精品解析：黑龙江佳木斯市富锦市两校联考2025—2026学年度下学期八年级 期中测试数学试卷

2025－2026学年度八年级（下）期中测试 数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下面各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A， 的被开方数 不含分母，也不含能开得尽方的因式，满足条件； 对于选项B，==，被开方数含能开得尽方的因数 ，不满足条件； 对于选项C， 被开方数含分母，不满足条件； 对于选项D，=，被开方数是能开得尽方的因式，不满足条件． 只有A选项是最简二次根式． 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式合并法则、二次根式除法法则和完全平方公式，逐一判断选项计算是否正确即可． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，A选项错误； ，计算正确，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误． 3. 下列各数中，是勾股数的是（ ） A. B. 1.5，2，2.5 C. D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，能够正确掌握勾股数的要点是解题的关键． 先明确勾股数的定义：勾股数是满足两较小数平方和等于最大数平方的三个正整数，据此逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：A. 由于不是正整数，故A不符合题意.； B. 由于，不是正整数，故B不符合题意； C. 该组三个数为，，，计算得，，由于，故C不符合题意； D. 由于，，均为正整数，且，满足定义，故D是勾股数，符合题意． 4. 当时，化简的结果是（ ） A. 1 B. C. a D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 5. 一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）×180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n﹣2）×180°=2×360， 解得：n=6． 即这个多边形为六边形． 故选B． 6. 如图，点A是以点O为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点B是以点O为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点A，B表示的数分别为a，b． 化简为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数轴上的点表示实数，二次根式的性质． 根据勾股定理求得，，得到，，代入式子后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据勾股定理，得，， ∴，， ∴，， ∴ ． 故选：B 7. 如图，在菱形中，为的中点，则对角线上的动点到两点的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得知关于对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知为的最小值，进而求的值即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴关于对称， ∴连接交于， 则， 根据两点之间线段最短，的长即为的最小值， ∵， ∴为等边三角形， ∵ ， ∴， ∴ ∴点到两点的距离之和的最小值为． 8. 四边形的对角线，交点O，点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 对于任意四边形，四边形一定是平行四边形； B. 若，则四边形一定是菱形； C. 若，则四边形一定是矩形； D. 若四边形是菱形，则四边形也是菱形． 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线性质，结合矩形、菱形、平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形，故A正确，不符合题意； B．∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形一定是菱形，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形一定是矩形，故C正确，不符合题意； D．∵四边形是菱形， ∴， 根据C选项的解析可知，此时四边形一定是矩形，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形，矩形、菱形的判定方法． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，对角线AC、BD相交于点O，点P是AD上一动点（不与A、D重合），过点P作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F，则PE+PF的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接OP．利用勾股定理求出AC，利用矩形的性质得出，进而得出，再利用，联立即可求出PE+PF的值． 【详解】解：如图，连接OP． ∵ 矩形ABCD中，AB=3，AD=4， ∴， ， 由矩形的性质知，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理及三角形面积公式，通过将PE和PF结合起来，是解题的关键． 10. 如图，正方形中，，点，分别在边、上，，连接，连接分别交、于N、M，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④；⑤，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】延长到T，使得，连接，证明，，可判定①②，利用等量代换，可判断③，根据全等三角形面积相等可判断④；将绕点A逆时针旋转使与重合，得，连接，同理可证，得到，根据正方形的性质得到，由旋转的性质可知，，得到，根据勾股定理即可判断⑤． 【详解】解：延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴． ∴．故①正确； 的周长为，故③正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故④正确； 将绕点A逆时针旋转使与重合，得，连接， 同理可证， ∴， ∵正方形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，其中正确的是①②③④⑤． 二、填空题（共30分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数为非负数，得出，再根据分母不为即可确定的取值范围．本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，关键是掌握分式的分母不为和二次根式的被开方数为非负数． 【详解】解：由题意得，， ， ， 且， 故答案为：且． 12. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 【答案】(或，答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 13. 已知的两边为和，则第三边为_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】已知直角三角形的两边长，未明确哪条边是斜边，因此分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长即可. 【详解】解：设第三边长为， 当边长为的边是斜边时，， 解得：， ∵边长为正数， ∴； 当边长为的边是直角边时，， 解得：， ∵边长为正数， ∴； 综上，第三边长为或. 14. 一棵大树在一次强台风中于地离面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为____________． 【答案】15米 【解析】 【分析】由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面5米处折断倒下，即BC=5米，所以得到AB=10米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度． 【详解】解：∵∠BAC=30°，∠BCA=90°， ∴AB=2CB， 而BC=5米， ∴AB=10米， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=15米． 故答案为：15米 15. 如图，有一个长方体，长、宽、高分别为6，4，4，在长方体的底面A处，有一蚂蚁，它想吃长方体上面与A相对的B点处的食物，那么最短需要爬行的路程是______． 【答案】10 【解析】 【分析】将长方体展开，把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：第一种情况∶把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是8和6， 则所走的最短线段是； 第二种情况∶把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10和4， 所以走的最短线段是； 第三种情况∶把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10和4， 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第一种情况最短， 故答案为∶10． 【点睛】考查了平面展开—最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段． 16. 如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，平行线的性质；解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 设，则， 根据折叠可知：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点.连接，，，且，，则的长是___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵BC=14， ∴DE=BC=7， ∵∠AFB=90°，AB=8， ∴DF=AB=4， ∴EF=DE-DF=7-4=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，为边上一动点且点不与点、重合，于，于，则的最小值为 ______ ． 【答案】4.8 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短的性质．利用“垂线段最短”找出时，取最小值是解答该题的关键．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，，  ，   ， 又于点，于点 ， ，  四边形是矩形．  ， 当最小时，也最小，  即当时，最小，  ，  ，  线段的最小值为；  故答案为： ． 19. 在菱形中，，点是菱形内一点，，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分成P在上和P在上两种情况进行讨论，根据是等边三角形，即可求得的长度，在直角中利用勾股定理求得的长，则即可求得． 【详解】解：设和相交于点O． ， ∵四边形是菱形，则垂直平分， 又， ∴点在上， 当P在上时， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴． 在中，． 则； 当P在上时，． 综上，的长为或． 20. 如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，则第个正方形的面积为______．（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出、、、的长，根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：由题意，正方形的边长为1，则其面积为1； ∴，正方形的面积为； ∴，正方形的面积为； ∴，正方形的面积为， …… ∴，正方形的面积为． 故答案为：． 三、解答题：（共60分） 21. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 22. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先通分算括号内的，然后算乘除化简，最后代入求值即可. 【详解】解：原式， ， ， 当时，上式. 23. 已知四边形是平行四边形，是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先连接，交于点O，由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得，，又由，可得，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】证明：连接，交于点O， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形． 24. 平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？ 【答案】4米，5米 【解析】 【分析】设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米， 根据勾股定理得， 解得（米）， 故（米）． 25. 我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． （1）求四边形的空地的面积； （2）已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】（1）24 （2）3840 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在中，，米，米， 由勾股定理得米， ∵米，米， ，， ∴， ∴， 该区域面积 (平方米)， 【小问2详解】 用该草坪铺满这块空地共需花费元． 答：用该草坪铺满这块空地共需花费3840元． 26. 正方形中，为对角线，点在射线上运动，以为边作正方形，连接． （1）如图①，当点在线段上运动时，与的关系为_____． （2）当点在线段及其延长线上运动时，如图②，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）当点在线段的延长线上运动时，如图③，连接，，若，四边形的面积为_______． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质论证，即可得出结论； （2）利用正方形的性质论证，即可得出结论； （3）利用求解即可． 【小问1详解】 答：． 理由如下：∵四边形是正方形， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 答：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴ ， 即， ∴ ， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：连接交于点， ∵正方形中 ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 27. 如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边与轴重合，直角边与轴重合，，，将折叠，使它落在轴上，得到，折痕为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，点P运动到点B时停止．设运动时间为秒（）． （1）求D点坐标； （2）设的面积为，求与的关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在平面内是否存在点Q，使以，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）设，则，根据勾股定理，得，故，求解即可； （2）设运动时间为秒，则，根据三角形的面积公式，分类求解即可； （3）根据平行四边形的性质，中点坐标公式求解即可 【小问1详解】 解：，， ， 根据题意，得，， 故， 故，，， 设，则， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故； 【小问2详解】 解：设运动时间为秒，根据题意，得， 当时，； 当时，过点D作于点M，连接，根据题意，得，， 故， ； 综上所述，． 【小问3详解】 解：根据题意，设点与点构成一个平行四边形， 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度八年级（下）期中测试 数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下面各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各数中，是勾股数的是（ ） A. B. 1.5，2，2.5 C. D. 5，12，13 4. 当时，化简的结果是（ ） A. 1 B. C. a D. 5. 一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，点A是以点O为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点B是以点O为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点A，B表示的数分别为a，b． 化简为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，为的中点，则对角线上的动点到两点的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 四边形的对角线，交点O，点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 对于任意四边形，四边形一定是平行四边形； B. 若，则四边形一定是菱形； C. 若，则四边形一定是矩形； D. 若四边形是菱形，则四边形也是菱形． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，对角线AC、BD相交于点O，点P是AD上一动点（不与A、D重合），过点P作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F，则PE+PF的值是（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，正方形中，，点，分别在边、上，，连接，连接分别交、于N、M，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④；⑤，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（共30分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 12. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 13. 已知的两边为和，则第三边为_____． 14. 一棵大树在一次强台风中于地离面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为____________． 15. 如图，有一个长方体，长、宽、高分别为6，4，4，在长方体的底面A处，有一蚂蚁，它想吃长方体上面与A相对的B点处的食物，那么最短需要爬行的路程是______． 16. 如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，则线段的长为________． 17. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点.连接，，，且，，则的长是___________. 18. 如图，在中，，，，为边上一动点且点不与点、重合，于，于，则的最小值为 ______ ． 19. 在菱形中，，点是菱形内一点，，则的长为_____． 20. 如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，则第个正方形的面积为______．（用含的代数式表示）． 三、解答题：（共60分） 21. 计算： （1） （2） （3） （4） 22. 先化简，再求值：，其中 23. 已知四边形是平行四边形，是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 24. 平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？ 25. 我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． （1）求四边形的空地的面积； （2）已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 26. 正方形中，为对角线，点在射线上运动，以为边作正方形，连接． （1）如图①，当点在线段上运动时，与的关系为_____． （2）当点在线段及其延长线上运动时，如图②，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）当点在线段的延长线上运动时，如图③，连接，，若，四边形的面积为_______． 27. 如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边与轴重合，直角边与轴重合，，，将折叠，使它落在轴上，得到，折痕为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，点P运动到点B时停止．设运动时间为秒（）． （1）求D点坐标； （2）设的面积为，求与的关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在平面内是否存在点Q，使以，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $