函数新定义问题、导数新定义问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦函数与导数新定义问题，通过“线性对”“调整函数”等多样化情境考查抽象能力与逻辑推理，构建“概念理解-知识迁移-问题解决”的系统性逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数新定义问题|3例+3变式|涉及“T函数”“凸点”等定义，结合函数性质与不等式证明|以新定义为起点，关联函数连续性、单调性，通过逻辑推理实现知识迁移| |导数新定义问题|3例+3变式|包含“调整函数”“牛顿法”等，融合导数应用与算法思想|从新定义导数关系出发，链接导数几何意义，培养数学应用意识|

函数新定义问题、导数新定义问题专项训练 函数新定义问题、导数新定义问题专项训练 考点目录 函数新定义问题 导数新定义问题 考点一 函数新定义问题 例1．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）若函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得. (1)证明函数是否符合此类函数； (2)已知函数，，若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数的取值范围； (3)证明：当，时，有. 例2．（2026·河南郑州·一模）已知函数定义域为，，若对任意，存在，当时，都有．则称为在上的“点”． (1)设函数求在上的最大“点”； (2)判断函数在上是否存在“点”，并说明理由； (3)若函数在上不存在“点”，求的取值范围. 例3．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 变式1．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 变式2．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 变式3．（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”． (1)求函数在上的最大“凸点”； (2)若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围； (3)设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于． 考点二 导数新定义问题 例1．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 例2．（2026·山东枣庄·三模）超导量子计算原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发上进入世界第一方阵.帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足：，，，…，.注：，，，，…. (1)求在处的阶帕德逼近； (2)在（1）的条件下，当，试比较与的大小，并证明； (3)已知数列满足，，证明：. 例3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：设是函数的零点，即．选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为，若，则直线与轴的交点的横坐标记为，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点的横坐标记为，重复以上过程，得的近似值序列，也称为牛顿数列，根据已有精确度，当时，则为近似解．设． (1)当时，试用牛顿法求方程满足精确度的近似解．（参考数据；，结果保留两位小数）； (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，若. ①证明：； ②若关于的方程的两个根分别为，证明：． 变式1．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，设是的导数，． (1)求的值； (2)求证：对于任意，等式都成立． 变式2．（2025·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，设的一个极值点为． （i）判断是否成立，并说明理由；（已知） （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”. 变式3．（2025·浙江衢州·模拟预测）记函数. (1)证明：； (2)记的定义域为．若任意，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数新定义问题、导数新定义问题专项训练 函数新定义问题、导数新定义问题专项训练 考点目录 函数新定义问题 导数新定义问题 考点一 函数新定义问题 例1．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）若函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得. (1)证明函数是否符合此类函数； (2)已知函数，，若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数的取值范围； (3)证明：当，时，有. 【答案】(1)符合此类函数，证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据函数新定义判断即可； （2）求出函数的导数，利用（1）的结论建立恒成立的不等式，再利用导数求出函数的值域即得； （3）构造函数，求出导数结合（1）的结论，借助不等式性质推理即得． 【详解】（1）函数符合此类函数， 证明：易知在区间上连续，且， ，解得， 故函数符合此类函数； （2）令，则， 令函数，则， 显然在上连续，且在上可导，由题可知，存在，使得， 即，所以， ， 不妨令，， 即恒成立， ，于是，即， 因此，令， 求导得，函数在上单调递增，则， 而函数在上单调递增，其值域为， 则，所以实数的取值范围是； （3）令函数，显然函数在上可导， 由（2）知，在上连续，且在上可导， 则存在，使得， 故存在，使得， 又，则， 因此，而，则，即， 所以． 例2．（2026·河南郑州·一模）已知函数定义域为，，若对任意，存在，当时，都有．则称为在上的“点”． (1)设函数求在上的最大“点”； (2)判断函数在上是否存在“点”，并说明理由； (3)若函数在上不存在“点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）先利用导数分析函数在上的单调区间，从而找到最大值，即可确定最大“点”； （2）通过导数求出在上的最大值，不满足“点”的条件，即可作出判断； （3）将不存在“点”转化为在上恒成立，通过导数分析的单调性，分和的不同情况讨论，最终求得的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是在的最大值， 所以在上的最大“点”为. （2）不存在“点”，理由如下： 因为，令得， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 而， 所以是在上的最大值， 所以对任意，都有，所以在上不存在“点”. （3）由函数在上不存在“点”， 得在上恒成立， 求导得，令， 求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递减， 则， 因此函数在上单调递减，，符合要求； 当时，令，则， ①当，即时，，即在上单调递增， 则， 所以函数在上单调递增，，不符合要求； ②当，即时，恒成立，函数在上单调递减， 则， 函数在上单调递减，此时，符合要求； ③当，即时， 若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 若，则在上恒成立，在上单调递减， 此时， 若，则存在，使得， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则要恒成立，只需，解得， 由，得， 由，得 即当时，符合要求. 综上，的取值范围是. 例3．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)证明见解析 【分析】利用赋值即可求证； 利用分离变量求值域，即可求得参数范围； 利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证. 【详解】（1）因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； （2）由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； （3）由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 变式1．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【答案】(1)函数和函数为T函数，理由见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据T函数的定义判断； （2）由T函数的定义求得，然后由基本不等式求得最小值； （3）先求得和的最小值和最小值点，根据题意得出，， 然后消去得关于的等式，构造函数使用同构法得出，，再利用导数求得的范围． 【详解】（1），， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； （2），， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； （3）是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． 变式2．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 或 ； (2) 或 . (3)存在 ，证明见解析. 【分析】（1）代入计算得，再求解即可； （2）分、和讨论即可； （3）写出，再证明即可. 【详解】（1）由题意，若， 则， 即， 所以或， 所以或， 所以或. （2）设， ①当时，，所以， ， 所以在上无解； ②当时，， 整理得，因为， 所以在实数范围内有两个不相等的实数解为， 又因为， 所以在上最多有两个解. ③当时，，所以， 由得， 令，所以， 令即，解得， 易知在单调递增， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 所以， 而， 此时在上最多有两个解， 为了满足集合中有3个元素， 所以在上有两解且在上有一个解， 或者在上有一个解且在上有两个解， 所以或或， 分别解得或或无解， 综上，的取值范围是或. （3）存在． 证明：. 变式3．（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”． (1)求函数在上的最大“凸点”； (2)若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围； (3)设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于． 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出的最大值结合“凸点”的定义即可得出答案； （2）把问题转化为在上恒成立，分四类进行讨论； （3）在上的“凸点”个数为0，直接验证，在上的“凸点”个数为，分和进行证明. 当时，分 和 两类，当时，分和 两类. 【详解】（1）设 ，则 ， 当或时，，单调递增； 当时， ，单调递减， 又 ，所以在 上最大值为， 所以都满足，所以函数在上最大的“凸点”为5. （2）因为函数 在上不存在“凸点”，所以在上恒成立，，令， 则 , 当时，恒成立，故在上单调递减，则 ， 故在上单调递减，此时，符合要求. 当时，令，则， （i），即时，，即在上单调递增， 则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去； （ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减， 则，故在上单调递减，此时，符合要求； （iii）当，即时，若，，若，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则若需恒成立，有 ，解得，因为， 且，即时，符合要求， 综上所述. （3）若在上的“凸点”个数为0，则，符合要求； 若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为 其中，，, 若，则若，由，则，即， 若，由题意，，，故， 即，又，故，符合要求； 若，则， ， 由，则， 若，即，则 ， 若，由题意，，且， 又，故 ， 即，，，， 即有 ，即， 由 ，故，又，故， 即在上的“凸点”个数不小于. 考点二 导数新定义问题 例1．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不一定，举出反例即可 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 例2．（2026·山东枣庄·三模）超导量子计算原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发上进入世界第一方阵.帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足：，，，…，.注：，，，，…. (1)求在处的阶帕德逼近； (2)在（1）的条件下，当，试比较与的大小，并证明； (3)已知数列满足，，证明：. 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据定义直接写出，再求导代入数值即可得到相关参数； （2）求出，求导得其单调性即可证明大小关系； （3）利用（2）中结论得，最后利用累加法即可证明不等式. 【详解】（1）设在处的阶帕德逼近， 所以，． 又， 所以，． 又， . 所以，. （2）当时，令， 则， 所以，函数在上单调递增． 所以，．故当时，． （3）因为，则，所以． 若，则，即． 由（2）知，当时，， 当时，则． 因为，则，又， 所以，即， 故数列是递减数列，所以． 首先证明不等式，， 设，则在上恒成立， 则在上单调递减，则， 则，， 所以， 所以， 故当时，， 累加得， 所以， 故． 又当时，． 综上，． 例3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：设是函数的零点，即．选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为，若，则直线与轴的交点的横坐标记为，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点的横坐标记为，重复以上过程，得的近似值序列，也称为牛顿数列，根据已有精确度，当时，则为近似解．设． (1)当时，试用牛顿法求方程满足精确度的近似解．（参考数据；，结果保留两位小数）； (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，若. ①证明：； ②若关于的方程的两个根分别为，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义结合所给定义计算可得，则可通过计算，再通过计算处，结合即可得； （2）①求导后可得函数单调性，则可得，代入计算并化简即可得；②由①可得极值点、的取值范围及、的范围，再借助“以直代曲”思想，通过计算得到当时，，当时，，从而可得，，再作差即可得证. 【详解】（1），则，又， 则在点处的切线方程为， 令，解得， 即，由，则， ，不满足题意； ， 则，满足题意， 故方程满足精确度的近似解为； （2）①， ， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 则， 即，化简得； ②由， 则当时，，则， 当时，，则， 又关于的方程有两个根， 则，且有，， 当时，有，则， 当时，过点与点的直线， 令，则， 令，解得，由，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ， 故，即恒成立， 则，化简得， 则，即得证. 变式1．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，设是的导数，． (1)求的值； (2)求证：对于任意，等式都成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，，对其进行二次求导得，代入求值即可； （2）由题猜想得，再利用数学归纳法证明其成立，最后代值计算即可. 【详解】（1），， 则两边求导，得， 为的导数，，， 两边再同时求导得，， 将代入上式得，； （2）证明：由（1）得，恒成立， 两边再同时求导得，， 再对上式两边同时求导得，， 同理可得，两边再同时求导得，， 猜想得，对任意恒成立， 下面用数学归纳法进行证明等式成立： ①当时，成立，则上式成立； ②假设（且）时等式成立， 即， ， 又， 那么（且）时， 等式也成立， 由①②得，对任意恒成立． 令代入上式得，， 所以，对于任意，等式都成立． 变式2．（2025·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，设的一个极值点为． （i）判断是否成立，并说明理由；（已知） （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（i）对求导并结合给定条件可得，然后根据同角关系式结合条件求解即可. （ii）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即可. （2）设对应的切点为，，对应的切点为，，由导数几何意义得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，而满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小的范围，所以，证明则，再由不等式的性质证明结论即可． 【详解】（1）由题意得， 当时，，下面我们开始研究各个小问， （i）因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解， 故的一个极值点满足， 所以； （ii）设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根， 且满足，， 所以， 因为，，， 则，由，可得， 故得证. （2）由题意得， 当时，， 设对应的切点为，， 对应的切点为，， 由于，所以，， 由余弦函数的周期性，只要考虑的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形， 则，， 其中，得到， 又，， 即，， 当时，，， 令（），则，， 在上单调递减，又，所以， 所以，此时，则， 故得证． 变式3．（2025·浙江衢州·模拟预测）记函数. (1)证明：； (2)记的定义域为．若任意，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分、两种情况结合函数新定义即可得证； （2）根据题意得出，首先由必要性探路得，进一步根据题意验证充分性即可得解. 【详解】（1）①当时，； ②当时，易知，则 ，得证！ （2）先考虑，由． 记，则． 由． 令，则， 所以在上单调减， 则． 必要性探路：先考虑时，． 只需考虑的情况，否则显然有． 于是，令， 则． 令，且． 故在上单调递增，在上单调递减． 由，故． 于是． 等号在，即时取到． 充分性证明：下证：时，，用归纳法证明． ①当时，已证； ②当时，易知单调递增，则 ，得证！ 综上所述，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $