精品解析：江苏镇江市句容碧桂园学校2025-2026学年高一第二学期期中测试数学试题

2025~2026学年第二学期期中测试题 高一数学 2026.5 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 化简 (    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，故 3. 如图，在平行四边形中，E为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】E为的中点，， 是平行四边形，， . 4. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用两角差的正弦展开公式求解即可. 【详解】. 5. 在△ABC中，若，则最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，大边对大角，最大，故角为最大角. 由余弦定理得. 代入,,，. 6. 在中，已知，则（ ） A. 120° B. 或 C. 60° D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理， 所以， 又，所以 所以或． 7. （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的关系、两角差的正弦公式等，化简计算，即可得答案. 【详解】原式 . 8. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（ ） A. 当时，矩形为正方形 B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 矩形面积的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用三角函数的定义求出相关边长可判断A项；对于B，C，D项，通过表示出相关边长，利用二倍角公式，三角恒等变换进行化简，将其化成正弦型函数，利用正弦函数的图象性质即可求出最值. 【详解】对于A， ， ，则， ， ，则，故A错误； 对于B，当时， ，，， 则，故B错误； 对于C，由B项已得，， 因，则，故当，即时，取得最大值为，故C错误； 对于D，由B项已得，， 则 ， 因，则，故当，即时，取得最大值为，故D正确. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，正确. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 11. 如图，是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可直接判断A；建立坐标系，根据数量积的坐标运算可判断B；根据O，C，D三点共线的向量表示可判断C；根据向量的夹角公式求出的表达式，再结合三角函数的范围可求出的范围，进而可求的范围. 【详解】由题意知，，，，，故A错误； 以O为原点，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，根据对称性，不妨取C在x轴上方，设，则， 则，， ，故B正确； ，， O，C，D三点共线，，即，故C正确； ，， ，， ，，，，， 即，又，， 的最大值为，故D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，，且与的夹角为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题设. 13. 函数的最小正周期是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据恒等变换得，再求最小正周期即可. 【详解】由题意知， 所以函数的最小正周期是 14. 在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求. 【详解】由题设，即（负数舍去）， 又外接圆的半径， 要使四边形的面积最大，只需的面积最大， 由到的距离，则中边上的最大高为， 所以最大. 四、解答题（第15题13分，第16，17题每题15分，第18，19题每题17分，共77分） 15. 已知复数，. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【小问1详解】 由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 16. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，， 因为，所以，解得，即， ，因为，所以，即， 解得，即，， 因此在上的投影数量为， 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 ，， 设与的夹角为，， 因为，所以解得. 17. （1）已知，，是第三象限角，求的值． （2）已知，，求的值； 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角和的余弦公式，求出结果即可； （2）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角差的正弦公式，求出结果即可； 【详解】（1）因，，则； 又因，是第三象限角，则． 故． （2)，，， 因，则， 所以 ； 18. 在中，为角所对的三边，且满足. （1）求角的大小； （2）求边的长； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数关系，结合题意可得，从而求得； （2）由（1）的结论及余弦定理可得； （3）结合（2）的结论由余弦定理的推论可得. 【小问1详解】 由正弦定理，得. 又，∴， ∴. ∵，∴. 【小问2详解】 ∵，. ∴由余弦定理得， ∴. 【小问3详解】 ∵， ∴. 19. “平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）已知，点为的费马点. ①若，记，求； ②若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得； （2）①利用正弦定理可计算出，再分别在、中，使用正弦定理并作商即可得；②结合费马点定义可得，再利用等面积法计算可得，再利用正弦定理可用表示，结合锐角三角形性质可求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 根据正弦定理，有， 即， 又因为， 所以， 即， 即， 因为三角形中，则有， 即，所以， 又，所以，则； 【小问2详解】 因为，所以和均小于， 又为费马点，则有， （ⅰ）在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，由正弦定理得， 在中，， 由正弦定理得， ①②两式相除得，化简得， 所以； （ⅱ） ， 由， 得， 整理得， 因为， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 则，所以， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中测试题 高一数学 2026.5 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 化简 (    ) A. B. C. D. 2. 设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，E为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，若，则最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，则（ ） A. 120° B. 或 C. 60° D. 或 7. （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 8. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（ ） A. 当时，矩形为正方形 B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 矩形面积的最大值为 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 11. 如图，是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 的最大值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，，且与的夹角为，则________． 13. 函数的最小正周期是___________. 14. 在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 四、解答题（第15题13分，第16，17题每题15分，第18，19题每题17分，共77分） 15. 已知复数，. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 16. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角． 17. （1）已知，，是第三象限角，求的值． （2）已知，，求的值； 18. 在中，为角所对的三边，且满足. （1）求角的大小； （2）求边的长； （3）求的值. 19. “平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）已知，点为的费马点. ①若，记，求； ②若为锐角三角形，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $