精品解析：江苏省新海高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试高一年级数学试卷（必修）

江苏省新海高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷（必修） 命题人吴旻玥霍小伟 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查向量模的计算，由，运用数量积的运算律展开，代入已知条件计算即可求出结果. 【详解】解：由， 所以. 2. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知角和，求角，利用构造角，求即可利用两角差的余弦公式进行计算． 【详解】因为，且，则； 又，则；又，则， 则； 因为 代入可得：，故． 3. 若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案. 【详解】由题知：设的三边分别为，，， 因为，所以角为最大的角. 因为，， 所以为锐角，故三角形为锐角三角形. 故选：B 4. 一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 5. 如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 6. 若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助投影向量公式计算即可得. 【详解】. 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式、二倍角正弦公式和半角公式，先把，，分别化成同一类三角函数值，再利用余弦函数在上的单调性比较大小． 【详解】因为，，所以. 由两角和的余弦公式，得. 因为.所以. 又因为，所以. 由半角公式，得. 即. 因为为锐角，所以，从而. 又因为，所以. 由于. 且余弦函数在上单调递减，所以. 即. 8. 在中，内角所对边分别为，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合两角和的正切公式展开，即可求解. 【详解】在中，，因此， 对两边取正切，， 由和角公式整理可得恒等式： ， 又，同号， 设，，，， 代入恒等式得： ， 化简得：，， 因此，解得，  ​， 又是三角形内角（），因此. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 B. 已知两直线平行于平面，那么直线一定平行 C. 若直线不在平面内，则直线平行于平面 D. 若直线平行，直线在平面内，则直线平行于平面内的无数条直线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线线、线面位置关系等有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】解：A选项，根据平面的性质可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内， 则这条直线在这个平面内，所以A选项正确； B选项，直线平行于平面，可能平行、异面、相交，B选项错误； C选项，若直线不在平面内，则直线平行于平面或直线相交于平面，所以C选项错误； D选项，由于，所以在内与平行的直线（异于），都与平行，D选项正确． 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 当时，满足条件的三角形共有1个 D. 若则这个三角形的最大角是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A、C，由诱导公式可判断B，由正弦定理角化边，再由余弦定理可判断D. 【详解】选项A，根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得 ，由大边对大角得，A错误， 选项B，锐角中，​，因此​，即， 又 都在内，在单调递增， 因此，不等式恒成立，B正确， 选项C，由正弦定理得： ， 为三角形内角，因此，仅有1个解，满足条件的三角形只有1个，C正确， 选项D，由正弦定理得 ， 设，最大边对应最大角， 由余弦定理： ， ， 因此，D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（） A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象，且的图象关于轴对称 B. 若，则的图象关于点对称 C. 若，若方程在上恰有一个根，则 D. 若函数在区间上单调递增，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简，根据平移及函数的对称性即可判断A；代入判断对称中心即可判断B；先确定的单调性，进而得到参数的取值范围即可判断C；先求得，再由单调性可得，对进行赋值，结合即可得到D． 【详解】 ， 对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度， 得到， 因为， 所以的图象关于轴对称，A选项正确； 当时，， 令，解得， 当时，，此时， 所以的图象关于点对称，B选项正确； 当时，， 当时，， 令，则， 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减， 且，，， 方程在上恰有一个根， 即与的图象在上恰有一个交点， ，，C选项错误； ， 又函数在区间上单调递增， 所以， 解得，又， ，D选项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用“斜二测画法”画水平放置的长为8，宽为的矩形，则其直观图的面积为______. 【答案】8 【解析】 【详解】根据题意，原图的面积为， 因为水平放置平面图形，用“斜二测画法”画出的直观图面积，是原图形面积的， 所以. 13. 在中，内角所对的边分别为，，已知，，，则角等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】已知中两边及一边的对角，则利用正弦定理计算另一边的对角，利用三角形内角和计算第三个角． 【详解】因为中，由正弦定理可知：； 因为，，，代入可得：； 解得：；因为，故； 故． 14. 在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，，，且，则______ 【答案】 【解析】 【详解】依题意有， ， 因为，所以， 整理得，由即可得， 又，所以， 所以. 四、解答题：本题共有5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，再整体代换求解即可； （2）由时，，整体代换求解函数的值域即可. 【小问1详解】 化简函数 所以， 令, 得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 因此， 故在区间上的值域为. 16. 已知向量，，. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量坐标的线性运算求出与，再根据两个向量共线时，坐标满足，代入坐标计算即可求出的值；（2）根据向量数量积的定义，又夹角为锐角，可知，进而可以列出关于的不等式，解出不等式，检验的特殊情况，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：由题意得，， 因为向量与共线，根据向量共线的坐标表示可得， 解得. 【小问2详解】 解：设向量与的夹角为， 由（1）知， 因为，， 所以，又，，因此， 解得， 当时，，此时夹角为，不合题意， 因此，当向量与的夹角为锐角时，实数的取值范围为. 17. 已知的面积为，角、、所对的边分别为、、，且. （1）求； （2）若，，求外接圆半径； （3）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得外接圆的半径； （3）利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，即可得出该三角形周长的最大值. 【小问1详解】 由得，整理得， 因为，故，于是得到，故. 【小问2详解】 因为，，由余弦定理可得，故， 设外接圆的半径为，由正弦定理可得，则， 故外接圆的半径为. 【小问3详解】 因为，由余弦定理和基本不等式可得 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的周长为，即周长的最大值为. 18. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 （1）救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ （2）求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】（1） （2）；能，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可. （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【小问1详解】 在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为60海里； 【小问2详解】 在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在小时内赶到救援. 19. 如图，正的边长为1，是边上的中线且点满足，过点的直线与边分别交于点（点可以和端点重合） （1）设，试用表示； （2）当时，求的值； （3）设，请用表示，并求其取值范围. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可求解； （2）根据，结合向量数量积运算律计算求解； （3）根据正弦定理用表示出，，可得，令，根据三角恒等变换可得，多次利用换元法结合二次函数性质可得的值域，进而计算可解. 【小问1详解】 因为是边上的中线且点满足， 故 , 则； 【小问2详解】 因为，， ， 所以； 【小问3详解】 由题意可知 在中，，，， 由正弦定理得：，即， 所以， 在中，， 由正弦定理得：，即， 所以， 则， 令 因为 ， ， 所以， 因为，所以，， 令，则， 令，则， 所以， 令，则， 由二次函数性质可知，在上单调递增， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的值域为，即的值域为， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省新海高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷（必修） 命题人吴旻玥霍小伟 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 4. 一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对边分别为，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 B. 已知两直线平行于平面，那么直线一定平行 C. 若直线不在平面内，则直线平行于平面 D. 若直线平行，直线在平面内，则直线平行于平面内的无数条直线 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 当时，满足条件的三角形共有1个 D. 若则这个三角形的最大角是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（） A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象，且的图象关于轴对称 B. 若，则的图象关于点对称 C. 若，若方程在上恰有一个根，则 D. 若函数在区间上单调递增，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用“斜二测画法”画水平放置的长为8，宽为的矩形，则其直观图的面积为______. 13. 在中，内角所对的边分别为，，已知，，，则角等于______． 14. 在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，，，且，则______ 四、解答题：本题共有5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的值域. 16. 已知向量，，. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 已知的面积为，角、、所对的边分别为、、，且. （1）求； （2）若，，求外接圆半径； （3）若，求周长的最大值. 18. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 （1）救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ （2）求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 19. 如图，正的边长为1，是边上的中线且点满足，过点的直线与边分别交于点（点可以和端点重合） （1）设，试用表示； （2）当时，求的值； （3）设，请用表示，并求其取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $