精品解析：湖南师范大学附属中学等校2026届高三下学期4月质量检测数学试题

高三年级4月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 40 B. 39 C. 36 D. 35 3. 在正项等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（ ） A. 1或2 B. 2或3 C. 2 D. 3 4. 某大学有A，B，C，D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不同的报名方式共有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 256种 D. 288种 5. 已知函数且在上的值域为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点．椭圆与轴正半轴交点为，椭圆与轴正半轴交点为，若（为原点），则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 8. 设的内角的对边分别为，的面积为，，则（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. 复数满足，则的最大值为 10. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体的体积为 B. BE，DF是异面直线 C. D. 点A到平面BDE的距离为 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线l的斜率为 B. C. （O为坐标原点） D. 当取最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为________. 13. 已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________. 14. 已知函数，则在上共有________个零点. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知正项数列满足，且. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前n项和. 16. 某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为． （1）求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； （2）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望． 17. 如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）求的极小值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求不等式的解集. 19. 已知双曲线的渐近线互相垂直，分别为其左、右焦点，双曲线与圆的某个交点的横坐标为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过右焦点的直线l与的右支交于P，Q两点，其中点P位于第一象限内，直线分别与y轴交于M，N两点. （i）是否存在直线l使得点在以线段MN为直径的圆上，若存在，请求出此时直线的斜率；若不存在，请说明理由； （ii）当时，求出的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级4月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 40 B. 39 C. 36 D. 35 【答案】D 【解析】 【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16， 因为，所以第60百分位数为19， 所以众数与第60百分位数之和为. 3. 在正项等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（ ） A. 1或2 B. 2或3 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，， 因为成等差数列，所以， 即，则， 因为等比数列中，所以，解得或， 又因为数列为正项等比数列，公比，所以. 4. 某大学有A，B，C，D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不同的报名方式共有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 256种 D. 288种 【答案】B 【解析】 【分析】先将5名学生分成4组，其中一组有2名学生，其余三组各1名学生，可利用组合数确定分组方式，对分好的组利用排列数计算分配方式，最后用分步乘法计数原理计算总报名方式数. 【详解】先从5名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余3名学生安排到4个不同的社团，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 5. 已知函数且在上的值域为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 6. 如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 7. 从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点．椭圆与轴正半轴交点为，椭圆与轴正半轴交点为，若（为原点），则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可设(为半焦距)，由于，由斜率相等可求出的坐标，代入椭圆方程即可得出答案. 【详解】由题意可设(为半焦距)，则，又， 因为，所以，得，所以， 把代入椭圆方程得，得， 所以. 故选：B. 8. 设的内角的对边分别为，的面积为，，则（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先对已知等式两边平方化简,结合三角形内角关系 ,用三角恒等变换推导出 ,再结合正弦定理与三角形面积公式求出外接圆半径 ,最后代入公式算出 的值. 【详解】由得，. 整理得，所以. 整理得. 所以. 所以，即. 所以 则，设外接圆的半径为. 由正弦定理得，. 所以. 解得,即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由已知，， 对于A，因为，所以，A正确； 对于B，因为，，B错误； 对于C，因为，在复平面内对应的点的坐标为，第一象限，C正确； 对于D，因为复数满足， 所以复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， 所以，所以的最大值为，D正确． 10. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体的体积为 B. BE，DF是异面直线 C. D. 点A到平面BDE的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，注意到几何体的体积，据此可判断选项正误；对于B，注意到BE，DF所在平面互相平行，又BE，DF不平行，据此可判断选项正误；对于C，由题设可得，据此可判断选项正误；对于D，由A分析结合等体积法可判断选项正误. 【详解】对于A，几何体的体积，故A正确； 对于B，因，平面，平面，则平面， 又平面ABCD，则，又平面，平面， 则平面，因，平面， 则平面平面，又平面，平面，，DF不平行，从而BE，DF是异面直线，故B正确； 对于C，易知，所以，故C错误； 对于D， ， 又由A分析可得，则点A到平面BDE的距离为，故D正确.故选ABD. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线l的斜率为 B. C. （O为坐标原点） D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线：，根据题意求出，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】对于A，依题意得，设直线， 联立，消去x得，则， 则，解得或， 则或， 则直线l的斜率，故A正确； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C，因为，所以，故C项错误； 对于D，依题意有，抛物线的准线方程为，所以， 则，由抛物线的定义可得， 可得， 因为，所以 ， 当且仅当时取等号，此时，故D项正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得圆心到直线的距离，据此可得弦长. 【详解】易知圆的圆心为，半径为3； 由圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 13. 已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】由，可得，则， 所以切线方程为，即， 由，可得，则， 所以切线方程为，即； 由题意可知，，解得， 所以. 14. 已知函数，则在上共有________个零点. 【答案】2 【解析】 【分析】把用积化和差公式变形后再由和差化积公式变形，然后结合正弦函数性质可得所求零点个数． 【详解】由于 ， 因此， 令，得或， 因为，所以解得，解得， 所以在共有2个零点和. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知正项数列满足，且. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明：由得，， 所以 ， 故是首项为1，公差为1的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）证明为等差数列，即证为常数，对条件化简即可证明； （2）先求的表达式，求出，化简通项，再分奇偶讨论前项和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以由（1）可知，，则. 所以 . 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述，. 16. 某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为． （1）求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； （2）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） X 300 450 600 750 P ． 【解析】 【分析】（1）分析甲、乙、丙三人各自被录取的概率，求得三人都没有被正式录取的概率，根据对立事件概率的求法求得至少有一人被该企业正式录取的概率； （2）易知X的所有可能取值为，分析其对应的事件，分别求得其概率，即可得到X的分布列，并求得X的数学期望. 【小问1详解】 设事件表示“甲被该企业正式录取”，事件表示“乙被该企业正式录取”，事件表示“丙被该企业正式录取”. 则由题可知. 事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”， 则， 所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率． 【小问2详解】 X的所有可能取值为，对应事件分别为“三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”. ， ， ， ． 所以X的分布列为 X 300 450 600 750 P 数学期望． 17. 如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，，所以平面平面， 因为平面MQN，所以平面PBC； （2）（i）； （ii） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理证且，由面面平行判定定理以及线面平行性质定理得证． （2）（i）先由平面PDE⊥平面BCDE建立空间直角坐标系，确定各点坐标；再设球心O，利用球心到距离相等列方程，求出球心坐标与半径，最后用球的表面积公式计算． （ii）在已建坐标系中，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两平面法向量夹角的余弦值，即为平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则，， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，， （i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设， 由得， 解得， 所以球O的半径的平方，故球O的表面积为. （ii），，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量， 所以． 故平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）求的极小值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，利用导函数分析单调性，从而得到极小值. （2）将不等式转化为当时，恒成立； 令，则只需即可，令，得到.分和两种情况讨论即可. （3）不等式即，设，利用导数研究其单调性且，所以当时，，当时，，当时，，故不等式的解集为. 【小问1详解】 函数定义域为，求导得； 令，得到 ； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此，在 处取得极小值. 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立； 令，则， 令，得到. 当，即时，在上， 函数单调递增，满足条件； 当，即时，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在处有最小值； 令，则，所以在上单调递减； ，即，不满足条件； 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 不等式即，设，得到； 令，得到，且 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 所以当时，，当时，，当时，； 故不等式的解集为. 19. 已知双曲线的渐近线互相垂直，分别为其左、右焦点，双曲线与圆的某个交点的横坐标为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过右焦点的直线l与的右支交于P，Q两点，其中点P位于第一象限内，直线分别与y轴交于M，N两点. （i）是否存在直线l使得点在以线段MN为直径的圆上，若存在，请求出此时直线的斜率；若不存在，请说明理由； （ii）当时，求出的大小. 【答案】（1） （2）（i）不存在，理由如下： 显然直线斜率不存在时结论不成立， 设直线，与双曲线方程联立得到，设点P，Q的坐标分别为，且恒成立，则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 故点M的坐标为，点N的坐标为， 若点在以线段MN为直径的圆上，则， 则 ，解得， 但是注意到直线l仅与双曲线右支相交，所以，因此上述直线不符合条件，因此不存在； （ii）或 【解析】 【分析】（1）由渐近线互相垂直得到， 双曲线方程和圆方程联立方程组解出即可得解； （2）（i）显然直线斜率不存在时结论不成立，设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到，利用点斜式写出直线的方程为，直线的方程为，从而得到点M的坐标和点N的坐标，若点在以线段MN为直径的圆上，则，利用数量积求出，解得的值，（ii）利用两点间距离公式求出，解得的值，利用二倍角的正切公式求. 【小问1详解】 因为渐近线互相垂直，所以， 将双曲线方程和圆方程联立，解出，解得， 则双曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）不存在，理由略； （ii）由两点间距离公式可得， ， 则，解得或（舍），可得，当时，设l的倾斜角为， 则， 所以，同理可得另一个角为，因此为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $