精品解析：上海市浦东新区2025-2026学年高三下学期数学考前综合练习

高三数学考前综合练习 考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不于评分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若集合，集合，则_______. 2. 不等式的解集为___________． 3. 若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． 4. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 5. 若，求的值___________． 6. 若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 7. 已知随机变量服从二项分布，若，则的值为___________． 8. 从0、1、2、3、4、5中任取4个数字，可以组成没有重复数字，且为奇数的四位数的个数是___________． 9. 吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 10. 已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 11. 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 12. 已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 14. 下列命题中不正确的是（ ） A. 线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C. 线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 D. 用最小二乘法求回归方程是为了使最小 15. 如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线始终异面 B. 直线与直线始终垂直 C. 存在点使得直线与平面垂直 D. 直线与平面始终平行 16. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知 （1）若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； （2）若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 18. 如图，平行六面体，点在底面上的投影落在线段上（不含端点）． （1）求证：直线平面； （2）若侧棱与底面所成的角为，求平面与底面所成二面角的大小． 19. 某科技公司共有员工人，其中男员工人，女员工人．为推广一款新工作软件，在全体员工中随机抽取人进行调查，得到他们对该软件的接受与否如下表： 接受 不接受 合计 男性 女性 合计 （1）是否有的把握认为该科技公司“性别与是否接受该软件”有关联； （2）将样本中男性和女性对这款新工作软件各自的接受率作为总体中相应性别的接受率的估计．现从该公司所有员工中随机地取人，设事件为“员工接受该软件”，事件为“员工为女性”． ①求（精确到小数点后位）： ②若该员工接受软件，求该员工为女性的概率（精确到小数点后位）． （参考公式：） 20. 已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． （1）若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； （2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； （3）若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 21. 已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． （1）若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； （2）若．证明：； （3）若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考前综合练习 考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不于评分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若集合，集合，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用集合并集的定义求解即可． 【详解】， 故答案为： 2. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的等价变形规则，去掉绝对值符号后转化为一元一次不等式求解。 【详解】原不等式等价于，即， 故原不等式的解集为. 3. 若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】将已知点坐标代入幂函数解析式，即可求解参数. 【详解】由题意， 在中，图象经过点， ∴， 解得：. 4. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程虚根共轭的性质结合韦达定理，或将已知根代入方程利用复数相等的充要条件，即可求解的值。 【详解】方法一：由实系数一元二次方程的虚根性质可知，方程的两个虚根互为共轭复数， 已知是方程的一个根，则另一根为， 根据韦达定理，对于方程，两根之积等于常数项， 因此. 方法二：将代入方程，得：  ， 展开并整理得，即， 因为为实数，根据复数相等的充要条件，可得方程组：  ， 解得. 5. 若，求的值___________． 【答案】 【解析】 【详解】令，则. 6. 若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据偶函数满足对定义域内任意恒成立的性质，列等式求解正实数的值. 【详解】由偶函数定义可知，对任意，均有成立， 因为正实数，整理得： 该式对任意恒成立，故 ，解得. 7. 已知随机变量服从二项分布，若，则的值为___________． 【答案】90 【解析】 【详解】随机变量服从二项分布，，， 则，解得. 8. 从0、1、2、3、4、5中任取4个数字，可以组成没有重复数字，且为奇数的四位数的个数是___________． 【答案】144 【解析】 【分析】优先确定受限的个位和千位，结合分步乘法计数原理计算满足条件的四位数个数。 【详解】所求为无重复数字的四位奇数，需满足两个限制条件：个位数为奇数，千位数不为0，且四个数位数字互不重复，按分步乘法计数原理计算： 确定个位数字：只能从1、3、5中选取，共种选法； 确定千位数字：已占用1个个位数字，且0不能作为千位数字，可选范围为除0和已选个位数字外的4个数字，共种选法； 确定百位数字：已占用个位、千位共2个数字，剩余4个数字可选，共种选法； 确定十位数字：已占用3个数字，剩余3个数字可选，共种选法， 因此满足条件的四位数总个数为个. 9. 吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出半径关于容量的导函数，再利用导数的几何意义即可得出时，气球的瞬时膨胀率. 【详解】利用球的体积公式直接可得， 所以，即， 所以， 当时，， 即时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为. 10. 已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求数量积后可得结论. 【详解】以为轴，为轴，底面上与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设圆锥的高为， 则，设，则， ，由得， 所以的取值范围为 11. 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由椭圆的对称性，得到为平行四边形，且，设，在中，利用余弦定理，分别求得和，列出关系式，化简得到，结合基本不等式和离心率的定义，即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 12. 已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意有当和均取得最小值时，有最小值，不妨取，可得，，运算得解. 【详解】由题意可知，当和均取得最小值时，有最小值. 因为，则，，且均为非零整数， 不妨取，则， 因为对任意的正整数，都有，取，得， 所以， ，当时，，即， 同理，由对任意的正整数，都有， 可得，， 所以，， 所以. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 14. 下列命题中不正确的是（ ） A. 线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C. 线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 D. 用最小二乘法求回归方程是为了使最小 【答案】B 【解析】 【分析】利用线性回归直线的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，线性回归直线一定经过样本点的中心，故A正确； 对于B，线性回归直线是样本点的‘最佳’拟合直线，可能不经过任何一个样本点，故B错误； 对于C，线性回归直线中的系数为， 则变量与具有负的线性相关关系，故C正确： 对于D，最小二乘法的核心思想就是通过寻找最佳的回归系数， 使得所有的观测值与回归直线上的预测值之间的残差平方和达到最小， 数学表达式是，故D正确. 15. 如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线始终异面 B. 直线与直线始终垂直 C. 存在点使得直线与平面垂直 D. 直线与平面始终平行 【答案】D 【解析】 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 16. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】通过等差数列、等比数列的通项公式的图像性质作出判断；通过不等式放缩进行证明. 【详解】依题意得，，因为，所以是一条线性增长的直线，增长速度稳定； ，因为，所以是指数增长的曲线，前期增长慢，后期会加速增长， 因为，，所以当，， 当，， 因为，， 所以； ， ， 接下来先证明：． 设， 则， 设， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以当，，即， 令，所以，所以 ，即， 所以， 所以. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知 （1）若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； （2）若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）2 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数在区间上是严格增函数，由求解； （2）转化为方程在有两个不同的实数解求解. 【小问1详解】 因为函数在区间上是严格增函数， 所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到， 即， 化简得，即， 解得． 因此，实数的值为2． 【小问2详解】 由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解， 即关于的方程在有两个不同的实数解， 因为， 因此． 由题意得，即 综上，实数的取值范围为． 18. 如图，平行六面体，点在底面上的投影落在线段上（不含端点）． （1）求证：直线平面； （2）若侧棱与底面所成的角为，求平面与底面所成二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）作底面于，得，再由题意得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）作于，连接，证明即为二面角的平面角，然后在直角三角形中计算（求其正切值），也可建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求解（解题过程中先确定为底面对角线交点）. 【小问1详解】 连接、，作底面于， 由题，底面，又底面，故， 因为四边形为平行四边形，且， 因此四边形为菱形， 平面，平面， 因此，平面; 【小问2详解】 解法一：作于，连接， 由题，底面，即在底面的射影， 所以，即侧棱与底面所成的角， 在直角中，由，知． 设，则由题意可知， 又底面，是底面的斜线，是在底面的射影． 因为，所以（三垂线定理），（注：可用线面垂直证明） 所以即为二面角的平面角 ，又平面平面， 因此，平面与底面所成角为或； 解法二：作于，连接 由题，底面，即在底面的射影， 所以，即侧棱与底面所成的角． 在直角中，由，知． 故为菱形的中心，即此时． 以为坐标原点，分别以、与的方向为、与轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令，则、、 则 设平面的法向量为，则， 从而得到平面的一个法向量为， 又底面的一个法向量为， 从而 所以，平面与底面的二面角是或． 19. 某科技公司共有员工人，其中男员工人，女员工人．为推广一款新工作软件，在全体员工中随机抽取人进行调查，得到他们对该软件的接受与否如下表： 接受 不接受 合计 男性 女性 合计 （1）是否有的把握认为该科技公司“性别与是否接受该软件”有关联； （2）将样本中男性和女性对这款新工作软件各自的接受率作为总体中相应性别的接受率的估计．现从该公司所有员工中随机地取人，设事件为“员工接受该软件”，事件为“员工为女性”． ①求（精确到小数点后位）： ②若该员工接受软件，求该员工为女性的概率（精确到小数点后位）． （参考公式：） 【答案】（1）没有的把握认为该科技公司“性别与是否接受该软件”有关联 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据计算，与比较大小，得出结论. （2）①根据题意得出，，，，利用全概率公式即可求解；②利用条件概率公式即可求解. 【小问1详解】 提出原假设：“性别与是否接受该软件”无关 计算 由于，而， 因此没有95的把握认为该科技公司“性别与是否接受该软件”有关联． 【小问2详解】 ①由题意，，则， ，， 因此 ②由题意，． 20. 已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． （1）若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； （2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； （3）若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 【答案】（1）或 （2）证明见解析，定点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，利用抛物线的定义，列出方程，求得，进而得到点的坐标； （2）设直线方程，联立方程组，得到，由，化简得到，得出方程求得，进而得到直线过定点； （3）设直线，根据题意，求得的方程，联立方程组，求得和，得到，，结合两角和的正切公式和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：设，因为点焦点的距离等于， 由抛物线的定义，可得 ，故 将代入抛物线，可得， 所以点的坐标为或. 【小问2详解】 解：由题意，设直线方程，且 由，可得，即， 即 ，解得， 联立方程组，整理得， 则，且，所以，解得， 所以直线方程，当时，， 此时直线过定点，定点坐标为. 【小问3详解】 解：由题意，可设直线且， 由，可得 则直线， 联立方程组，整理得， 则，且， 同理可得：，即， 则， ， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 21. 已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． （1）若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； （2）若．证明：； （3）若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 【答案】（1）不是函数的“切线支撑点”，理由见解析 （2）证明见解析 （3），1. 【解析】 【分析】（1）举反例，结合“切线支撑点”的定义判断； （2）令，利用导数证明，结合新定义判断； （3）由新定义可得对任意恒成立，所以，，从而求得，由题可得，利用点到直线的距离公式求解. 【小问1详解】 若，则，故， 当时，，取，则， 显然， 因此不是函数的“切线支撑点”. 【小问2详解】 由题，令 ， 又， 故时，，函数严格增； 时，，函数严格减； 因此，， 即对任意，对任意恒成立， 由此可得. 【小问3详解】 由题，， 则存在，使得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 显然，①，②， 由②可得，，即，其中， 故， 显然，也满足①， 因此. 此时，， ，故直线方程为， 代入，得， 因此，坐标原点到直线的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $