湖南邵阳市2025-2026学年高三下学期模拟预测数学试题

2026年邵阳市高三第三次联考 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.命题“3x∈R,2-x≤0”的否定是 A.Hx∈R,2-x>0 B.3x∈R,2'-x>0 C.Hx∈R,2-x≤0 D.3x∈R,2*-x≥0 2.已知向量a=(2,x),b=(2,4),若a+b=a-b,则x的值为 A.1 B.-1 C.4 D.-4 3.已知i为虚数单位，则|i+i2026= A.0 B.1 C.2 D.√2 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0),C上一点M(2,m)到焦点的距离为4，则p= A.1 B.2 C.4 D.8 5已知)是定义域为R的奇函数，且当o0时，x)=e-1若a)=了，则a的值为 2 A.In3 C.In 3 D.In3 4 6.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S%<S<Ss·若S.<0,则正整数n的最大值为 A.2026 B.2027 C.4052 D.4053 7已知a,Be0,, asim2a三、2sin8=sn(2a+8,则。 B.π C.m 6 D. 12 -x2-2x+2,x≤0， 8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)+5有8个不同的零点， Inx,x>0, 则实数a的取值范围是 A.25, B25,c.(3 n.[3,) 2026年邵阳市高三第三次联考（数学）第1页（共4页） 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法中正确的是 A.若随机变量X,Y满足Y=2X-1,则D(Y)=4D(X) B.在回归分析中，决定系数R的值越接近1，模型的拟合效果越好 C.经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个，点 D.若事件M,N满足PM)=行，P()=2,P(列M)=行，则P(MN)=g 0。数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆。+ 2,广=1(ab>0)任意两条互相垂直 62 的切线的交点都在以原点0为圆心，√a2+b2为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的 日圆，已知圆c60<4可以与边长为52的正方形的四条边均相切，则财 A,辅圆C的离心率为4 B.若一个矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为50 C.若A(-6,0),M为椭圆C的蒙日圆上任意一点，则直线AM的斜率的取值范围为 -51Π51Π 11,11 D.若P为椭圆C的蒙日圆上任意一点，且点P到直线l1:2x-y+65=0与到直线 l2:2x-y+m=0的距离之和与点P的位置无关，则m的取值范围是(-0，-5√5] 11.如图（一），已知在三棱柱ABC-A,B,C,中，∠A,AB=∠AAC,点D,E,F分别在棱CC1, AM,BB,上，且AB=G4,BF=2BB,CD=CC,AM,=6, C AB=AC=2,O为棱BC的中点.下列说法正确的是 A若LEAB=号，则AEL平面BC B.五面体ABCDEF的体积为三棱锥E-ABC的体积的8倍 C若LEAB+LBAC-),则cos∠EA0=2sin ∠BAC 2 图（一） D.若∠BAB+∠B1C=受，则当cs∠BAC=VT⑧+时，五西体ABCDEF的体积有装大值 6 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（1-y)(2x+y)4的展开式中x2y3的系数为 (用数字作答). 13.在正项等比数列fa,}中，若a,a,+a4tn,=40,LL,L+1_40 a az a3 as 9 则a3= 14.已知函数fx)=2x-,x≥a. ax-2,x<a,若f代x)存在最大值，则实数a的最大值为 2026年邵阳市高三第三次联考（数学）第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1点（15分)已知在△Mc中，点D在边c上，M0L4C,m∠1C=2.B=2,AD=2 (1)求BD的长； (2)若AD=xAB+yAC,求x,y的值. 16.(15分)如图（二），已知点D是半圆弧AB所在圆的圆心，点P是AB上异于A,B的点， 三棱锥P-ABC的外接球的表面积为16m,∠ABC=2 AB=BC=2 B (1)证明：平面ABC⊥平面PAB; D (2)当点P是AB上靠近点A处的三等分点时，求二面角 P-BC-A的余弦值， 图（二） 17.（15分)已知双曲线T过点P(2,2),且渐近线方程为y=±√2x,过点P作三条直线与T 的右支分别交于点A,B,C,直线PA,PB,PC与x轴的交点分别为点D,E,G (1)求T的方程： (2)设直线PA,PC的斜率分别为k1,k2 (1)若点E为线段DG的中点，且(k,-2)(k2-2)=4,求直线PB的斜率： (i)若，+h,=0,且m∠APC=S求△MPC的面积 8 2026年邵阳市高三第三次联考（数学）第3页（共4页） 18.(17分)已知一个质点从边长为1个单位的正三角形ABC的某个顶，点出发，沿着该三角形 的边移动，每次移动1个单位，具体规则如下： 2 苦质点位于顶点小，则每次移动到顶点B的概率为，移动到顶点（的概率为 若质点位于顶点B,则每次移动到顶点A的概率为3，移动到项点C的概率为 若质，点位于顶点C,则年次移动到项点A的概率为了，移动到顶点B的概率为 设质点初始位置在顶点A,请回答下列问题： (1)求第2次移动后质点位于顶点C的概率： (2)设第n次移动后质点位于顶点B的概率为Q（n∈N·). (i)求Qn; (iⅱ)当n足够大时，试估计第n次移动后质点位于哪个顶点的概率最大，并说明理由. 19.(17分)已知函数fx)=二(k≠0)和g(x)=e. (1)设函数h(x)=f(x)-lnx,讨论h(x)的单调性； (2)若函数(x)与g(x)的图象有三条公切线，求实数k的取值范围： (3)求函数e(x)=1+x2-+nx的最小值 g(x) 2026年邵阳市高三第三次联考（数学）第4页（共4页）2026年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 题 % 1 2 5 6 8 答 案 A B C C C B A 8.A【解析】由题意作出y=f(x)的大致图象如下， 设f(x)=t,则关于t的方程P-at+5=0有2个不同的根11 和t2,且关于x的方程f八x)=t1f(x)=t2分别有4个不同的 3 根.不妨设b1<2,易知关于t的方程P-at+5=0的判别式 2 △=a2-20>0,l1+t2=a,t12=5. (1)若t1,t2∈（2,3)，则t1+t2=a>0,所以a>25,且 -2)(-2)>0,即5-2a+4>0得25<a< v=f(x) (61-3)(2-3)>0,5-3a+9>0, (2)若1=2，剥6=3此时a=号，将合题意，故25<a号选 9 9 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AB BCD ACD 10.BCD 【解析】对于选项A,由已知条件，正方形的对角线的长度等于蒙日圆的直径 2y+,即16+=5，所以6=3，故箱圆的离心率e= 4,则选项A不正确； 对于选项B,设矩形的边长分别为x,y,则x2+y2=100.由不等式x2+y2≥2xy,得矩形的面积 的最大值为50，故选项B正确： 16k1 对于选项C,设直线AM的方程为y=k(x+6),又蒙日圆方程为：x2+y2=25,由 ≤5， √1+k2 得5≤5酒做选夏C亚病 对于选项D,如果点P到两条直线的距离之和与点P的位置无关，那么直线，与L平行，并 且分别位于蒙日圆的两侧，临界状态就是L,:2x-y+m=0与蒙日圆相切，此时m=-5√5，所以 m的取值范围是（-∞，-55]，故选项D正确. 2026年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准（数学）第1页（共7页）》 11.ACD【解析】由题知，我们只需重，点研究五面体ABCDEF,如图所示. 对于选项A,在五面体ABCDEF中，记∠EAB=∠EAC=a,∠BAC=B. 连接EO,由AE=AE,AB=AC,∠EAB=∠EAC, 得△EAB≌△EAC,则EB=EC,又点O为BC的中点，则EO⊥BC.又AB=AC,则AO⊥BC 因为AO∩E0=0,AO,E0C平面AOE,因此BC⊥平面AOE,又AEC平面AOE,所以AE⊥BC. D 当a=号时，在△MBE中，AE=石M,=1,AB=2, 则BE=√JAB2+AE2-2AB·AEC0sa=√4+1-2=√3， 则AE2+BE2=4=AB2,故AE⊥BE, 又BE∩BC=B,BE,BCC平面BCE, 所以AE⊥平面BCE,故选项A正确； 对于速项B,莲接C,由E/BP,得B3又BF/CD,则罗 VB-FCE BF3 Vn-cECD5’ ma=5a=5,因光演五西体的体积V=9,故选项B不正确； 对于选项C,过E作EH⊥AO交AO于点H,因为BC⊥平面AOE,则BC⊥EH, 又AO∩BC=O,AO,BCC平面ABC,于是EH⊥平面ABC,由ABC平面ABC,得EH⊥AB, 过H作HM⊥AB交AB于点M,连接EM,又EH∩HM=H,EH,HMC平面EMH, 因此AB⊥平面EMH,而EMC平面EMH,则EM⊥AB, AM cos∠EAH=4g_-AE-os∠BA5-cocc-sin9=2si AEAM COsLBAO cos B B 2 AH 2 cos 2 ∠BAC .∴.cos∠EAO=2sin 2,故选项C正确 对于选项D,EH=AEsin∠EAH= 1-4sin2 B ,=√/2cosB-1, 设cmp8=1e(分1.(1-oms8)(2ms8-1)=(1-(2-1)=e), 求导得0=-6+2+2，由r)>0,得1cT 6 ;由()<0，得3+1 6 <t<1, 画数0在台，8+上单满适增，在1. 上单调递减， 当=③+1 时，f(t)取得最大值，此时VBc取得最大值，五面体ABCDEF的体积V取得最大值， 6 所以当该五面体的体积取到最大值时，c0s3= √13+1 ,故选项D正确.综上所述，故选ACD 6 2026年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准（数学）第2页（共7页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.-24 13.3 a 141*5 2 【解析】若f(x)存在最大值，则a≥0. 当0≤a≤1时，x≥a时，y=2x-x2的最大值为f(1)=1, 而y=ax-2在区间(-∞，a)上为单调递增函数，则a2-2≤1，解得-√3≤a≤3， 故0≤a≤1. 当a>1时，x≥a时，y=2x-x2的最大值为f(a)=2a-a2, 而y=ax-2在区间(-0，a)上为单调递增函数， 则a2-2≤2a-a2,即a2-a-1≤0，解得 -51+5 -≤a≤ 2 2 .1+√5 故1<a≤2， 综上所述得0≤a≤ 2,故a的最大值为+5 1+5 2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 解：(1)因为在△ABC中，AD⊥AC,点D在边BC上，则 ∠BAD=∠BAC-T 2 有cOS∠BAD=cOS =sin∠BAC=52 8 …3分 所t以在△ABD中，BD°=AB+AD-2AB·AD0s∠BAD=4+2-2X2x2×5,5=1, 8 故BD=1. 6分 (2)在△BD1中，由余弦定理得cs∠BDA=AD+BD-AB_2+1-4V2 2AD·BD22 =年，则0LADC= 4 AD 故DC= =4. …9分 cos∠ADC√2 × 又而=+B丽=店+B配=店+(aC-)=等店+5d, …12分 41 故x=5y=5 …13分 2026年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准（数学）第3页（共7页） 16.(15分) (1)证明：设三棱锥P-ABC的外接球球心为点O,半径为R, 则4πR2=16π，解得R=2. 设△ABC的外接圆半径为r,因为AB=BC=2,∠ABC=2 AB 则r22 2sin LACB -=2. …3分 T 2sin 6 以R=r,点O也为△ABC外接圆的圆心，连接PD,OD,P0,AO,得OD⊥AB. 在Rt△AD0中，A0=R=2,AD=1,故OD=√3 P在AB上.PD=1.又P0=R=2,P02=PD2+0D2..OD⊥PD. AB∩PD=D,AB,PDC面PAB,则OD⊥面PAB 又ODC平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAB. 6分 (2)由(1)知，OD⊥平面PAB,OD⊥AB,以D为坐标原点，建立如图所 示的空间直角坐标系D-z. :点P是AB的三等分点且靠近A点， .△APD为等边三角形 由题可得40-1.0)80.1,0，c5,2.0),P0号 =(1,0)m0 ............. 8分 BC·m=0, 设m=(x,y,z)是平面BCP的一个法向量，则由 BP m=0, 5x+y=0, 得 33。 取x=1,得y=-√3，z=-3, 2y+22=0, 平面BCP的一个法向量为m=(1,-√3，-3) 11分 又z轴垂直于平面ABC,∴.n=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量， 设二面角P-BC-A的平面角的大小为0， 1m·n313 cos01=Icos(mnI=ImIn13 14分 易知0为锐角，cos0=3V③ 13 所以二面角P-BC-A的余弦值是3Y3 ee ................................................. 15分 13 2026年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准（数学）第4页（共7页） 17.(15分) 解：(1)由题可设双曲线Γ的方程为(2x)2-y2=入，即2x2-y2=入， 将点P(2,2)代人可得A=4,所以双曲线T的方程为：上 =1.…4分 24 （2)(i)直线PAy-2=k(x-2),令y=0,得xn=2 2 直线PC:y-2=k2(x-2),令y=0,得xc=2- k2 电-2达-24得花所以o+。3,敌中照0. 7分 2-0 所以k=。3 =4故直线PB的斜率为4，…… 9分 (iⅱ)由题意得：k,+k2=0且k1,k2≠0，不妨设k>0,则k2<0. 设直线PA的倾斜角为a0<a<）,则2a+∠APC=,所以am2a=-LAPC= 15 1-k5可得4,3-15%，-4=0，又6>0，所以=4，=-4 2k18 …11分 所以直线PA:y=4x-6,直线PC:y=-4x+10. y=4x-6, 2420 由x2y1得7x2-24x+20=0,故xptx1=7xpx= 24=1, 所以1PAI=√1+k,7×√(xp+xA)2-4xpxA=√/1+16× 20×44√/17 7 7 …13分 y=-4x+10, 40 由gl,得7-40+52-=0，故，t,-7e号 24 所以1PC1=√1+k,×√(xp+xc)-4xpxc=√1+16× 52×412√17 7 7 由tan∠APC= 得m∠AC- 8 所以Sae=2PA·IPc1sin乙APC=x4yTx127x8=I192 27×71749 …15分 18.(17分)》 解：(1)设事件B,=“第1次移动后质点位于顶点B”,C2=“第2次移动后质点位于顶点C”, 根据题意得P(B,)=3P(C,1B,)= 1 2 2分 2026年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准（数学）第5页（共7页） 得PrC,)=P(B)PGa,)=方号号 因此，第2次移动后质点位于顶点C的概率为) …4分 (2)(i)设第n次移动后质点位于顶点A,C的概率分别为P.,Rn,则P+Q+R。=1. 根据规则，递推关系如下： 1 P.= 2R- 1.1 0.=3P.t3R.1(n≥2) 7分 22 R=3 P-t30.-1 由Rn1=1-P1-Q.-(n≥2)，代入Qn的递推式得： 3Qn-(n≥2)， 9分 所以Q0》as2.又0日4品 所以数列Q.是以为首项，号为公比的等比数列 所以0.4}"，卿o.=4）'(aeN 11分 (iⅱ)当n足够大时，第n次移动后质点位于顶点C的概率最大，理由如下： 由(i)知，Qn-1=1-P-Q.(n≥2)，代入Rn的递推公式得： …… 13分 所以风号号引2又风号号号 所以数列R号引是以为首项，弓为公比的等比数列 所以R号-含，即号名引”aeN…15分 所以r1-Q-R0}"言引}aeN) 所以mP=0m0.=m 7 2 好品号 故当n足够大时，第n次移动后质点位于顶点C的概率最大. 17分 2026年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准（数学）第6页（共7页） 19.(17分) 解：(1）由已知得h()=女-nx,定义域为(0，+x), 所以h'(x)=k1。+x ………………………………… 1分 当k>0时，h'(x)<0恒成立，所以h(x)在(0，+∞)上为减函数； 2分 当k<0,由h'(x)>0得x<-k,又因为定义域为(0，+0)， 所以h(x)在(0，-k)上单调递增，在(-k,+∞)上单调递减 ........。e 4分 (2)设公切线1与)相切于点P)0),与g)相切于点0(，一。 由了(x)得公切线1的方程为y-人-)，整理得y:2 x12x1 由g(x)=e得公切线l的方程为y-e=e2(x-x2),整理得y=e2x+e(1-x2).…② k-e3, x2=2x1+1, 由①②得 整理得 …………………………………… 6分 2k =e*2(1-x2）, k=i (x1 设h(x)=x2e21,则'(x)=2x(x+1)e21, 所以h'(x)>0,得x<-1或x>0, 所以h(x)在(-∞，-1)和(0，+∞)上单调递增，在(-1,0)上单调递减. …8分 又x→-o时，h(x)→0，x→+∞时，h(x)→+∞，h(-1)=二，h(0)=0, 1 故要使得-k=h(x)有三个不同的根，需0<-k<二， 综上可得，的取值范围为。0 10分 (3)因为p(x)=e+x2-x+xnx(x>0),所以p'(x)=-e+2x+lnx, 又因为x>0,所以p"(x)=e+2+二>0，所以p'(x)在(0，+∞)上单调递增， 又因为日）<0，p'(1)>0,所以'(x)存在唯一零点。 设零点为o则%e(后且-e+2o+,=0 13分 故当xe(0,xo)时，p'(x)<0;当x∈(xo,+∞)时，p'(x)>0,即p(x)在(0，x)上单调递减， 在(xo,+o)上单调递增，所以p(x)的最小值p(xo)=e0+x,2-xo+olnxo 又因为-e0+2x。+lnxo=0,所以p(xo)=(xo+1)(xo+lnxo), 又因为xo+lnxo=eo-xo=e0+lne0,令m(x)=x+lnx(x>0),则m(xo)=m(e0). 因为m'(x)=1+二(x>0),所以m(x)在(0，+0)上单调递增，所以x。=e0,即x+lnx。=0, 故p(x)的最小值p(xo)=(xo+1)(x+lnxo)=0. …17分 注：解答题有其他解法酌情给分 2026年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准（数学）第7页（共7页）