨海学校在“玩转数学”为主题的数学节活动中，将份奖品分给了名学生，若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份．根据题意可列方程（组）（   ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为______． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，竹竿y根，根据题意可列方程为________． 易错点 对二元一次方程（组）的定义理解不透彻，忽略“整式方程”要求（如认为是二元一次方程）； 误将“含未知数的项的次数为1”理解为“未知数的次数为1”，导致判断为二元一次方程； 3.检验方程组的解时，只代入一个方程验证，忽略“公共解”需满足所有方程的要求； 4.求二元一次方程的特殊解时，未先确定自变量的取值范围，导致漏解或多解； 5.根据定义求字母值时，忘记“未知数系数不为0”的隐含条件（如方程为二元一次方程时，忽略）。 重点 1.掌握二元一次方程（组）的定义和核心条件，能准确判断一个方程（组）是否为二元一次方程（组）； 2.理解二元一次方程（组）的解的定义，能熟练检验一对数值是否为解； 3.会将二元一次方程化为用一个未知数表示另一个未知数的形式，能求解含限制条件的特殊解； 4.能根据实际问题中的等量关系，列出二元一次方程（组），体现数学建模素养。 难点 含参数的二元一次方程（组）中参数的求解，尤其是结合解的限制条件（如正整数解、）的情况； 2.二元一次方程特殊解的求解，需灵活变形方程并准确划界自变量的取值范围； 3.实际问题与数学模型的转化，尤其是含跨学科、数学文化情境的题目，需准确提取等量关系； 4.二元一次方程组解的特殊情况（无解、无数组解）的理解与判断； 5.开放题和方案设计题的解答，需结合题意全面考虑所有可能性，避免遗漏符合条件的答案。 【对应练习题】 1．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 3．下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．若方程组的解为，则__． 5．若是二元一次方程，则________，________． 6．方程是二元一次方程，则的取值范围是_________； 7．已知是二元一次方程组的解，求的值． 8．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 9．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 二元一次方程组的概念 知识点1：二元一次方程的概念与特征 1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2.三大核心条件（缺一不可）： 整式方程：等号两边均为整式，分母不含未知数（如不是二元一次方程）； 双未知数：方程中只含有两个不同的未知数（如不是二元一次方程）； 次数为1：含有未知数的项的次数都是1，而非未知数的次数都是1（如中项次数为2，不是二元一次方程）。 3.一般形式：（、、为常数，且，）。 知识点2：二元一次方程组的概念与特征 1.定义：由两个含有相同两个未知数的一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 2.三大核心条件（缺一不可）： 方程类型：每个方程均为整式方程且是一次方程； 未知数个数：方程组中总共含有两个不同的未知数（允许单个方程只含一个未知数，如是二元一次方程组）； 项的次数：含有未知数的项的次数均为1。 3.一般形式：（、、、不同时为0）。 知识点3：二元一次方程（组）的解 类型 定义 核心特征 判断方法 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 1.解为成对出现的未知数的值（用大括号联立，如）； 2.一般有无数组解，附加限制条件（如正整数）后解的个数有限 将未知数的值代入方程，左右两边相等则为解 二元一次方程组的解 二元一次方程组中两个方程的公共解 1.解需同时满足方程组中所有方程； 2.一般只有一组解（特殊情况：方程组无解或有无数组解） 将未知数的值代入每个方程，所有方程左右两边均相等则为解 知识点4：二元一次方程的特殊解 1.常见限制条件：正整数解、非负整数解、整数解等； 2.求解步骤： 变形：将方程化为用一个未知数表示另一个未知数的形式（如化为）； 划界：根据限制条件确定自变量的取值范围（如非负整数解中，且）； 试值：在取值范围内逐一代入，筛选出符合条件的解； 确定：整理所有符合条件的解，用大括号联立表示。 【基础必考题型】 【题型1】判断二元一次方程的个数 1.核心知识点 二元一次方程的三大核心条件；整式方程的判断；含未知数项的次数判断。 2.解题方法技巧 ①逐个筛查：对每个式子依次判断是否满足“整式方程、双未知数、项次数为1”； ②排除法：先排除非整式方程（分母含未知数）、未知数个数≠2的式子，再排除含未知数项次数≠1的式子； ③验证结论：对疑似二元一次方程的式子，再次核对是否符合所有条件，避免遗漏。 【例题1】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 【题型2】判断二元一次方程组的个数 1.核心知识点 二元一次方程组的三大核心条件；方程组中未知数的统一性；单个方程的类型要求。 2.解题方法技巧 ①整体分析：先看方程组中总共含有的未知数个数是否为2； ②逐个验证：检查每个方程是否为整式方程且是一次方程； ③特殊情况处理：若单个方程只含一个未知数，需确认另一个方程含相同的第二个未知数，且整体满足次数要求。 【例题2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·周测）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组需满足：两个整式一次方程，且只含两个未知数是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组由两个一次方程组成；②共含有两个未知数，且每个方程均为整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、第二个方程是二次方程，不符合一次方程要求，不符合题意； B、两个方程均为一次方程，且共含两个未知数和，符合定义，符合题意； C、第二个方程含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、方程组涉及三个未知数，不是二元方程组，不符合题意． 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组即可． 【详解】解：二元一次方程组需满足：①有两个未知数；②每个方程都是整式方程且未知数的次数为. A、方程组含两个未知数和，且方程和均为一次方程，符合题意． B、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； C．该方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； 故选：A． 【题型3】检验一对数值是否为方程（组）的解 1.核心知识点 二元一次方程（组）解的定义；代入验证的逻辑。 2.解题方法技巧 ①方程验证：将数值代入方程左右两边，计算后若两边相等，则为方程的解； ②方程组验证：需将数值代入方程组中所有方程，只有每个方程左右两边均相等，才是方程组的解； ③格式规范：验证过程需写出代入步骤和计算结果，明确判断结论。 【例题3】.（25-26七年级下·吉林长春·月考）下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将选项中的值代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A、把代入方程，得，所以不是方程的解； B、把代入方程，得，所以是方程的解； C、把代入方程，得，所以不是方程的解； D、把代入方程，得，所以不是方程的解． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程解的概念． 将选项中的分别代入方程的左边，将计算结果与方程右边的值对比，相等则为解，否则不是，选出符合条件的选项即可． 【详解】选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，A不符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，B不符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，C符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，D不符合题意； 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，不是方程的解； B．，不是方程的解； C．，是方程的解； D．，不是方程的解． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； B. 将代入， 左边，右边，左边=右边， ∴是该方程的解，本选项符合题意； C. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； D. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意． 故选：B． 【题型4】用含一个未知数的式子表示另一个未知数 1.核心知识点 等式的基本性质；二元一次方程的变形技巧。 2.解题方法技巧 ①移项：将含目标未知数的项留在左边，其他项移到右边（移项要变号）； ②系数化为1：在等式两边同时除以目标未知数的系数（系数为分数时，等价于乘以倒数）； ③化简结果：将表达式化为最简形式（如化简为）。 【例题4】.（25-26七年级上·全国·课后作业）把方程变形，用含的式子来表示，则________；用含的式子来表示，则________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用了等式的性质． 根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：把方程变形，用含的式子来表示，则； 用含的式子来表示，则． 故答案为：；． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知，用含x的代数式表示y，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，然后利用等式的性质求解． 【详解】解：由移项，得． 故答案为：． 【变式题4-2】.（2026七年级下·广东广州·专题练习）将方程变形为用含y的式子表示x，那么_______． 【答案】 【分析】将含的项留在等式左侧，其余项移到等式右侧，再将的系数化为即可得到结果． 【详解】解：∵. ∴. ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把二元一次方程化为的形式，则__． 【答案】 【分析】通过二元一次方程变形，得出的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 移项得： ， 解得：， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型5】根据定义求字母的值（或取值范围） 1.核心知识点 二元一次方程（组）的定义；绝对值的性质；整式方程的隐含条件。 2.解题方法技巧 ①列条件等式：根据“含未知数的项的次数为1”列等式（如）； ②列限制不等式：根据“未知数系数不为0”列不等式（如）； ③求解验证：解等式和不等式的组合，代入原方程验证是否符合所有条件（避免遗漏隐含限制）。 【例题5】.（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）如果方程是表示关于x，y的二元一次方程，那么m的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数最高次为1的整式方程是二元一次方程，即可解答． 【详解】解：∵是表示关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义可知且，解方程即可得解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，， ，， ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东河源·月考）若方程是二元一次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为，据此分析即可． 【详解】解：方程是二元一次方程，方程中已有未知数， “”应为次数为的含另一个未知数的项， A、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意； B、含未知数，的次数为，满足二元一次方程的定义，符合题意； C、的次数为，不符合题意； D、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意． 【题型6】根据方程（组）的解求字母的值 1.核心知识点 二元一次方程（组）解的定义；一元一次方程的解法。 2.解题方法技巧 ①代入转化：将已知解代入方程（组），把含字母的二元一次方程转化为关于字母的一元一次方程； ②求解字母：解一元一次方程得到字母的值； ③多字母处理：若含多个字母，需结合方程组中两个方程分别代入，得到方程组后求解。 【例题6】.（2025九年级下·广东广州·专题练习）若是关于，的二元一次方程的一个解，则___． 【答案】 【分析】将二元一次方程的解代入原方程，得到关于的一元二次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：将代入二元一次方程得， 解得：． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先将方程的解代入原方程得到的值，再对所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 【题型7】根据实际问题列二元一次方程（组） 1.核心知识点 数学建模思想；找实际问题中的等量关系；二元一次方程（组）的表达。 2.解题方法技巧 ①审题设元：明确题目中的两个未知量，用、表示； ②找等量关系：从题目中提取两个独立的等量关系（如“总数量”“总费用”“总路程”等）； ③列方程（组）：根据等量关系列出对应的二元一次方程（组），注意单位统一。 【例题7】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）古代数学著作《九章算术》有这样一道题，今有糙米、白米共五十斗，糙米二斗可换白米一斗．若将全部糙米换白米，共得白米三十斗．问糙米、白米原有各几斗？设糙米原有斗，白米原有斗，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据糙米与白米的总量为斗，全部糙米换白米后总白米量为斗，列方程组即可． 【详解】解：设糙米原有斗，白米原有斗， ∵糙米、白米共五十斗， ∴， ∵糙米二斗可换白米一斗，将全部糙米换白米后共得白米三十斗， ∴斗糙米换得的白米为斗，加上原有白米斗等于30斗， ∴， 综上，可列方程组为． 故选：A． 【变式题7-1】.（2025·广东深圳·二模）滨海学校在“玩转数学”为主题的数学节活动中，将份奖品分给了名学生，若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份．根据题意可列方程（组）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 根据数量关系列出方程组即可求解． 【详解】解：∵每人分4份，则剩余30份， ∴， ∵每人分5份，则还缺20份， ∴， ∴可列方程组为：； 故选：C． 【变式题7-2】.（2025·山东泰安·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了用二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程即可． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 十位数字比个位数字的倍大， ， 这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ， 可列方程组． 故答案为： ． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，竹竿y根，根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】设牧童人，竹竿根，根据两种分配竹竿的情况，利用竹竿总数不变建立等量关系，即可列出方程组. 【详解】解：设牧童有人，竹竿根， 根据“每人竿，多竿”，可得 根据“每人竿，恰好用完”，可得 因此可列方程组为. 易错点 对二元一次方程（组）的定义理解不透彻，忽略“整式方程”要求（如认为是二元一次方程）； 误将“含未知数的项的次数为1”理解为“未知数的次数为1”，导致判断为二元一次方程； 3.检验方程组的解时，只代入一个方程验证，忽略“公共解”需满足所有方程的要求； 4.求二元一次方程的特殊解时，未先确定自变量的取值范围，导致漏解或多解； 5.根据定义求字母值时，忘记“未知数系数不为0”的隐含条件（如方程为二元一次方程时，忽略）。 重点 1.掌握二元一次方程（组）的定义和核心条件，能准确判断一个方程（组）是否为二元一次方程（组）； 2.理解二元一次方程（组）的解的定义，能熟练检验一对数值是否为解； 3.会将二元一次方程化为用一个未知数表示另一个未知数的形式，能求解含限制条件的特殊解； 4.能根据实际问题中的等量关系，列出二元一次方程（组），体现数学建模素养。 难点 含参数的二元一次方程（组）中参数的求解，尤其是结合解的限制条件（如正整数解、）的情况； 2.二元一次方程特殊解的求解，需灵活变形方程并准确划界自变量的取值范围； 3.实际问题与数学模型的转化，尤其是含跨学科、数学文化情境的题目，需准确提取等量关系； 4.二元一次方程组解的特殊情况（无解、无数组解）的理解与判断； 5.开放题和方案设计题的解答，需结合题意全面考虑所有可能性，避免遗漏符合条件的答案。 【对应练习题】 1．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， ∴， ∴代数式的值是． 2．已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的变形，需通过移项、系数化为1的步骤，将方程转化为用含y的代数式表示x的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 3．下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程，根据二元一次方程的定义逐一分析选项进行判断． 【详解】解：A、只含一个未知数，不是二元一次方程； B、只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，不是二元一次方程； C、含有两个未知数、，含未知数的项的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义； D、中的次数为2，不是二元一次方程． 故选：C． 4．若方程组的解为，则__． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，求出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入原方程组得，， 解第二个方程得，， 将代入第一个方程得，， 因此． 5．若是二元一次方程，则________，________． 【答案】 1 1 【分析】本题考查二元一次方程的定义，核心是明确二元一次方程需满足：含有两个未知数，且每个含未知数的项的次数均为1．先根据的项的次数为1列出关于的方程，求解得到的值；再将的值代入的项的次数为1的方程中，求解得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，即，解得； 且，即，解得； 故答案为：，． 6．方程是二元一次方程，则的取值范围是_________； 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：方程是二元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 7．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 8．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④ ③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 9．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $