精品解析：湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026届高三下学期5月学情自测数学试卷

2026年5月高三检测卷 数学 （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事顶： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 2 3. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知等比数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知变量x和变量y的一组样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（残差=观察值-估计值）求重新得到的回归直线方程斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 圆柱的侧面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 圆柱的外接球的表面积为 10. 已知抛物线，设O为坐标原点，，，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（异于点），则下列结论正确的（ ） A. 若，可能为锐角三角形 B. 若，点在直线上的投影为定点 C. 若，且直线，分别交轴于点，，则 D. 若，且直线，分别交轴于点，，则 11. 定义在R上的函数，满足：，，若为偶函数，且，恒大于0，则下列选项正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______．（请用数字作答） 13. 在等差数列中，若前n项和有最大值，且，则满足时的最大正整数n为________． 14. 设椭圆的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与椭圆C相切于第一象限内点P，直线l与x轴交于点M，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，AC与BD交于点O． （1）求证：平面ABCD； （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 16. 在中，内角所对的边分别为，已知函数，且． （1）求角的大小； （2）若，的周长为，求的面积． 17. 某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A，B两类实践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务的考核，两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评为良好，A任务不合格直接评定为不合格．已知学生甲完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为；学生乙完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为，且甲、乙两人完成任务的结果相互独立． （1）求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率； （2）在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率； （3）从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格为0分，良好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）若椭圆C的离心率为，点在椭圆上，求椭圆C的标准方程； （2）在（1）的条件下，若直线l的斜率为，求的大小； （3）若存在这样的直线l使得，求椭圆离心率的取值范围． 19. 已知曲线，函数，其中． （1）试求曲线与函数的交点个数； （2）设曲线与函数的交点为，作在点T处的切线，交y轴于点K． （i）证明：； （ii）若在点处的切线与TK垂直，试探究点与椭圆的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月高三检测卷 数学 （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事顶： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得a可能取1，3，5，23，b可能取1，3，5，23， 则可能取2，4，6，24，4，6，8，26，6，8，10，28，24，26，28，46， 由集合的互异性去掉重复的元素，则，则． 2. 已知复数，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的乘法及除法运算化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】复数，则． 3. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，解得， 于是． 4. 已知等比数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】由可得，则，又， 所以，且，则． 5. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增． 又因函数是定义域为的偶函数，且， 所以由或， 所以原不等式的解集为． 6. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，得到最小正周期，从而求出的值，再根据正切函数的对称性求出，进而即可求出的最小值． 【详解】因为直线与函数图象的相邻两个交点的距离为， 所以函数的最小正周期为， 所以，解得． 又函数的图象关于点对称， 则，即． 所以正实数的最小值为． 7. 已知变量x和变量y的一组样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（残差=观察值-估计值）求重新得到的回归直线方程斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵，∴增加两个样本数据后的平均数为； ∵，∴．∴增加两个样本数据后的平均数为， ∴设重新得到的回归方程为，则当时，，又，解得． 8. 在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先看出，，，分别是四面体四个面的重心，因此四面体与四面体的体积比为．再求出平行六面体的体积，并利用四面体的体积是该平行六面体体积的，即可求得结果． 【详解】由题意可知，，，，分别是四面体四个面的重心，如图． 在任意四面体中，连接四个面的重心得到的小四面体与原四面体对应边平行，且相似比为，所以体积比为 因此 下面求．设平行六面体的体积为． 底面是边长为，夹角为的菱形，所以 设到底面的距离为．由于与，的夹角都为，所以在底面上的射影在的角平分线上． 设该射影为，则与，的夹角均为． 由，可得 解得 所以 故平行六面体的体积为 四面体由平行六面体的四个交错顶点组成，其体积为平行六面体体积的，故 于是 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 圆柱的侧面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 圆柱的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【详解】 对于A，取的中点，连接． 因为为的中点，所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面ADE，平面，所以平面，故A正确； 对于B，圆柱的侧面积，故B错误； 对于C，由题意得，且， 所以，故C正确； 对于D，取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故D正确． 10. 已知抛物线，设O为坐标原点，，，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（异于点），则下列结论正确的（ ） A. 若，可能为锐角三角形 B. 若，点在直线上的投影为定点 C. 若，且直线，分别交轴于点，，则 D. 若，且直线，分别交轴于点，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意可知直线过抛物线的焦点，根据判断；对于B，根据判断；对于C，由，，计算判断即可；对于D，设过作抛物线的切线方程为，联立方程组计算可得，，代入计算即可判断. 【详解】如图 当时，，， 设，则在点处切线的斜率为， 故切线方程为，整理可得， 因为，所以， 同理可得点处切线的切线方程为， 因为点在过点的切线方程上，同时也在过点的切线方程上， 所以过抛物线外一点的切点弦方程为． 对于A，当时，得到，过焦点， 直线与抛物线联立方程组可得， 所以， ， 此时， 故为钝角三角形，故A错误； 对于B，因为，故， 故点在直线上的投影为定点，故B正确； 对于C， ，故， 令，则，同理，故，故C正确； 对于D，当时，设过作抛物线的切线方程为， 与抛物线方程联立得， 由，整理得，则，， 故， 令，则，同理可求， 故，故D正确． 11. 定义在R上的函数，满足：，，若为偶函数，且，恒大于0，则下列选项正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】法一：利用已知关系，应用赋值法，结合奇偶性的定义得到的相关性质和递推关系判断各项的正误；法二：应用特殊函数法，令，依次分析各项的正误. 【详解】法一：令，得，因为且不为0，则． 令，得， 故，则为奇函数．故A正确； 令，得，因为，则． 令，得，故B正确； 用“”代替“”，得， 而，两式相乘得， 所以， 若，则，显然不成立，故C错误； 令，，，相加得， 用“2x”代替“x”得， 继续操作得， 令，，得， 由，联立得，故D正确． 法二：取，符合题意， 则且定义域为R，此时为奇函数，A正确； ，B正确； ， 而，不恒相等，C错误； 若，则，，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______．（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为： ，． 题目求的是的系数，由． 所以的系数为：． 13. 在等差数列中，若前n项和有最大值，且，则满足时的最大正整数n为________． 【答案】2026 【解析】 【分析】应用等差数列求和公式及项的下标和性质计算求解. 【详解】由等差数列，其前项和有最大值，得是首项，公差的等差数列， 因为，故，，且， 则，， 故满足时的最大正整数为2026． 14. 设椭圆的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与椭圆C相切于第一象限内点P，直线l与x轴交于点M，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，，的角平分线交轴于点，利用椭圆的光学性质可知，又得，最后由即可求解. 【详解】设，，的角平分线交轴于点，由椭圆的光学性质可知． 由 ， 又，， ，即， 则，得，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，AC与BD交于点O． （1）求证：平面ABCD； （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定条件即可证明； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，通过求出两个平面的法向量即可求解. 【小问1详解】 因为底面是菱形，， 所以为等边三角形，，，， 又，为中点， 故，， 已知，则， 则，故， 因为，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）知 两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 如图所示，则，，，，， 设平面的法向量为， ，， 则，即，令，得， 设平面的法向量为， ，， 则，即，令，得， 设平面与平面的夹角为，且为锐角， 则， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 16. 在中，内角所对的边分别为，已知函数，且． （1）求角的大小； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数后代入即可求解； （2）利用正余弦定理及三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 ， 已知，即，∵，∴， ∴或，解得或． 【小问2详解】 由题意知：，周长，∴， ①当时，由余弦定理：， 代入，，，得， 即．由完全平方公式，且， 代入得：，即，解得． 的面积； ②当时，由正弦定理：，∵，， ∴，∴，． ∵，∴，又，∴， 展开化简： ∴，因此不符合题意， 综上得，的面积为． 17. 某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A，B两类实践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务的考核，两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评为良好，A任务不合格直接评定为不合格．已知学生甲完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为；学生乙完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为，且甲、乙两人完成任务的结果相互独立． （1）求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率； （2）在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率； （3）从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格为0分，良好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由条件概率的乘法公式直接计算即可； （2）利用条件概率公式直接计算； （3）易知X的可能取值为0，4，8，分别计算出甲乙两人得到相应分数的概率，即可得出分布列和期望. 【小问1详解】 设事件“学生甲A任务合格”，事件“学生甲B任务合格”， 由题意可知，甲评定为优秀需均合格， 由条件概率的乘法公式可知． 【小问2详解】 设事件“甲、乙两人中至少有一人评定为优秀”，事件“学生甲评定为优秀”，CD表示“甲优秀且甲乙至少一人优秀”，即甲优秀， 故，对立事件“甲乙两人都不优秀”； 由(1)可知甲不优秀的概率为， 乙优秀的概率为，乙不优秀的概率为， 由相互独立事件概率公式， 因此； ． 【小问3详解】 X的可能取值为0，4，8， 学生甲得分的概率为P（甲得0分）； P（甲得4分）； P（甲得8分）； 学生乙：得分的概率为：设事件“学生乙A任务合格”，事件“学生乙B任务合格”， P（乙得0分）； P（乙得4分）； P（乙得8分）． 由于从甲、乙随机选取一人，则选中甲、乙的概率为， ； ； ． 则X的分布列为 X 0 4 8 P 则． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）若椭圆C的离心率为，点在椭圆上，求椭圆C的标准方程； （2）在（1）的条件下，若直线l的斜率为，求的大小； （3）若存在这样的直线l使得，求椭圆离心率的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质列式即可； （2）设直线AB方程为：，，，联立直线与椭圆的方程得到，，再利用向量数量积公式即可求出； （3）设，，利用余弦定理求得，， 即可得，即可求出. 【小问1详解】 由题可知，解得， 则椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线AB方程为：，，， 联立，即 ，则， ， 则． 【小问3详解】 在中，设，，则． 由余弦定理可知， 解得，同理可得， 因为，所以由，解得， 则，整理， 即， 则，解得， 因为，则， 解得． 19. 已知曲线，函数，其中． （1）试求曲线与函数的交点个数； （2）设曲线与函数的交点为，作在点T处的切线，交y轴于点K． （i）证明：； （ii）若在点处的切线与TK垂直，试探究点与椭圆的位置关系． 【答案】（1）曲线与函数有一个交点 （2）（i）证明见解析；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）画出函数图像即可得出结论，判断有一个交点； （2）（i）求得切线方程进而得到点的坐标， 从而，则只需证，转化为，构造函数，由单调性可得，即可得出结果； （ii）由切线与垂直可知，可得，问题转化为证明，进一步化简可得需证明：，通过构造函数，求导研究函数的单调性即可证得结果. 【小问1详解】 已知，， 可做出函数图像，如下所示： 则可知曲线与函数的交点个数为1个. 【小问2详解】 （i）因，则曲线在点处的切线斜率为； ，则， 因为，所以. 从而，由于； 则， 即； 设，其中，则，故单调递增； 则有，从而； 则，即. （ii）由在点处的切线与TK垂直可知， 在点处的切线斜率与相等， 即，即； 将代入椭圆方程，分析其左右式子关系， 即可得出与椭圆的位置关系. 设，即； 即；即； 设，其中，则，故单调递增； 则有，从而； 则，即成立， 即点在椭圆内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $