精品解析：四川广安市华蓥中学2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题

四川省华蓥中学高2028届高一下半期检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据化简复数，即可根据虚部概念求解. 【详解】由于，所以的虚部为1， 故选：A 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 3. 在中，已知，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得：. 4. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，求面积即可. 【详解】由题可知原图中，，，， 所以的面积为． 故选：C． 5. 如图，若，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解. 【详解】， 即， 故选：A. 6. 如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中截面性质得出圆柱的高和底面半径，然后由圆锥体积减去圆柱体积即得. 【详解】如图，过OP的中点作平行于底面的截面，截面圆半径， 是圆锥底面半径，在母线上， 因为为中点，则，， 所以剩余的几何体的体积为. 7. 在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A. B. C. 或 D. 无法确定a的范围 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，然后根据三角形一解的条件列不等式即可求解. 【详解】中，，，， 由正弦定理得，即，可得， 根据，且仅一个解时，或， 即或，结合，解得或. 8. 在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量可建立起的关系式，再结合面积即可求得，再利用面积相等即可求角平分线的长. 【详解】为边上的中线，， 即，即， 即，. 因为，， ， ， 为平分线，，故， 又，所以， 即，解得， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列图形是正方体表面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的展开图逐项判断即可. 【详解】通过分析可知，ABD选项均为正方体的表面展开图， C选项不是正方体的表面展开图，因为有一个面会重合. 故选：ABD. 10. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 11. 如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为18 D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取的中点，证明平面平面从而证明直线平面；对于B，由A知平面，经过的平面有且仅有一个平行于平面，即可判断；对于C，根据即可判断；对于D，根据可确定截面为梯形，再证明即可判断. 【详解】对于A，取的中点，连接，，， 则四边形为平行四边形， 所以，又平面BMN，平面， 所以平面， 因为点，为，的中点，所以，又，所以， 由，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，由A可知，平面， 经过的平面有且仅有平面平面， 因为平面与平面不是一个平面，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，如图，连接，，由四边形为平行四边形得， 因为，所以，所以，，，四点共面， 所以平面BMN截正方体所得的截面是梯形， 由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理，可得. 13. 若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 14. 在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】在中，点是边上异于端点的一点，， 根据向量共线定理，可知，，． ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，求： （1）的坐标； （2）的值； （3）的值. 【答案】（1） （2） 0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求解. （2）利用数量积的坐标表示求解. （3）利用坐标求出向量的模. 【小问1详解】 由向量，，得 . 【小问2详解】 由向量，，得 . 【小问3详解】 由向量，，得 ， 所以. 16. 在中，角所对的边分别为，已知，． （1）求角的大小； （2）求边的长度； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可求得，可求角的大小； （2）利用勾股定理可求边的长度； （3）由三角形是直角三角形可求的面积． 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，又因为，， 所以，所以， 又因为，所以，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，又，所以， 所以由勾股定理可得，所以. 【小问3详解】 由（2）知是直角三角形，且，所以. 17. 如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点． （1）求三棱锥的体积 （2）求证：∥平面； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用锥体的体积公式即直接求解， （2）根据三角形的中位线可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证. 【小问1详解】 ∵平面， 所以三棱锥的高为， 所以； 【小问2详解】 连接交于，连接， 则为的中点，且为的中点， 所以中位线//，且平面，平面， 所以//平面. 18. 某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. （1）求岸线上点与点之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元） 【答案】（1）米 （2）55076元 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可； （2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值. 【小问1详解】 ， 岸线上点与点之间的直线距离为米. 【小问2详解】 △中，， ，，（）， 设两段网箱获得的经济总收益为元，则 ， 当，即时， （元） 所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元. 19. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求得答案. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，再利用三角形面积公式求解. （3）结合余弦定理变形目标式并用正弦定理化边为角，再利用和角的正弦及正切函数的性质求出范围. 【小问1详解】 在锐角中，由及正弦定理， 得，由余弦定理得， 于是，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，解得， 因此当时，的周长取得最大值6， 此时的面积. 【小问3详解】 在锐角中，，由，得，， ， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省华蓥中学高2028届高一下半期检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 在中，已知，则（ ）. A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 如图，若，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A. B. C. 或 D. 无法确定a的范围 8. 在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列图形是正方体表面展开图的是（ ） A. B. C. D. 10. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 11. 如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为18 D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则__________. 13. 若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 14. 在中，点是边上异于端点的一点，若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，求： （1）的坐标； （2）的值； （3）的值. 16. 在中，角所对的边分别为，已知，． （1）求角的大小； （2）求边的长度； （3）求的面积． 17. 如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点． （1）求三棱锥的体积 （2）求证：∥平面； 18. 某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. （1）求岸线上点与点之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元） 19. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $