精品解析：上海市敬业中学2026届高三年级5月考前自测数学试题

敬业中学2026届高三年级三模考试 数学试卷 2026年5月 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有14题，1-6题4分，7-12题5分，满分54分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可求集合B，接着求即可. 【详解】由题知，又, 所以 故答案为： 2. 若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，，，得，，则离心率为. 3. 方程的解为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】由对数运算法则化方程为．再根据对数函数的性质求解． 【详解】由得， 所以，解得． 故答案为：8． 4. 已知，且，则______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先结合α的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求出，再通过诱导公式化简所求式后代入数值计算. 【详解】因为，所以，由同角三角函数的平方关系， 代入可得， . 5. 已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意，求得，进而求得圆锥的母线与底面所成角，得到答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面积是底面面积的2倍，可得，所以， 设该圆锥的母线与底面所成角为，则， 因为，所以. 故答案为：. 6. 若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出数列的首项和公比，利用前项和公式即可求解. 【详解】由已知得，因为各项均为正数，所以， 又因为，所以，， 所以等比数列的首项，公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 7. 若正数，满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 8. 若向量在向量上的投影向量为，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 所以. 故答案为：. 9. 已知随机变量，且等式对恒成立，则._____.(结果保留四位小数)(参考数据:，， 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求出可得，进而可得答案. 【详解】因为随机变量，且等式 对恒成立， ， 则，则， 所以 ，则， 又. 故答案为：0.9772. 10. 在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的运算法则得，结合条件得，再利用复数和圆的几何意义，即可求解. 【详解】复数是纯虚数， ，，解得， ，其对应的点为， 为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上， 所以与之间的最小距离. 故答案为：. 11. 如图，已知一块半径为的残缺的半圆形材料，为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】当直角三角形的斜边在上时，由点轨迹可知；当直角三角形的直角边在上时，分析可知在线段上，设，可将三角形面积表示为，利用导数可求得的最大值，由此可得三角形面积最大值；对比两个最大值即可得到最终结果. 【详解】设该直角三角形为， ①若直角三角形的斜边在上，则点轨迹是以为直径的半圆弧（不包括）， 若面积最大，则且斜边上的高为 ； ②若直角三角形的直角边在上，点在上， 当在线段上时，，此时无最大值； 当在线段上时，设，则，又， ； ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，则； ，裁出三角形面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面几何中的三角形面积最值的求解问题，解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量的函数的形式，从而利用导数的知识来求解函数最值，得到三角形面积的最值. 12. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 二、选择题（本大题共有4题，13-14题4分，15-16题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率. 【详解】 令，代入椭圆 则可知：，又因为，所以， 根据椭圆定义可知：， 所以椭圆的离心率为， 故选： B 14. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 15. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形找到二面角的平面角，证明即可. 【详解】 过点作，又顶点在底面内的射影，平面， 则，平面，所以平面， 所以，则分别为在底面上的射影， 则即为侧面与底面所成的二面角，即为侧面与底面所成的二面角， ， 故， 则，即为定值， 同理可得为定值. 故选：B． 16. 设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. （1）证明：平面平面. （2）若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证得平面，平面，进而可证得结论； （2）由三棱锥体积可得的面积，进而可得圆台的侧面积． 【小问1详解】 ∵在梯形中，，，∴， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. 【小问2详解】 设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 在中，. 故圆台的侧面积. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】（1）当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【小问1详解】 ，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. 【小问2详解】 当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解；（2）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望. （3）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结合已知建立不等式求解. 【小问1详解】 记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. 【小问2详解】 可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问3详解】 记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为. 20. 已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． （1）若点的坐标为，求的面积； （2）求的取值范围； （3）如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，求得，再由面积公式即可求解； （2）设，得到，结合模长公式，通过配方即可求解； （3）设切线方程为,则,即.设两切线的斜率分别为,则是上述方程的两根,根据韦达定理可得:,结合已知即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，又， 则的面积为． 【小问2详解】 设，则， 又，则， ∴ ， 则当时，取到最大值，当时，取到最小值2， 则的取值范围为． 【小问3详解】 设 过点切线方程为，则，即， 设两切线的斜率为， 则是上述方程的两根，∴， 由，得：， ∴， 同理可得：， ∴， 于是直线方程为， 令，得， 故直线过定点． 21. 已知，设函数的表达式为（其中） （1）设，，当时，求x的取值范围； （2）设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围； （3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设可得，解不等式求x的取值范围； （2）问题化为在上成立，根据单调性、导数研究单调性求最值，即可求参数范围； （3）问题化为证，令则，结合二项式定理有，且及基本不等式证，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，则，即，故， 又，则，所以. 【小问2详解】 由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立， 所以在上成立， 又在D上为严格增函数，即， 同时在上恒成立， 由解析式知：在上递减，只需，故， 由且，，即在上递减， 所以，故，可得. 综上，； 【小问3详解】 由题设，则且，，故， 所以， 而， ， 所以， 又，且，当且仅当时等号成立， 所以，同理，.......，且均在时等号成立， 所以， 综上，，即成立. 【点睛】关键点点睛：第三问，首先转化问题为证，再应用二项式定理展开左侧，结合组合数性质、基本不等式证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敬业中学2026届高三年级三模考试 数学试卷 2026年5月 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有14题，1-6题4分，7-12题5分，满分54分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则_____. 2. 若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 3. 方程的解为___________. 4. 已知，且，则______． 5. 已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为________. 6. 若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 7. 若正数，满足，则的最大值为_______. 8. 若向量在向量上的投影向量为，则等于______． 9. 已知随机变量，且等式对恒成立，则._____.(结果保留四位小数)(参考数据:，， 10. 在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 11. 如图，已知一块半径为的残缺的半圆形材料，为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为__________． 12. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 二、选择题（本大题共有4题，13-14题4分，15-16题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 14. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 15. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 16. 设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. （1）证明：平面平面. （2）若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 20. 已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． （1）若点的坐标为，求的面积； （2）求的取值范围； （3）如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 21. 已知，设函数的表达式为（其中） （1）设，，当时，求x的取值范围； （2）设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围； （3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $