函数与导数：函数新定义问题、导数新定义问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

函数与导数：函数新定义问题、导数新定义问题专项训练 函数与导数：函数新定义问题、导数新定义问题专项训练 考点目录 函数新定义问题 导数新定义问题 考点一 函数新定义问题 例1．（2025·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 【答案】C 【分析】由为偶函数，得，结合“－关系”的定义可得出答案． 【详解】由为偶函数，得 对于选项A：“”为假命题，“”也为假命题，故A错误； 对于选项B∶ 由 得成立，故“”为真命题， 而由对任意恒成立，将替换为，得对任意恒成立， 从而成立，所以“”也为真命题，故B错误； 对于选项C：当时，，，此时不成立，只有非负的情况下才会成立，即“”为假命题， 而由：，用替换得，又因，故，所以成立， 所以“”为真命题，故C正确； 对于选项D：“”为真命题， 由于由，用替换得，故， 所以“”也为真命题， 故D错误； 例2．（2026·辽宁锦州·模拟预测）设函数，其中，若存在常数使对任意的实数都有，则可取到的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，得，利用和差化积公式得，进而得，解出即可. 【详解】由存在常数使对任意的实数都有， 所以，又， 所以，所以，即， 所以，所以，即， 所以，即， 所以，又，所以当时，. 例3．（2026·陕西西安·模拟预测·多选）设为坐标原点，若函数的图象上分别存在一点（异于点），使其满足且，则称和是“互余函数”．已知函数，，则下列各项中的两个函数是“互余函数”的有 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AD 【分析】“互余函数”等价于将函数的图象绕原点顺时针（或逆时针）旋转，若旋转后的函数图象与函数的图象有交点（异于点），然后利用导数研究函数的单调性与零点，从而可得答案． 【详解】由题意得，将函数的图象绕原点顺时针（或逆时针）旋转，若旋转后的函数图象与函数的图象有交点（异于点），则和是“互余函数”． 对于A，将函数的图象绕原点顺时针或逆时针旋转后都是得到直线， 设函数， 当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，故有唯一的零点．因为，所以直线的图象与函数的图象有唯一的交点，故A正确． 对于B，设函数，所以在上单调递减，且，故有唯一的零点．因为，所以直线的图象与函数的图象有唯一的交点，与题意异于点不符，故B错误； 对于C，将函数的图象绕原点顺时针旋转后，得到的函数图象位于第三象限，而函数的图象不经过第三象限，故不相交；将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到． 设函数，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，故无零点，即的图象与函数的图象无交点，故C错误． 对于D，设函数， 设，则，所以在上单调递减，，故存在使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，，，故存在使得，故存在异于0的零点，即的图象与函数的图象有异于点的交点，故D正确． 例4．（2026·四川成都·二模·多选）已知是定义在上的函数，若，则（   ） A．当函数均为奇函数时，为奇函数 B．当函数均为增函数时，为增函数 C．当函数均有最小值时，有最小值 D．当函数均有最大值时，有最大值 【答案】BC 【分析】取，，计算可判断A；根据函数单调性定义可判断B；根据函数最小值定义可判断C，取，取，计算可判断D. 【详解】对于A，设，，则， 即.此时为偶函数，故A错误. 对于B，若，都有，则，为增函数； 若，都有，则，为增函数； 若，假设时，时， 则在上的最大值，在上的最小值， 且必有，此时为增函数.故B正确. 对于C，由，可设. 若最小值为，最小值为，记， ，有，， 则，且使得， 即有最小值，故C正确. 对于D，取，取， 则，此时为上的增函数，无最大值，故D错误. 例5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合的性质，可得零点为，则可得，，解出即可得. 【详解】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 则有，，即有，， 由题意可得，故，且有，解得， 又，故或，当时，；当时，有； 综上可得：. 例6．（2026·北京西城·一模）记表示不超过实数x的最大整数．设a，b为正整数，函数，给出以下四个结论： ①对于任意的，若，则； ②存在正整数a，b，使得曲线关于坐标原点对称； ③设，则方程有无数个解； ④设，则当时，函数的值域中有且仅有5个元素． 其中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【分析】根据题意，结合表示不超过实数x的最大整数，函数，以及为正整数，利用函数的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，因为表示不超过实数x的最大整数， 由为正整数，若，可得，则， 两式相加得，即，所以①正确； 对于②，当时，； 对于任意正整数，取且非整数， 可得，所以， 又由，可得， 可得，此时， 所以不存在正整数，使得曲线关于坐标原点对称，所以②错误； 对于③，当时，， 设，可得， 所以， 令，可得，解得， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 设，由且为整数， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得； 所以当且时，满足，此时有无数个解，所以③正确； 对于④，当，且时，可得， 所以， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得， 所以在上的取值为，共有4个元素，所以④错误. 变式1．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】等价转化为的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应，分类讨论参数并结合对勾函数的性质分析性质，即可得. 【详解】因为函数为“旋转函数”，且定义域为， 旋转后曲线仍是某个函数图象，意味着这个函数对于任意一个横坐标，至多只有一个与之对应， 由于旋转了整个曲线，等价于原始曲线在旋转后没有两个点具有相同的坐标， 所以关于的方程对任意的至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 即曲线与直线至多只有一个交点， 只需的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应（单射函数）， 当时，在，上都单调递增，且值域都为R， 此时与恒有两个交点，不合题意； 当时，在，上都单调递增，值域分别为，， 此时与至多有一个交点，符合题意； 当时，， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时与的交点可能有个，不合题意， 综上. 变式2．（2026·浙江金华·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（   ） A．（不超过x的最大整数） B． C． D． 【答案】D 【分析】先准确理解“阶梯形函数”的定义，对于A，结合取整函数定义判断该函数的单调性，再结合关系即可判断，对于B，结合指数函数性质判断函数的单调性，再结合函数的值域为即可判断；对于C，利用导数判断函数的单调性，再结合余弦函数性质证明即可判断，对于D，利用导数判断函数单调性，利用反证法证明不存在满足条件的平行线即可判断. 【详解】对于选项A，若，则对于任意的，都有， 由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间， 故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项B，若，​ 因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为， 所以函数为减函数，函数的值域为， 因此在上单调递增，且函数的值域为， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项C，若， 则恒成立，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 由得， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项D，若 则， 当时，，，故 当时，，，故， 所以对于任意的，，故函数在上单调递增， 假设存在两条平行直线， ​和，则对任意需要​， 但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾， 故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件， 因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数. 变式3．（2026·江西上饶·二模·多选）高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉．高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（   ） A．对于，有 B．是单调函数 C．方程有无数组解 D．方程共有个不等的实数根 【答案】AC 【详解】A选项：设，，其中，分别是，的整数部分，，分别是，的小数部分， 则，，所以，故A正确； B选项：当时，此时，函数为常函数，故B错误； C选项：当，，，，……均满足故C正确； D选项：由，得，则． 当时，，此时； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得； 当时，，代入原方程，得，即，不符合题意； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得， 综上，原方程共有个不同的实根，故D错误． 变式4．（2026·广东湛江·二模·多选）若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B．若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C．若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D．若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 【答案】ACD 【分析】设，，写出在点，处的切线方程，根据它们交于直线上同一点得到包含两个参数的关于的方程，A选项中，取，构造出一个单调函数即可判断不存在不同的满足方程；选项中，取构造出一个先增后减的函数即可找到无穷对满足方程的但积不为定值；C选项，取得到关于的方程，根据得到恒有解，此时两切线斜率之和便大于；D选项，观察切线方程的一般形式，通过构造函数将问题转为证明方程有两个解的问题. 【详解】由题意可知，设，， 在处的切线方程为即， 同理在处的切线方程为，两条切线交于直线上同一点， 故有（*）， 当时，*式可化为， 令，则，当时，， 时，时，均有， 时 ，则在上单调递减，所以不存在不同的，使得， 因此当时，不存在关于轴的共轴切点，A正确； 当时，取得，考虑函数， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，且当时，， 所以对有满足，同样有使得， 而，故横坐标之积不是定值，B错误； 当时，取，代入（*）解得， 此使，成为关于直线的共轴切点， 此时斜率之和，C正确； 当时，设，则， 在处的切线方程具有一般形式， 考虑函数，则， 时，，时，， 故在处取最大值，可知存在使得方程存在两个不同的解， 即存在两个不同的使得，也就是同时在这两处的切线上 即存在关于直线的共轴切点，D正确. 变式5．（2026·四川资阳·三模）给出如下定义：函数的定义域为，若，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的最小值为________． 【答案】 【分析】由新定义结合对数的运算性质，通过分离参数得到，再通过换元结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意函数具有性质， 即存在，满足： ， 代入得： ， 即， 整理得： 因为存在满足等式， 分离参数得： ， 令， 换元化简： ， 由基本不等式，对，，当且仅当（即）时取等号， 代入得： 因此实数的最小值为. 变式6．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，所以 ， 当时，，显然不成立； 当时，，显然成立， 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 所以，，， ， ， 因为， 所以. 所以的取值范围为. 考点二 导数新定义问题 例1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）函数的定义域为D，若对任意正实数，在定义域内存在实数，使得成立，则称具有“性质”．已知函数． (1)当， ①求曲线在处的切线方程； ②判断函数是否具有“性质”，并说明原因； (2)当时，设，且满足，求证：． 【答案】(1)①；②具有，理由见详解 (2)证明见详解 【分析】(1)①先求的导数，代入得切线斜率，再求g(1)可得切点坐标，最后用直线的点斜式方程求解. ②先假设具有“性质T”，再构造函数 ，通过判断方程的解的个数即可得出答案. (2)分类讨论证明，结合条件不等式可转化为，构造函数，求导后利用不同方法证明在为增函数，即可得证. 【详解】（1）①当时，， 则， ，， 所以切线方程为，即. ②函数具有“性质T”. 理由如下：假设函数具有“性质T”，则对任意正实数t，在定义域内存在实数， 使得成立，由，则， 所以，即， 化简得. 令，则， 由，得；，得； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时取得极大值，也是最大值，即， 当时，；当时，， 所以存在，使得，所以函数具有“性质T”. （2）由，由， 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数. 可知， 若，则， 不符合题意；所以. 若，则； 若，，又因为在为减函数， 所以，所以； 综上所述， 又因为，由，所以， 即，即， 设， 所以， 方法一：设，所以， 因为在为单调递增， 当时，，，， 所以存在，使得，即， 又因为，，即在为减函数； 又因为，，即在为增函数； 所以， 又因为，则有， 又因为，， 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 方法二： 设，因为在单调递增， 又因为所以 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即. 例2．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不一定，举出反例即可 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 例3．（2026·广东惠州·模拟预测）帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足.其中.已知在处的阶帕德近似为. (1)求的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）结合题意，利用导数计算即可得. （2）构造函数，根据，结合函数单调性，由得满足题意，再证明充分性即可. 【详解】（1）解：， ； 所以； 所以，， 由，解得. 综上，，，. （2）解：由（1）得：. 令， 因为， 所以若恒成立，则在附近单调递增，即， 又， 所以，则. 下面证明充分性，即当时，不等式对于任意的恒成立， 由于当时，， 所以，当时，则恒成立， 当时，， 令， ， 所以，在上单调递增， 又，所以恒成立，即在上成立， 所以，成立，充分性得证， 综上，当时，不等式对于任意的恒成立，即的取值范围为. 变式1．（24-25高二下·福建·期中）牛顿法（Newton´sMethod）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为．若，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标，记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：．根据已有精确度，当时，给出近似解． 已知函数． (1)若给定，求方程的二阶近似值； (2)求曲线在点处的切线方程，并证明； (3)若关于的方程的两个根为，证明：． 【答案】(1) (2)；证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题中给定方法，求出，求出即可； （2）求导，根据导数的几何意义求切线方程，构建，利用导数可证，即可得结果； （3）利用导数分析的单调性，结合题意可得，分析可得，即可得，构建，利用导数可证，可得，即可得结果. 【详解】（1）构建函数，则， 可得， 当时，， 同理，且，所以； （2）因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所求切线方程为，即； 构建，则， 构建， 则在内单调递增，且， 可知在内存在唯一零点， 当，，即； 当，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 又因为，即，， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 令，可得，即； （3）由得， 当时，；当时，， 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，；时，； 若方程的两个根为，则， 当时，，则； 可得，即， 设，则， 当时，；当时，， 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，当且仅当时取等号， 则，即， 所以. 变式2．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 【答案】(1)为的凸函数 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义，求得和，判断的正负即可； （2）先判断出在为“凹函数”，当时，根据凸函数的性质得出，即可得出的最小值； （3）由（2）结论得出即证，两边取对数，即证，由导数得出在上为单调递增函数，即可得出，再用累加法即可证明． 【详解】（1）由题，，即， 所以为的凸函数． （2）设函数，则， ，所以在为“凹函数”， 当时，， 即， 当且仅当时，等号成立， 最小值为． （3）即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． 变式3．（25-26高二下·上海闵行·月考）若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）对于函数：结合其图象分析判断即可；对于函数：结合的单调性分析判断； （2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程； （3）假设存在，设切线方程，根据导数求切线方程，列方程组，结合题意分析该方程组解的个数即可判断. 【详解】（1）对于函数： 由函数的图象可知：和为函数的“自公切线”， 所以函数的图像存在“自公切线”； 对于函数：则，可知在上单调递增， 可知，可知，即任意不同两点的切线斜率不相等， 所以函数的图像不存在“自公切线”. （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）假设函数的图像存在“自公切线”，设为， 因为，则， 则，， 可知在处的切线方程为， 整理得， 则，即， 可知方程有两个不相等的根，则， 且也为方程的根， 则， 整理得， 且，即， 可得，即， 可得，整理得， 则，整理得，解得， 即此时方程只有一个解， 这与题意相矛盾，即假设不成立， 所以函数的图像不存在“自公切线”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：函数新定义问题、导数新定义问题专项训练 函数与导数：函数新定义问题、导数新定义问题专项训练 考点目录 函数新定义问题 导数新定义问题 考点一 函数新定义问题 例1．（2025·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 例2．（2026·辽宁锦州·模拟预测）设函数，其中，若存在常数使对任意的实数都有，则可取到的最小值为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测·多选）设为坐标原点，若函数的图象上分别存在一点（异于点），使其满足且，则称和是“互余函数”．已知函数，，则下列各项中的两个函数是“互余函数”的有 A．和 B．和 C．和 D．和 例4．（2026·四川成都·二模·多选）已知是定义在上的函数，若，则（   ） A．当函数均为奇函数时，为奇函数 B．当函数均为增函数时，为增函数 C．当函数均有最小值时，有最小值 D．当函数均有最大值时，有最大值 例5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 例6．（2026·北京西城·一模）记表示不超过实数x的最大整数．设a，b为正整数，函数，给出以下四个结论： ①对于任意的，若，则； ②存在正整数a，b，使得曲线关于坐标原点对称； ③设，则方程有无数个解； ④设，则当时，函数的值域中有且仅有5个元素． 其中，所有正确结论的序号是_________． 变式1．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式2．（2026·浙江金华·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（   ） A．（不超过x的最大整数） B． C． D． 变式3．（2026·江西上饶·二模·多选）高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉．高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（   ） A．对于，有 B．是单调函数 C．方程有无数组解 D．方程共有个不等的实数根 变式4．（2026·广东湛江·二模·多选）若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B．若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C．若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D．若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 变式5．（2026·四川资阳·三模）给出如下定义：函数的定义域为，若，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的最小值为________． 变式6．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 考点二 导数新定义问题 例1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）函数的定义域为D，若对任意正实数，在定义域内存在实数，使得成立，则称具有“性质”．已知函数． (1)当， ①求曲线在处的切线方程； ②判断函数是否具有“性质”，并说明原因； (2)当时，设，且满足，求证：． 例2．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 例3．（2026·广东惠州·模拟预测）帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足.其中.已知在处的阶帕德近似为. (1)求的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 变式1．（24-25高二下·福建·期中）牛顿法（Newton´sMethod）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为．若，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标，记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：．根据已有精确度，当时，给出近似解． 已知函数． (1)若给定，求方程的二阶近似值； (2)求曲线在点处的切线方程，并证明； (3)若关于的方程的两个根为，证明：． 变式2．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 变式3．（25-26高二下·上海闵行·月考）若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 2 学科网（北京）股份有限公司 $