专项08 利用函数解决实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）4大题型（大题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项08 利用函数解决实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年考情，利用函数解决实际应用问题是中考数学解答题的必考主干内容，分值约 10–16 分（常为第 21–23 题，一道完整的实际应用题，有时会拆成两小问或与统计图结合）。 ### 命题趋势 - 解答题：稳定考查一次函数、反比例函数、二次函数在实际情境中的建模与应用，核心为： 1. 一次函数实际应用（频率最高）：涉及方案选择（最省钱、最划算）、分段计费（水费、电费、快递费、出租车计费）、行程问题（匀速运动追及、相遇）、销售利润（单件利润固定，总利润 = 单件利润 × 销量）； 2. 反比例函数实际应用（中频）：常见的为物理背景（压力F与受力面积S成反比：p=，或电压U一定时电流I与电阻R成反比：I=、工程问题（工作总量一定，效率与时间成反比）、几何背景（矩形面积固定，长与宽成反比）； 3. 二次函数实际应用（高频）：最值问题，主要是销售利润最大化（每涨价/降价1元，销量变化–/+k件，总利润 = 单件利润×销量，配方求最值）、抛掷/拱桥问题（喷泉、桥洞、篮球轨迹，求最大高度、水平距离、落地点）、面积最值（靠墙围矩形，长、宽与面积关系，求最大面积）； 4. 函数综合实际应用（近年增加）：一道题中同时涉及两种函数（如：前阶段是一次函数，后阶段是反比例函数；或进货用一次函数，销售用二次函数），需要分段处理或联立求解。 - 命题特点：“文字量大，背景贴近生活”。题目通常以商品销售、活动方案、建筑工程、体育运动、物理实验为背景，文字通常 5–8 行，需要学生快速提取关键信息（变量、常量、函数关系）。整体难度中等，但建模能力和计算准确性是关键。近年来，题目的数据设计更贴近现实（如利润不再是整数，销量可能会用“每涨价0.5元”代替“每涨价1元”），小幅增加计算难度。 - 分值分布：设问通常为 2–3 问，梯度明显： - 第（1）问（3–4 分）：根据文字描述，直接写出函数解析式（或表格中数据代入求参数），送分； - 第（2）问（4–6 分）：利用函数求特定值（如求利润、求路程、求最大高度），中等难度； - 第（3）问（4–6 分）：实际决策问题（如求利润最大值、选择最省钱方案、求符合要求的取值范围），需要结合函数性质与问题实际意义作答。 ### 2026 年预测 - 解答题极大概率仍为实际应用题，形式稳定； - 一次函数实际应用仍是最常见形式，分段计费和方案选择仍是备考重点； - 二次函数实际应用中，销售利润最大化依然高频，但可能增加“折扣”“满减”“不同售价区间对应不同销量”等复杂条件，需要分段讨论后再求最值； - 反比例函数实际应用热度平稳，物理情境联合考查（如电学、压强、杠杆原理）仍会保留； - 函数综合应用（一次+二次、一次+反比例）题目数量可能增加，考查分段函数模型的建立与求解； - 可能出现新情境：如与环保低碳（碳排放与成本）、网约车计费、快递运费优化、新能源车充电与续航等生活热点结合，提升时代感； - 难度趋势上，文字信息量保持高位，但核心数学模型变化不大；计算量微增（如出现分数系数、含参数方程），但对整体得分影响可控。 题型01 一次函数的实际应用问题 析典例·建模型 1．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 研考点·通技法 1. 建模列式：根据题意确定自变量（如时间、数量）与因变量（如费用、路程），找出等量关系，列出一次函数解析式 y = kx + b，并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 2. 分段处理：涉及阶梯计费（如出租车、水电费）或不同优惠方案时，根据不同范围分段写出函数式，并明确各段区间。求函数值时先判断自变量所在区间。 3. 方案决策：比较两种方案时，列出各自函数表达式，作差或解不等式y1 > y2求出优劣分界点，结合实际背景（如购买数量为整数）选择最优方案。注意画图像辅助理解交点意义。 破类题·提能力 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离C站的路程（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象． (1)客车的速度为_______，货车的速度为_______； (2)求货车出发后，距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出货车出发多长时间，两车相距． 2．（2026·河北廊坊·一模）【学科融合】生物科研人员正在研究人体对酒精（乙醇）的代谢过程（饮酒量相同）． 素材1：在酒精代谢阶段，每血液中的酒精浓度与饮酒后时间成一次函数关系； 素材2：代谢较快的甲类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间满足； 素材3：代谢较慢的乙类人群每血液中的酒精浓度为，数据显示，当饮酒后时，，当饮酒后时，． 【问题解决】 (1)乙类人群饮酒后． ①求乙类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间之间的函数关系式；（不必写自变量的取值范围） ②当饮酒后时，求每血液中的酒精浓度； (2)在两类人同时饮酒的情况下，是否存在一个x的值，使得比大？若存在，求出x的值；若不存在，请你通过计算说明理由． 3．（2026·河南开封·一模）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 4．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 题型02 反比例函数的实际应用问题 析典例·建模型 1．（2026·山东枣庄·一模）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． (1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； (2)求在一个循环内水温不低于的时长． 研考点·通技法 1. 建立反比模型：根据题意识别成反比例的量（如行程vt = s、压力F = pS、矩形面积一定时长宽关系），设函数关系式为y =，利用已知一对对应值求k。 2. 自变量范围：结合实际意义确定自变量取值范围（如长度、时间 > 0），画图像时只保留第一象限分支。注意端点能否取等号（如“不超过”含等号）。 3. 求值或比较：已知一个变量求另一变量直接代入；比较大小利用增减性（k>0时，y随x增大而减小）或取特殊值。注意单位统一，结论要符合实际情境。 破类题·提能力 1．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 2．（2026·宁夏银川·二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现与l有一定的关系，记录了拉力的大小与l的变化，如表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 100 (1)表格中的值是___________； (2)屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 3．（2026·山东聊城·一模）如图，燃油机由汽缸、活塞、连杆、曲轴、飞轮组成（如图所示），活塞在汽缸内往复运动，通过连杆带动曲轴做圆周运动，当温度不变时，连杆的不同位置造成活塞运动，则汽缸的体积发生变化，活塞内的气体的压强随之变化某实验小组测试了四种状态下气体压强和汽缸体积的数据如下： 气体压强 汽缸体积 实验小组发现活塞里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出该函数的图象，并求出当气体体积为时，气体的压强为______； (3)若汽缸内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？ 4．（2026·浙江湖州·模拟预测）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即． 【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计） 【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表： 旋转半径r（） 30 40 50 转动速度v（） 200 150 120 (1)请根据以上信息，求k的值（单位：）． (2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少? (3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值． 题型03 二次函数的实际应用问题 析典例·建模型 1．（2026·陕西西安·模拟预测）一个长，宽的矩形包装纸片上印有5个完全相同的抛物线型图案，每个抛物线型图案的高恰好是矩形的宽，最左边和最右边的两个抛物线分别经过矩形纸片的一个顶点，这5个抛物线型图案之间的间距均为（如图①），取左边两个抛物线图案，以BC的中点为坐标原点建立如图②所示的平面直角坐标系，G为图②左侧抛物线的顶点． (1)求图②中左侧抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)根据需要，沿矩形纸片的对称轴将它裁剪成两块（图①中的虚线为裁剪线），裁剪线与相邻两条抛物线分别交于E，F两点，试求的长． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式（如销售利润：y = (售价-进价)×销量、喷泉轨迹、桥梁抛物线），利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值。先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意（如数量为整数、时间非负、高度为正）。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·内蒙古包头·一模）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，其中x（米）为小球抛出的水平距离，y（米）为小球抛出的高度（即小球到x轴的距离）．小球上升过程中，当高度为6米时，小球的水平距离为2米． (1)求这个二次函数的表达式和小球到达的最大高度； (2)小球的落点是A，求点A的坐标； (3)若在斜坡上距O点水平距离6米的位置设置一个高2米的竖直挡板，判断小球能否越过该挡板，并说明理由． 2．（2026·辽宁丹东·一模）某数学兴趣小组了解到仿青蛙机器人是模仿青蛙跳跃、游泳等运动方式设计的仿生机器人，它可用于搜救、勘探、侦察、教学演示等场景．小组同学想探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线，为此展开了综合实践活动，记录如下： 【活动主题】探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线 【活动准备】①查阅到仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线可看作抛物线，起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； ②准备测量工具． 【数据采集】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内可抽象为抛物线，如图1其运动路线的最高点距地面，落地点在起跳点的右侧，与点距离为． 【设计方案】小组同学了解到仿青蛙机器人可以通过调整起跳高度扩大勘测周围环境的范围．如图2仿青蛙机器人从原起跳点的正上方的点处起跳，落地点在点的右侧，长度为．仿青蛙机器人的两次运动路线均在同一竖直平面内，、、为顺次三点且在同一水平线上． 【确定思路】小组成员经过讨论，确定以地面起跳点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系如图2，分析数据得到经过、、三点的抛物线表达式，再利用抛物线的形状不变的特点求出起跳高度增加后的运动路线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求出经过、、三点的抛物线表达式； (2)求调整起跳高度前后地面勘察范围扩大了多远，即线段的长度． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度． 活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与晓然同学投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离．    采集数据 经测量，晓然同学的出手高度米，米，米.经查询篮筐的高度米，且，，在一条直线上，和都垂直于．    确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，分析数据得，两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)求这次投进篮球的最大离地高度； (3)如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米? 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·四川绵阳·二模）一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． (1)求甲、乙两种笔记本的单价； (2)在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 2．（2026·四川南充·一模）某超市购进一种时令商品，每件进价40元，规划每件售价不少于50元，日销量不低于350件．根据以往销售经验发现，当每件售价为50元时，日销量为500件；每件售价每提高1元，日销量减少10件． (1)求此商品每件售价x（元）的取值范围； (2)求此商品日销售利润w（元）最大时的日销量p（件）； (3)求此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润w（元）． 3．（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 5．（2026·贵州遵义·一模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力与其运动速度的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重 … 10 15 20 30 … 速度 … 6 5 4 3 2 … (1)表格中的值为 ； (2)在图中坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (3)某次任务要求机器狗在内将货物运送至外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 6．（2026·黑龙江佳木斯·一模）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向A地行驶，到达A地后停止行驶，原地休息：甲车到达B地后，立即按原路原速返回A地（甲车掉头的时间忽略不计），甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（时）之间的函数图象如图．请结合图象信息解答下列问题： (1)乙车的行驶速度是______，在图中括号内填入正确的数值； (2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式？写出取值范围． (3)两车出发后几小时相距的路程为120千米？请直接写出答案． 7．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 8．（2026·山西朔州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 9．（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）． ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 10．（2026·山西运城·一模）综合与实践 【问题背景】 某游乐园的一座抛物线型拱桥，现在需要在拱桥下方安置两个桥墩进行支撑，在两个桥墩上搭一个横杆，且要在横杆上方设置一个面积为平方米的矩形广告牌，要求不仅要实用，而且要美观． 【方案实施】 步骤一：如图①，标记拱桥上的各点，拱桥最高点为，将点左侧的点到的水平距离记为负数，点右侧的点到的水平距离记为正数； 步骤二：在拱桥上任意找一组点，设其距离点的水平距离为米，距离地面的高度为米； 步骤三：在拱桥上任意取点，并进行测量，记录，得到相关数据如下表： /米 /米 (1)根据上表中的数据，描点、连线，在图②中画出函数图象，并求出表达式； (2)考虑到其他因素，施工人员最终安置的两个桥墩，的高为米．要求矩形广告牌的一边落在上，矩形的长、宽均为整数，且矩形广告牌关于抛物线型拱桥的对称轴对称．请给出一种广告牌的设计方案．（不考虑桥墩、横杆的宽度） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项08 利用函数解决实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年考情，利用函数解决实际应用问题是中考数学解答题的必考主干内容，分值约 10–16 分（常为第 21–23 题，一道完整的实际应用题，有时会拆成两小问或与统计图结合）。 ### 命题趋势 - 解答题：稳定考查一次函数、反比例函数、二次函数在实际情境中的建模与应用，核心为： 1. 一次函数实际应用（频率最高）：涉及方案选择（最省钱、最划算）、分段计费（水费、电费、快递费、出租车计费）、行程问题（匀速运动追及、相遇）、销售利润（单件利润固定，总利润 = 单件利润 × 销量）； 2. 反比例函数实际应用（中频）：常见的为物理背景（压力F与受力面积S成反比：p=，或电压U一定时电流I与电阻R成反比：I=、工程问题（工作总量一定，效率与时间成反比）、几何背景（矩形面积固定，长与宽成反比）； 3. 二次函数实际应用（高频）：最值问题，主要是销售利润最大化（每涨价/降价1元，销量变化–/+k件，总利润 = 单件利润×销量，配方求最值）、抛掷/拱桥问题（喷泉、桥洞、篮球轨迹，求最大高度、水平距离、落地点）、面积最值（靠墙围矩形，长、宽与面积关系，求最大面积）； 4. 函数综合实际应用（近年增加）：一道题中同时涉及两种函数（如：前阶段是一次函数，后阶段是反比例函数；或进货用一次函数，销售用二次函数），需要分段处理或联立求解。 - 命题特点：“文字量大，背景贴近生活”。题目通常以商品销售、活动方案、建筑工程、体育运动、物理实验为背景，文字通常 5–8 行，需要学生快速提取关键信息（变量、常量、函数关系）。整体难度中等，但建模能力和计算准确性是关键。近年来，题目的数据设计更贴近现实（如利润不再是整数，销量可能会用“每涨价0.5元”代替“每涨价1元”），小幅增加计算难度。 - 分值分布：设问通常为 2–3 问，梯度明显： - 第（1）问（3–4 分）：根据文字描述，直接写出函数解析式（或表格中数据代入求参数），送分； - 第（2）问（4–6 分）：利用函数求特定值（如求利润、求路程、求最大高度），中等难度； - 第（3）问（4–6 分）：实际决策问题（如求利润最大值、选择最省钱方案、求符合要求的取值范围），需要结合函数性质与问题实际意义作答。 ### 2026 年预测 - 解答题极大概率仍为实际应用题，形式稳定； - 一次函数实际应用仍是最常见形式，分段计费和方案选择仍是备考重点； - 二次函数实际应用中，销售利润最大化依然高频，但可能增加“折扣”“满减”“不同售价区间对应不同销量”等复杂条件，需要分段讨论后再求最值； - 反比例函数实际应用热度平稳，物理情境联合考查（如电学、压强、杠杆原理）仍会保留； - 函数综合应用（一次+二次、一次+反比例）题目数量可能增加，考查分段函数模型的建立与求解； - 可能出现新情境：如与环保低碳（碳排放与成本）、网约车计费、快递运费优化、新能源车充电与续航等生活热点结合，提升时代感； - 难度趋势上，文字信息量保持高位，但核心数学模型变化不大；计算量微增（如出现分数系数、含参数方程），但对整体得分影响可控。 题型01 一次函数的实际应用问题 析典例·建模型 1．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元 (2)①；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少 【分析】（1）设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得； （2）①先求出购买B奖品为个，再根据（1）的结果即可得； ②利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元； （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为； ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少． 研考点·通技法 1. 建模列式：根据题意确定自变量（如时间、数量）与因变量（如费用、路程），找出等量关系，列出一次函数解析式 y = kx + b，并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 2. 分段处理：涉及阶梯计费（如出租车、水电费）或不同优惠方案时，根据不同范围分段写出函数式，并明确各段区间。求函数值时先判断自变量所在区间。 3. 方案决策：比较两种方案时，列出各自函数表达式，作差或解不等式y1 > y2求出优劣分界点，结合实际背景（如购买数量为整数）选择最优方案。注意画图像辅助理解交点意义。 破类题·提能力 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）A，B两地相距，在A，B之间有汽车站C站，客车由A地驶向C站、货车由B地驶向A地，两车同时出发，匀速相向行驶，如图是客车、货车离C站的路程（单位：）与行驶时间x（单位：）之间的函数关系图象． (1)客车的速度为_______，货车的速度为_______； (2)求货车出发后，距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出货车出发多长时间，两车相距． 【答案】(1)60；45 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意并结合图象可知，货车从地驶向站花费了2小时，行驶了，根据“速度路程时间”即可求出货车的速度；再算出地与站的距离，由图象可知客车从地驶向站花费了9小时，根据“速度路程时间”即可求出客车的速度； （2）根据“路程速度时间”即可求解； （3）分两种情况：当两车相遇前相距时，当两车相遇后相距时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可得：货车从地驶向站花费了2小时，行驶了， 则货车的速度为， 地与站的距离为， 客车的速度为； （2）解：由（1）知，货车的速度为， 货车从地驶向站所需时间为（小时）， 2小时后货车的行驶时间为小时， ； （3）解：设货车出发后，两车相距， 当两车相遇前相距时， ， 解得：； 当两车相遇后相距时， ， 解得：； 综上，当货车出发或后，两车相距． 2．（2026·河北廊坊·一模）【学科融合】生物科研人员正在研究人体对酒精（乙醇）的代谢过程（饮酒量相同）． 素材1：在酒精代谢阶段，每血液中的酒精浓度与饮酒后时间成一次函数关系； 素材2：代谢较快的甲类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间满足； 素材3：代谢较慢的乙类人群每血液中的酒精浓度为，数据显示，当饮酒后时，，当饮酒后时，． 【问题解决】 (1)乙类人群饮酒后． ①求乙类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间之间的函数关系式；（不必写自变量的取值范围） ②当饮酒后时，求每血液中的酒精浓度； (2)在两类人同时饮酒的情况下，是否存在一个x的值，使得比大？若存在，求出x的值；若不存在，请你通过计算说明理由． 【答案】(1)①；② (2)不存在，见解析 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①理解题意，设，运用待定系数法求解，即可作答； ②理解题意，将代入计算，即可作答． （2）理解题意，建立，得，再代入，得出，又因为，故不存在一个x的值，使比大． 【详解】（1）解：①依题意，设， 将，代入表达式， 得， 解得， ∴与x的函数关系式为； ②依题意，将代入中， 得； （2）解：不存在；过程如下： 由（1）中的①得， ∵， 依题意，得， 解得， 当时，， 由题意得， ∴不存在一个x的值，使比大． 3．（2026·河南开封·一模）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【答案】(1)型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， (2)A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【分析】（1）列二元一次方程求解即可； （2）根据题意，构造二次函数，求最大值即可． 【详解】（1）解：设型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， 解得：， ∴型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， （2）解：设总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系为：， 将，代入得 ， 解得：， ∴， 设A型机器人的销售单价定为万元， ∴A，B两种型号的机器人利润之和为：， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 4．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 题型02 反比例函数的实际应用问题 析典例·建模型 1．（2026·山东枣庄·一模）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． (1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； (2)求在一个循环内水温不低于的时长． 【答案】(1)； (2)分钟 【分析】（1）根据函数图象分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （2）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； 【详解】（1）解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：， 解得：， ； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：，解得：， 关于的函数关系式为； （2）解：当时，，解得； ， 解得， 在一个循环内水温不低于的时间为（分钟） 研考点·通技法 1. 建立反比模型：根据题意识别成反比例的量（如行程vt = s、压力F = pS、矩形面积一定时长宽关系），设函数关系式为y =，利用已知一对对应值求k。 2. 自变量范围：结合实际意义确定自变量取值范围（如长度、时间 > 0），画图像时只保留第一象限分支。注意端点能否取等号（如“不超过”含等号）。 3. 求值或比较：已知一个变量求另一变量直接代入；比较大小利用增减性（k>0时，y随x增大而减小）或取特殊值。注意单位统一，结论要符合实际情境。 破类题·提能力 1．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 2．（2026·宁夏银川·二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现与l有一定的关系，记录了拉力的大小与l的变化，如表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 100 (1)表格中的值是___________； (2)屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)120 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内， 根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 3．（2026·山东聊城·一模）如图，燃油机由汽缸、活塞、连杆、曲轴、飞轮组成（如图所示），活塞在汽缸内往复运动，通过连杆带动曲轴做圆周运动，当温度不变时，连杆的不同位置造成活塞运动，则汽缸的体积发生变化，活塞内的气体的压强随之变化某实验小组测试了四种状态下气体压强和汽缸体积的数据如下： 气体压强 汽缸体积 实验小组发现活塞里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出该函数的图象，并求出当气体体积为时，气体的压强为______； (3)若汽缸内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)见解析， (3)不少于 【分析】（1）设，将代入解析式计算即可得出结果； （2）根据（1）中的解析式画出函数图象，再求出当时，的值即可； （3）求出当时，的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：设， 将代入解析式可得， 解得， 即； （2）解：画出函数图象如图所示， ， 当时，， 汽缸内气体的压强是； 故答案为：； （3）解：当时，， 为了安全起见，气体的体积应不少于． 4．（2026·浙江湖州·模拟预测）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即． 【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计） 【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表： 旋转半径r（） 30 40 50 转动速度v（） 200 150 120 (1)请根据以上信息，求k的值（单位：）． (2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少? (3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值． 【答案】(1) (2)旋转半径r至少为 (3) 【分析】（1）根据，结合表格信息代入计算即可； （2）当时，，结合反比例函数图象的性质求解即可； （3）根据题意，过点B作于点E，作于点F，，得四边形为矩形，，再根据正弦值的计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：当时，， 因为反比例函数在的范围内，v随着r的增大而减小， 所以当时，， 即旋转半径r至少为． （3）解：当时，，即， 如图，过点B作于点E，作于点F， 因为， 所以， 因为四边形为矩形， 所以， 所以． 题型03 二次函数的实际应用问题 析典例·建模型 1．（2026·陕西西安·模拟预测）一个长，宽的矩形包装纸片上印有5个完全相同的抛物线型图案，每个抛物线型图案的高恰好是矩形的宽，最左边和最右边的两个抛物线分别经过矩形纸片的一个顶点，这5个抛物线型图案之间的间距均为（如图①），取左边两个抛物线图案，以BC的中点为坐标原点建立如图②所示的平面直角坐标系，G为图②左侧抛物线的顶点． (1)求图②中左侧抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)根据需要，沿矩形纸片的对称轴将它裁剪成两块（图①中的虚线为裁剪线），裁剪线与相邻两条抛物线分别交于E，F两点，试求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求得，抛物线的顶点，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入，求得，再根据轴对称的性质求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，抛物线的顶点， ∴设图②中左侧抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴图②中左侧抛物线的表达式为； （2）解：将代入， 得， 解得，， ∴， ∵E，F两点关于轴对称， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式（如销售利润：y = (售价-进价)×销量、喷泉轨迹、桥梁抛物线），利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值。先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意（如数量为整数、时间非负、高度为正）。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·内蒙古包头·一模）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，其中x（米）为小球抛出的水平距离，y（米）为小球抛出的高度（即小球到x轴的距离）．小球上升过程中，当高度为6米时，小球的水平距离为2米． (1)求这个二次函数的表达式和小球到达的最大高度； (2)小球的落点是A，求点A的坐标； (3)若在斜坡上距O点水平距离6米的位置设置一个高2米的竖直挡板，判断小球能否越过该挡板，并说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； (2)点A的坐标为； (3)小球能越过该挡板，理由见解析 【分析】（1）根据题意将点代入二次函数的表达式即可求出a，进而求得函数表达式；将二次函数一般式化为顶点式，根据二次函数图象的性质即可得出最大高度； （2）根据题意联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得，解得，， 再当时，， 即可求得A点的坐标； （3）根据题意把分别代入二次函数的表达式及直线的表达式，再根据挡板高2米，求得挡板顶端距离地面的高度为（米）， 最后，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点， 将代入，得， 解得 ， ∴这个二次函数的表达式为 ， 将二次函数的表达式配方得， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为8． 答：这个二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； （2）解：联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，， ∴． 答：点A的坐标为； （3）解：小球能越过该挡板，理由如下： 当时，小球的高度为（米）， 当时，斜坡的高度为（米）， ∵挡板高2米， ∴挡板顶端距离地面的高度为（米）， ∵， ∴小球能越过该挡板． 答：小球能越过该挡板． 2．（2026·辽宁丹东·一模）某数学兴趣小组了解到仿青蛙机器人是模仿青蛙跳跃、游泳等运动方式设计的仿生机器人，它可用于搜救、勘探、侦察、教学演示等场景．小组同学想探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线，为此展开了综合实践活动，记录如下： 【活动主题】探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线 【活动准备】①查阅到仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线可看作抛物线，起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； ②准备测量工具． 【数据采集】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内可抽象为抛物线，如图1其运动路线的最高点距地面，落地点在起跳点的右侧，与点距离为． 【设计方案】小组同学了解到仿青蛙机器人可以通过调整起跳高度扩大勘测周围环境的范围．如图2仿青蛙机器人从原起跳点的正上方的点处起跳，落地点在点的右侧，长度为．仿青蛙机器人的两次运动路线均在同一竖直平面内，、、为顺次三点且在同一水平线上． 【确定思路】小组成员经过讨论，确定以地面起跳点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系如图2，分析数据得到经过、、三点的抛物线表达式，再利用抛物线的形状不变的特点求出起跳高度增加后的运动路线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求出经过、、三点的抛物线表达式； (2)求调整起跳高度前后地面勘察范围扩大了多远，即线段的长度． 【答案】(1) (2)线段的长度为 【分析】（1）先求出点的坐标，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）增加起跳高度后的抛物线表达式为，求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，经过、、三点的抛物线的对称轴为直线， 顶点坐标为， ∵图像过原点， 设抛物线的函数表达式为， 把，代入中， 得， 解得， 经过、、三点的抛物线表达式为； （2）根据题意，抛物线形状不变， 增加起跳高度后的抛物线表达式为， 当时，， 解得，（舍去）， ， ，     答：线段的长度为． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度． 活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与晓然同学投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离．    采集数据 经测量，晓然同学的出手高度米，米，米.经查询篮筐的高度米，且，，在一条直线上，和都垂直于．    确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，分析数据得，两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)求这次投进篮球的最大离地高度； (3)如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米? 【答案】(1) (2)最大离地高度为米 (3)最低封盖高度为米 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）根据顶点是最高点进行解答即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，, 又抛物线经过点、点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线顶点为最高点， ∴最大离地高度为米； （3）解：当时，（米）， 所以，最低封盖高度为米． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定，，，设抛物线的函数表达式为，代入后得到关于，，的方程组，求解即可； （2）当时，代入由（1）所得的抛物线的函数表达式得到，求解后可得答案； （3）确定平移后的抛物线解析式为，确定抛物线上的点的坐标为，再代入求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：∵，，为的中点， ∴， ∵以点为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）， ∴，，， 设抛物线的函数表达式为，过点，，， ∴， 解得： ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知：抛物线的函数表达式为， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴活动区域在水平方向上的最大宽度为； （3）解：∵将抛物线支架沿竖直方向向上平移， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于， ∴此时抛物线上的点的坐标为， ∴， ∴， ∴的最小值． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·四川绵阳·二模）一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． (1)求甲、乙两种笔记本的单价； (2)在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 【答案】(1)甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元 (2)共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总花费最少 【分析】（1）设乙笔记本单价为未知数，根据销量差的关系列分式方程求解，检验后得到单价.； （2）设购买乙笔记本的数量，根据费用限制列不等式组，得到未知数的整数解从而得到方案数，再根据总费用随乙购买数量的变化规律得到最少花费的方案． 【详解】（1）解：设乙笔记本的单价为元，则甲笔记本的单价为元， 根据题意，得 方程两边同乘，得 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解，且符合题意， 则 答：甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元； （2）解：设购买乙笔记本本，则购买甲笔记本本， 根据题意，得 解第一个不等式，得 解第二个不等式，得， 即 因为为非负整数， 所以可取7，8，9，10，共4种取值，即共有4种购买方案. 设总费用为元，则 因为， 所以随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时， 答：共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总的花费最少． 2．（2026·四川南充·一模）某超市购进一种时令商品，每件进价40元，规划每件售价不少于50元，日销量不低于350件．根据以往销售经验发现，当每件售价为50元时，日销量为500件；每件售价每提高1元，日销量减少10件． (1)求此商品每件售价x（元）的取值范围； (2)求此商品日销售利润w（元）最大时的日销量p（件）； (3)求此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润w（元）． 【答案】(1) (2)（件） (3)（元） 【分析】（1）根据每件售价不少于50元，日销量不低于350件建立不等式组求解即可； （2）根据日销售利润（售价进价）销售量表示出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据日销售额售价销售量表示出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由题意得， ， ∵，且， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴此时， 答：此商品日销售利润w（元）最大时的日销量为350件； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴此时， 答：此商品日销售额y（元）最大时的日销售利润为5000元． 3．（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 【答案】(1) (2)开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中 【分析】（1）利用待定系数法可求出段反比例函数解析式，进而得出答案； （2）利用待定系数法可求出段一次函数解析式，再把，代入段解析式求出对应的y值，把，代入段解析式求出对应的y值，进行比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设段反比例函数解析式为 ， 把点 代入得 ，解得 ， ∴段反比例函数解析式为： ； （2）解： 设段解析式为 ， 把，，代入得 ，解得 ， 即段解析式为 ， 把，代入段解析式得 ， 把，代入段解析式得 ， 因为 ， 因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中． 4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，14 (2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟 (3) 【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为； （2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系； 注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化， 此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为． （2）解：如图， 设的解析式为， 将点代入得： ，解得， 的解析式为， 设的解析式为，将点代入得： ， 解得， 的解析式为， ， 解得， 答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同． （3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为． 5．（2026·贵州遵义·一模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力与其运动速度的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重 … 10 15 20 30 … 速度 … 6 5 4 3 2 … (1)表格中的值为 ； (2)在图中坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (3)某次任务要求机器狗在内将货物运送至外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)12 (2)见解析 (3)最大载重量为 【分析】（1）根据题意可得，再把代入，即可求解； （2）依据题意，连线即可作图得解； （3）根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，即， 把代入得：， ∴； （2）解：如图所示： （3）解：， ∴， 由（1）得该反比例函数为， ， 即在每一象限内，随的增大而减小 当时，W取得最小值，最小值为， 此时机器的最大载重量为． 6．（2026·黑龙江佳木斯·一模）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向A地行驶，到达A地后停止行驶，原地休息：甲车到达B地后，立即按原路原速返回A地（甲车掉头的时间忽略不计），甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（时）之间的函数图象如图．请结合图象信息解答下列问题： (1)乙车的行驶速度是______，在图中括号内填入正确的数值； (2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式？写出取值范围． (3)两车出发后几小时相距的路程为120千米？请直接写出答案． 【答案】(1)，300 (2)， (3)或或 【分析】（1）根据题意，得到乙车行驶的路程及时间即可得到速度，再计算的路程即可； （2）利用待定系数法求解析式即可； （3）分当两车第一次相遇前相距120千米的路程；当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距120千米的路程；当甲车到达地后返回A地，两车第二次相遇后，甲车到A地距离共有120千米，所以两车不可能再相距120千米；分别求解即可． 【详解】（1）解：由图可知从A，B两地相距千米，乙车共用，途中休息， 则乙车的行驶速度为， ，故图中括号内正确的数值为； （2）甲车返回时y与x之间的函数关系式为， 又由图可知甲共用，则返回时的函数关系式过点和， ，解得, 则； （3）解：甲车共用时， 则甲车的行驶速度为， 则第一次甲乙两车相遇的时间为， 第一次相遇前，甲乙相距120千米： （小时）， 第一次相遇后且甲未到地时，甲乙相距120千米： （小时）， 甲到达地后立即返回A地且未与乙相遇时，甲乙相距120千米： （小时）， 第二次相遇后，当甲停止行驶时，此时乙所在的位置距离为： （千米），，所以此情况不存在 综上，两车出发后2小时或小时或小时相距120千米的路程． 7．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． （3）解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 8．（2026·山西朔州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出点M的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线的解析式，然后求出，，即可得出答案； （3）令求出x的值，令，求出x的值，然后求出沙发的最大宽度即可． 【详解】（1）解：∵点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为， ∴点M的坐标为， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线向右平移后与抛物线重合， ∴抛物线的解析式为： ， 令， 解得：，， ∴，， ∴两盏射灯在地面的照射区域的宽度； （3）解：令， 解得：，， 令， 解得：，， ∴该沙发的长度最大值为： ． 9．（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）． ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①圆形校徽的直径为；② 【分析】（1）根据题意，先得出各点得坐标，结合抛物线的性质，假设对应的函数表达式为，将点、代入求解即可； （2）①令对应的函数表达式为，由，可得方程，由点坐标可得，结合求解出对应的、，即可得出这个校徽的直径；②结合题意，判断出当时，对应的值之间的距离即为两个摄像头之间水平距离的最小值，故求解值即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在轴上， 且点、、、、， 故假设对应的函数表达式为， 将点、代入 ， 得，解得， 故对应的函数表达式为． （2）解：①令对应的函数表达式为， 当时，对应的函数值为． ∴， 结合点，得， 故可得方程组，解得， ∴对应的函数表达式为， 故点， ∴． ②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过， 即， 当时，得， 解得， ∴两个摄像头之间水平距离的最小值为． 10．（2026·山西运城·一模）综合与实践 【问题背景】 某游乐园的一座抛物线型拱桥，现在需要在拱桥下方安置两个桥墩进行支撑，在两个桥墩上搭一个横杆，且要在横杆上方设置一个面积为平方米的矩形广告牌，要求不仅要实用，而且要美观． 【方案实施】 步骤一：如图①，标记拱桥上的各点，拱桥最高点为，将点左侧的点到的水平距离记为负数，点右侧的点到的水平距离记为正数； 步骤二：在拱桥上任意找一组点，设其距离点的水平距离为米，距离地面的高度为米； 步骤三：在拱桥上任意取点，并进行测量，记录，得到相关数据如下表： /米 /米 (1)根据上表中的数据，描点、连线，在图②中画出函数图象，并求出表达式； (2)考虑到其他因素，施工人员最终安置的两个桥墩，的高为米．要求矩形广告牌的一边落在上，矩形的长、宽均为整数，且矩形广告牌关于抛物线型拱桥的对称轴对称．请给出一种广告牌的设计方案．（不考虑桥墩、横杆的宽度） 【答案】(1)图见解析，抛物线的表达式为 (2)矩形广告牌设计为在边上的长为米，宽为米或矩形广告牌设计为在边上的长为米，宽为米． 【分析】（1）根据表格，描点、连线画出图形即可，利用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意分种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的表达式为， ∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵矩形广告牌的面积为平方米，且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）： ①；②；③；④；⑤；⑥． ∵拱桥的最高点到的距离为(米)， ∴方案①，②，③不符合题意； 方案⑥：令，即， 则，， ∴， ∴方案⑥不符合题意； 方案④：当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离地面的高度为， ∵， ∴方案④可以满足要求，即矩形广告牌设计为在边上的长为米，宽为米； 方案⑤：当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离地面的高度为， ∵， ∴方案⑤可以满足要求，即矩形广告牌设计为在边上的长为米，宽为米． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $