四川省南充高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

南充高中高2024级高一下期中考试 数 学 试 题 总分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列与角终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 4．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 7．已知函数，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 8．已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．已知函数．则能够使得变成函数的变换为（   ） A．先横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移 B．先横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移 C．先向左平移，再横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．先向右平移，再横坐标变为原来的，纵坐标不变 11．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的周期是4 C．方程 D．定义在上的函数满足，若函数与函数的图象有个交点，则的值可能是2025. （注：） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域是 . 13．若，，则= . 14．若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．已知向量，满足 （1）求； （2）若，求k的值. 16．（1）计算：； （2）设，为锐角，且，，求的值. 17．已知函数. （1）求的周期以及单调增区间； （2）设函数的最小值为，求的解析式. 18．为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造。如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成。新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. -4 （1）求曲线段的解析式； （2）若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求的大小； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 19．已知函数． （1）求的值； （2） （3）若关于的方程恰有三个不等实根，且，求的最大值，并求出此时实数的值． 高2024级 数学试题 第 页，共4页 高2024级 数学试题 第 页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$《南充高中高2024级高一下期中考试数学试题》参考答案 题号 10 ACD 答案 ACD B B ABC 12.[0、3【详解】.0..2x0 则tan2xe[o,3] 17 -.sinθ+cose-) 4 一#### 故当: 时,()-()×.,当n5时,)()在 mnn上为增函数, 且/(1)在[mn,叫上的值域为D-[r],而()在[n叫上的值域为 # ##,且” 。 所以(m^)^)1 其_1.所以 而{ 所以 当1<154时,(n)在nn上的值域为D- mn ,故mn= 6 6 m ##6# 6 , 6 15.【详解】(1)由题意可得,b=lcos<,b>=1x2x=1,因此 (a+# +4a+46-+4x1+4×2-21. .......分... (2)$+(-k]).+-k]=0,利用向量数量积的分配律得 2-kab+a6-k^{}=0,带入已知条件,得 _2 $$-+1-4=0→2 -5k=0,即k=$ 10 .........1..分.). 1② 3sin10*-cos10" 2sin(10*-30) cos10* sin10 sin10cos10” sin10cos10" 2sin(-20*)-2sin 20" --4 二 sin10cos10= ............分.). 25 (3)根据题目条件可得,cosa三 ##~, inR0 10 25310 10 550 2 cos(g+B)=cosa cos B-sing sin B= 2 ...........1.分.). 2π一π 2 .......分.. 12 12 10 :单调增区间为 ........... (2) g($x)=-sin}x+acosx+l=-(1-cos{}x)+acosx+1=cos{}x+acosx,令 cosx=t,te-1,1]. .............1..分) 当- <-1时,即a>2时,g(x)m=h(a)=- 2 当-1<-<1时,即-2<a<2时,g(x)m=h(á)- a2} 2 4 当- [1-a,a>2 2} ,-2<a<2 ...............精.5分) 1+a,a<-2 且→0,则2π. ().s$(4-01 所以曲线段FBC的解析式为y=2sin ..................分.)分. -# 又因为CD=1,则tan DOC= ..................分).. ②由(1)可知OD=2, 0P=2,且 <POE=oe(0_). V 0 0 M # NE-, OM 则QM=PN=2sin e.ON=2cos 9.OM- ( 23 #3#sin 2V 可得MN=ON-OM=2$cosm$ - 3-sine, 3 3 3 -4#{0)- ....................1.4分) 因为6 0),则20+(第#5# 可知当20+--,即-时,s(o 43 23 23 62' 3 3 所以当o-时,s(0)取得最大值2. 3. 6 ...............1.分) .............分 2 因为函数y=(t-2)}-4和ly=2cosx均在[0.|上单调递减, 2 所以函数f(x)在[0.1l上单调递减 故f(x)m=f(l)=-3,f(x)m=f)= 所以函数f(x)在[o.1]上的值域为[-3.2] .................分.). (3)-a-4~(t2)-(01) (3) ($-2)* →0.05cosx+1$2 显然:当x*2时, 由于方程{(x)-a-4有三个不等实根与,,,所以必有a>o, . 令F(x)=/(x)-a+4 ,则 2 ,显然有F(2)=0 F(4-x)-(4-)4(4-)co(4-)+-co- 的 2 得到F(4-x)=F(x). .所以函数F(x)关于直线x=2对称, 由$F(¥)=F(x)=F($)=,可得:+$,=$ = 于是 f(2x)=4x}-8x-acost, (2))-7(x)-84-8×c×4×8 -3-)-1--1-1). (×-2^→^1 由F(×)-0可得: 将②代入①式可得 --+-)- . ,即=4(kEN)时等号成立, 由于/(x)-a-4恰有三个不等实根,=2且<<, 所以$=0,此时=4,$ ((1-2) {1) 可得 由 4-a(cos0+1) 即4=2a:a=2 ...............17分)