精品解析：江苏省镇江市句容市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年高一下学期南京市句容期中考试 数学试卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图， 下列说法中正确的是（ ） A. B. 评分的众数估值为70 C. 评分的第25百分位数估值为67.5 D. 评分的平均数估值为76 4. 一组样本数据的平均数为，标准差为3.另一组样本数据的平均数为，标准差为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 或 7. 有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第个盒子中取出的卡片的号码为，则为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知、，，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知三棱锥中，，分别是的中点，是棱上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（ ） A. 直线与异面直线； B. 当时，三棱锥体积； C. 的最小值为； D. 三棱锥外接球的表面积. 三、填空题 12. 已知事件与相互独立，，，则______． 13. 如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为________． 14. 已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为______. 四、解答题 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为. （1）求，； （2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率． 17. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为，的中点. （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积. 18. 如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且． （1）若M在距离A点处，求的长度； （2）为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 19. 人脸识别是基于人脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一下学期南京市句容期中考试 数学试卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程可知斜率,进而可得直线的倾斜角. 【详解】由直线方程可知斜率为. 故选：D 2. 已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与平面的相关判定与性质定理可逐一排除A，B，C项，对于D，应作出图形，利用线面平行的性质定理和线面垂直的性质，以及面面垂直的判定定理即可证明. 详解】对于A ，若，，则、相交或异面，故错误； 对于B，若，，则或相交；故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，如图，因，经过直线和平面内一点可作平面， 设，则，因，故，又因，故，即D正确. 故选：D. 3. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图， 下列说法中正确的是（ ） A. B. 评分的众数估值为70 C. 评分的第25百分位数估值为67.5 D. 评分的平均数估值为76 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、百分位数及众数的计算规则计算可得. 【详解】由题意：， 解得，A错误， 所以平均数为，故D错误； 众数为，故B错误； 因为，第百分位数估计为，故C正确； 故选：C 4. 一组样本数据的平均数为，标准差为3.另一组样本数据的平均数为，标准差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式判断数据添加平均数后新的平均数、标准差变化情况即可. 【详解】因为，所以， 所以， ， ，所以，解得，所以. 故选：B 5. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为为的中点，， 因为三点共线，可得，解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 . 故选：A. 6. 直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角正切值关系，要求角平分线所在直线斜率，则先求半角的正切值，从而即可得角平分线的直线方程. 【详解】根据题意，直线与轴、轴分别交于两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图： 设，为锐角）， 则，即， 则有，解可得或（舍）， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得， 故选：B. 7. 有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第个盒子中取出的卡片的号码为，则为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由分步乘法计数原理求出样本空间中的基本事件数，再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理求出事件为奇数所包含的基本事件数，再由古典概型概率公式求概率. 【详解】从三个盒子中各随机抽取一张卡片可分为三步完成，第一步从第一个盒子中取一张卡片，有3种方法，第二步从第二个盒子中取一张卡片，有5种方法，第三步从第三个盒子中取一张卡片，有7种方法，由分步乘法计数原理可得共有种方法，事件为奇数等价于，，都为奇数或，，中有一个为奇数，两个为偶数，其中事件，，都为奇数包含个基本事件，即24个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即12个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即9个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即8个基本事件，所以事件包含的基本事件数为，即53个基本事件， 所以， 故选：B. 8. 在锐角三角形中，已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数的和差公式，结合锐角三角形角的范围得到，再利用正切函数的诱导公式与和差公式转化，从而将所求转化为关于的表达式，进而利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，， 所以，则， 所以， 因为在锐角三角形中，，则， 所以，令，则，， 而， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时，满足题意. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于找到与的关系，从而将所求统一表示为，由此得解. 二、多选题 9. 已知、，，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式结合作差法可判断A选项；求出的取值范围，根据可判断B选项；利用正弦函数的单调性推导出，利用辅助角公式结合正弦型函数值域可判断D选项. 【详解】因为、，则、、、， 对于A选项， ，故，A错； 对于B选项，因为、，，则， 所以，，B对； 对于C选项，、，，则， 且函数在上为增函数，所以，， 故， 因为，则，故， 故，C对； 对于D选项，， 因为，则，故， 故，即，D对. 故选：BCD. 10. 在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的运算，模的定义，向量的数量积的坐标表示即可逐个选项判断. 【详解】设，，则，， 若，则，即， 因，，所以，A正确； 若，则， 而，，B错误； 若，则两复数至少一个为零， 即至少一个是，可得，故C正确； 若，可得， 而，可得，故D错. 故选：AC 11. 已知三棱锥中，，分别是的中点，是棱上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（ ） A. 直线与是异面直线； B. 当时，三棱锥体积为； C. 的最小值为； D. 三棱锥外接球的表面积. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据异面直线判定定理可判断A，由于三棱锥对边相等可放入长方体中，借助长方体可判断BD，再由棱锥两个侧面展开到同一个平面上，利用两点间连线最短判断C. 【详解】对A，是平面内直线BA外一点，是平面外一点，两点连线与是异面直线，故A正确； 对B，将三棱锥放入长方体中，如图， 因为，所以，所以， 设长方体的长、宽、高分别为， 则，即，解得， 显然三棱锥体积等于长方体体积减去长方体角上4个相同的三棱锥的体积， ，所以，故B错误； 对D，因为三棱锥外接球即为长方体的外接球，所以外接球半径，所以外接球的表面积，故D正确； 对C，将三棱锥侧面展开在一个平面上，连接，交于, 如图， 由余弦定理，， , 所以，, 所以， 在中，, 所以，即当P点运动到M点时，的最小值为，故C正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知事件与相互独立，，，则______． 【答案】0.88 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式求出，从而利用求出答案. 【详解】因为事件与相互独立， 所以， 所以． 故答案为：0.88 13. 如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由圆中直径所对圆周角为直角以及可得下底面各个线段长，根据等腰梯形，求得圆台的体高，利用线面角的定义以及直角三角形的性质，可得答案. 【详解】在下底面内过点作，垂足为，连接，如下图： 在圆内，易知，由，且， 则，，可得， 中，， 在等腰梯形中，由，，，则， 在中，， 在圆台内易知平面平面，由图可知平面平面， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 在中，. 故答案为：. 14. 已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建系，设取，，由图可得，由题得，，由正弦定理可得，再利用向量数量积的定义将所求式化成关于角的正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可求得答案. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设点取， 满足则，取，连接，则，依题意， 记中角所对的边分别为，由正弦定理，， 则得， 由 ，因，故， 故当，即当时，取得最大值1， 此时取得最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由可得：，不妨设， 则：，即. 若选择条件①： 据此可得：，，此时. 若选择条件②： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 若选择条件③： 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由，得． 由，得，即， 得．由于，得．所以． 若选择条件①： 由，得，得． 解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件②： 由，得，解得，则． 由，得，得． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件③： 由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解； 方法二：利用内角和定理以及两角差正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出． 16. 甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为. （1）求，； （2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得解方程组可得答案； （2）方法一，设，分别表示甲两轮猜对1个，2个谜语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个谜语的事件，由独立事件的概率求法和互斥事件的概率求法求出,设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件，则，从而可求得答案；方法二，设，分别表示第一轮两人猜对1个，2个谜语的事件，，分别表示第二轮两人猜对1个，2个谜语的事件，然后求出，设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件，则，从而可求得答案 【详解】解：（1）由题意，得 解得，. 所以，是方程的两个实根． 又，解得，. （2）解法一：设，分别表示甲两轮猜对1个，2个谜语的事件， ，分别表示乙两轮猜对1个，2个谜语的事件，则 ， ，. 设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件， 由题意， . 解法二：设，分别表示第一轮两人猜对1个，2个谜语的事件， ，分别表示第二轮两人猜对1个，2个谜语的事件，则 ，， ，. 设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语事件， 由题意， . 17. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为，的中点. （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合平面与平面平行的判定，得到平面平面，结合平面与平面平行的性质即可得结论；（2）结合平面与平面垂直性质，得到平面，利用体积关系，计算体积即可. 【详解】（1）取的中点，连接，，由于，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.又且， 所以四边形是平行四边形. 则又平面，平面， 所以平面. 所以平面平面.又平面， 所以直线平面 （2）因为，， 所以， 由于为中点，则，又侧面底面， 交线为，平面， 则平面，连接，可知，，两两垂直. 由（1）知直线平面， 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定，考查了三棱锥的体积计算方法，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 18. 如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且． （1）若M在距离A点处，求的长度； （2）为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 【答案】（1） （2）时面积最小，最小值为 【解析】 分析】（1）由条件推出，根据余弦定理求得； （2）利用正弦定理表示出的长，利用三角形面积公式表示出的面积，化简并结合三角函数性质求得答案. 【小问1详解】 在中，其中， ， 在中，， 则. 【小问2详解】 ， 在中，， 在中，， ， 因为，所以时面积最小，最小值为 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $