专题04 一次函数、反比例函数与几何综合（9大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题04 一次函数、反比例函数与几何综合 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 反比例函数与一次函数图象交点与不等式解集 题型02 反比例函数k的几何意义求面积 题型03 反比例函数与几何综合：三角形与四边形面积问题 题型04 反比例函数与几何综合：特殊三角形与特殊四边形存在性问题 模块三、综合实战演练 一、反比例函数k的几何意义： 反比例函数的核心几何意义为过图象上任意一点作坐标轴的垂线，围成的直角图形面积与直接关联，的符号仅表示函数图象所在象限，面积恒取，核心结论及拓展如下： 1. 基础模型：过图象上一点作轴、轴垂线，垂足为，则矩形面积，面积（最核心，直接套用）； 2. 拓展模型：若垂线与坐标轴围成的是变式直角三角形/梯形，或过点作某条直线的垂线，可通过等积变换、平移、对称转化为基础模型，最终面积仍与成固定比例； 3. 多分支/多点结论：同一反比例函数图象上任意点，按基础模型所得的直角图形面积均相等（均为或）；若两点在同一支，面积和差可通过直接计算，异支同理。 核心关键 · 面积为非负，计算时必取的绝对值，与图象所在象限无关； · 所有几何面积题，先找图象上的点，再构造“坐标轴垂线+原点”的直角图形，转化为基础模型用求解。 二、以反比例函数为背景的图形面积问题处理思路 1. 先定核心：活用的几何意义，直接套基础结论 过反比例函数图象上任意点作、轴垂线，围成矩形面积=|k|、直角三角形面积=½|k|，同一函数上所有点的该类图形面积均相等，优先识别直接套用，无需额外计算。 2. 基础转化：等积变换，化变式为基础模型 遇斜向线段、非轴垂线围成的图形，通过平移、对称、同底等高转化为轴垂直的基础直角图形（矩形/直角三角形），再用算面积；多交点时，利用反比例函数图象对称性缩简计算。 3. 通用方法：割补法，化不规则为规则图形 对三角形、四边形等复杂图形，统一用割补法拆解/补形： · 割：连坐标轴平行线/对角线，拆为2~3个可算的规则图形（直角三角、矩形、梯形），分别求面积再求和； · 补：以图形顶点横/纵坐标为边界补成大矩形/梯形，用总面积减周围多余直角图形面积，剩余即为目标面积。 4. 关键细节：坐标法求边长，避斜向、取绝对值 所有边长均用坐标差值的绝对值计算，优先选平行于坐标轴的边作底/高，规避斜向距离的复杂根式运算；多点在反比例函数上时，先根据解析式求关键点坐标，再开展面积计算。 三、以反比例函数为背景的特殊三角形与特殊四边形存在性问题处理思路 一、核心设参：极简表动点，减少未知量 反比例函数上的动点统一设为单参数形式：设（），已知定点直接标坐标，双动点则设、，用1个参数表示1个动点，大幅简化后续方程求解。 二、分类讨论：按几何特征分情况，不重不漏 1. 特殊三角形（直角/等腰） - 直角三角形：分三种直角顶点（每个顶点依次为直角），直角条件转坐标：斜率乘积=-1（斜率存在）/向量数量积=0（万能）/勾股定理； - 等腰三角形：分三种相等两边（任意两边依次相等），用两点间距离公式表示边长，等式两边平方消根号列方程。 2. 特殊四边形（平行/菱形/矩形/正方形） - 先满足平行四边形基础性质：分“定边为边/对角线”，用中点坐标公式（对角线中点重合）列核心方程； - 再叠加特殊性质：菱形加邻边相等，矩形加邻边垂直/对角线相等，正方形加邻边相等且垂直/对角线相等且垂直，补充方程联立求解。 三、代数求解：化简方程，解参数求坐标 将几何条件转化的等式整理为关于参数（或）的方程，通过通分、消元化简求解，优先消去分式转化为整式方程，降低计算难度。 题型01 反比例函数与一次函数图象交点与不等式解集 1．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接、． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①的面积为______； ②当时，自变量x的取值范围为______． 【答案】(1)，； (2)①；②或 【分析】（1）先将点代入求出反比例函数解析式，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）①先求出点的坐标，再结合求解即可；②由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方，即可得解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数可得，， 解得：， 反比例函数， 当时，， 解得：， ， 将点，代入一次函数可得， ，解得：， 一次函数； （2）解：①令，则， ， ②由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 则当时，自变量x的取值范围为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 3．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数的图象分别交于点A，B，已知点A的纵坐标为1． (1)求m的值与点B的坐标； (2)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或 【分析】（1）先求解A的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）由反比例函数图象在一次函数图象的上方可得时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：点A在直线上，点A的纵坐标为1， ，解得，即点． 点A在反比例函数上， ． 反比例函数的表达式为． 点B是和的交点， 联立方程组解得或 点B在第四象限内， 点B的坐标为； （2）解：由图象可得：当时，x的取值范围是或． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点， (1)求m的值； (2)根据图象，求出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入反比例函数求出反比例函数为，再将代入反比例函数即可求出答案； （2）根据图象直接作答即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数（）， 得， 反比例函数为， 将代入反比例函数， 得； （2）解：根据图象得，一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是或． 5．如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． (1)求双曲线的表达式和a，b的值； (2)请直接写出使得的x的取值范围； (3)若的面积为12，求此时C点的坐标． (4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）根据表达式，交点的意义，确定点，点，求解即可； （2）根据函数的交点分别为点，点，结合已知求解即可； （3）根据函数的交点分别为点，点，设点，根据题意，得，列式计算即可． （4）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上， 故，， 解得， 故点，点， 故， 解得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：根据题意，得，的交点为点，点， ， 故x的取值范围为或； （3）解：根据函数的交点分别为点，点，设点， 根据题意，得， 由的面积为12， ， 解得， 故点． （4）解：点也在反比例函数的图像上， 当时，； 当时，； 根据反比例函数的性质，得y随x的增大而减小， 故函数值y的取值范围为或． 核心：联立求交点定分界点，结合图象上下位置判不等式解集，“以点定界，以形定号”。 1. 求交点：联立反比例函数与一次函数方程，解方程组得交点横纵坐标（分界点），无实根则无交点； 2. 判解集：在平面直角坐标系中，根据一次函数图象在反比例函数图象上方/下方的区域，结合交点横坐标，写出不等式（如）的解集； 3. 关键：注意反比例函数自变量，解集需分和两段讨论，避免漏区间。 题型02 反比例函数k的几何意义求面积 1．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数图象上一点，线段于点，交反比例函数图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同高三角形面积比等于底的比求出的面积，设，进而得到，，根据等面积法列方程求解即可． 【详解】解：∵为线段的中点，的面积为， ∴的面积为， 设， ∵为线段的中点， ∴， ∵， ∴D点横坐标为， 此时， 即 ∵， ∴ 解得：． 2．如图，正方形的顶点在位于第二象限的分支上，点B、C分别在轴、轴负半轴上，点在直线位于第一象限的图象上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、，先证明四边形是正方形，进而证明，得到，从而推出，求出，同理可证，，得到，，确定点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、， ， 四边形是矩形， 点在第一象限直线的图象上， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证，， ，， ， ， 点的坐标为， ． 3．如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 【答案】A 【分析】令点坐标为，点坐标为，可得点坐标为，由点在轴上，可得，代入的面积公式，即可得出结果． 【详解】解：令点坐标为，点坐标为， ∵点恰为的中点， ∴点坐标为，即， ∴的面积为， ∵点在轴上， ∴， 即， 代入上式面积公式得． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由点A与点C关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称， ∴， ∵作轴于点， ∴， ∴的面积． 5．如图，已知是等腰直角三角形，，点的坐标是，反比例函数的图象经过点A，则k的值是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】过点作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，再根据求解即可． 【详解】解：过点作轴， ∵是等腰直角三角形，，点的坐标是， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∵反比例函数的图象在第三象限， ∴． 核心：熟记的几何意义直接套结论，遇变形式先转化为标准型，注意的符号不影响面积（取绝对值）。 1. 核心结论：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积=|k|，所分直角三角形面积=； 2. 拓展应用：若垂线与坐标轴围成的图形为变式直角三角形/矩形，通过等积变换、平移转化为标准模型，再套求面积； 3. 关键：面积为非负数，计算时始终取的绝对值；多分支图象需结合点所在象限确定的符号，再求面积。 题型03 反比例函数与几何综合：三角形与四边形面积问题 1．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点坐标． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)反比例函数表达式为 (2)点C坐标为 (3) 【分析】（1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可； （3）根据的面积求出结论即可． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为， 由图可知点A的坐标为， 将代入，得， 解得：， ∴反比例函数表达式为； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得， 设点C的坐标为，则， ， ∵矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， ∵点C在第二象限， ，， ∴点C坐标为； （3）解：如下图， 由（2）知，点C坐标为， ， ， ， 的面积 ． 2．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与y轴交于点C．将直线沿y轴向上平移t个单位长度后与反比例函数的图像分别交于D，E，直线与y轴交于点F． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x取值范围___； (3)连接，若的面积为9，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点代入中可得；同理可得，即，，然后运用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）通过观察图像即可求解； （3）如图：过点D作轴交于点G，易得，根据的面积为9列方程可得，即；再确定C点坐标，进而确定点F的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入中，得，解得：； 同理可得：， ∴， 将点A、B代入， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， ∴由函数图像可得：当时，自变量x取值范围为或． （3）解：如图：过点D作轴交于点G， ∵直线沿y轴向上平移t个单位长度， ∴， ∵， ∴ ∴，解得：， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴． 3．如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，． (1)分别求出直线和双曲线的函数表达式； (2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式，再将代入反比例函数解析式求出n的值，进而可求直线的函数表达式； （2）设，先求出m的取值范围，再根据题意得到的面积的函数表达式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得： 解得：， ∴； （2）解：设， ∵点是线段上的一个动点， ∴， ∵过点作轴于点，是轴上一点， ∴，到的距离为m， ∴的面积， ∵， ∴当时，的面积最大， ∵在的范围内， ∴当的面积最大时，． 4．如图，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、点，与双曲线交于点． (1)求双曲线的解析式； (2)若是直线上一点，过点作轴的垂线与轴交于点，与双曲线交于点，当的面积为的面积的倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先把点代入直线得到，再把点代入双曲线即可求解； （2）根据题意可得，再分、两种情况进行求解． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于点， ，则交点为， ，解得， 双曲线的解析式为； （2）解：的面积为的面积的倍， ， 设，则， 当时， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 当时，， ； 时， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 当时，， ； 综上，点的坐标为或． 5．如图1，直线的图象与轴、轴分别交于两点，点是线段上一点，过点分别作的垂线，垂足分别是，矩形的面积为，且． (1)求点坐标； (2)将矩形以个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形，记平移时间为秒． ①如图2，当矩形的面积被直线平分时，求的值； ②矩形的边与反比例函数的图象有两个交点，记为，若梯形的面积是矩形的面积的，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）假设，利用矩形的面积为以及可求出点坐标； （2）①设，根据矩形的面积被直线平分可列方程求解即可； ②设，根据梯形的面积是矩形的面积的，列方程求解即可. 【详解】（1）解：设， ∵矩形的面积为， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴，即； （2）①设、和直线分别交于点，， 设， 则， ∴， ∵矩形的面积被直线平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②设， ∵由题意可知：， ∴， 解得：（舍）， ∴． 核心：坐标法为基础，割补法为主流，结合的几何意义简化计算，不规则图形拆补为规则图形（直角三角形、矩形、梯形）。 1. 步骤：① 由反比例函数解析式求关键点坐标（与直线交点、坐标轴垂线交点）；② 对三角形/四边形用割补法（割：拆为两个规则图形求和；补：大图形减小图形求差）；③ 结合的几何意义直接求直角三角形/矩形面积，减少计算； 2. 技巧：优先选平行于坐标轴的边作底/高，坐标差直接求边长，规避斜向距离的复杂计算；四边形可连对角线拆为两个三角形，分别求面积再相加； 3. 关键：所有边长用坐标差值的绝对值计算，避免符号错误。 题型04 反比例函数与几何综合：特殊三角形与特殊四边形存在性问题 1．如图，点、是反比例函数与一次函数的交点． (1)连接，求的面积； (2)一次函数与轴相交于点，在坐标轴上存在点使得是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或或或或或或 【分析】（）求出点和点坐标，进而求出一次函数解析式，再求出点坐标，最后根据解答即可求解； （）由点和点坐标可得，再分，和三种情况，利用两点间距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了反比例函数的几何应用，等腰三角形的定义，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴，， 把代入一次函数，得， ∴， ∴一次函数， 把代入，得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ① 当时， 若点在轴上，设，则 ， 解得或， ∴或； 若点在轴上，设，则， 解得或 ， 当时，点与点重合，不合，舍去， ∴； ②当时， 若点在轴上，设，则， 解得， ∴或 ； 若点在轴上，设，则 ， 解得或， ∴或； ③当时， 若点在轴上，设，则， 解得， ∴； 若点在轴上，设，则， 解得， ∴; 综上所述，点的坐标为或或或或或或或或． 2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点为轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分为腰和底，为腰时又要分顶点是还是． （1）根据可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据题意可得有三种情况，一种是为底，一种是为腰，以A为顶点，一种是为腰，以B为顶点． 【详解】（1）解：过点A作轴于点D， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 经过点， ， ， 反比例函数表达式为， 经过点，点， ， 解得， 一次函数表达式为， （2）解：①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、， ②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点， ∴点的横坐标为， ∴点为， ③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求 在直线中，当时， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 3．如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)点是反比例函数图象上的一点，若是以为直角顶点的直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）设，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：设， 由题意得，则， 即， 整理得，，即， ∴或， 当时，与点B重合，舍去； 当时，，符合题意； 综上，点的坐标为． 4．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)①不存在，理由见解析；②当时，以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形；当时，点Q在线段的延长线上，平行四边形只是矩形． 【分析】(1)根据条件可以得到点A、B、C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题； (2)①可用t的代数式表示，然后根据求出t的值，得到与重合，因而不存在t，使得四边形为平行四边形； ②可分两种情况(点Q在线段和在线段的延长线上)讨论，由于，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需，只需将分别用t的式子表示，求出t，就可解决问题． 【详解】（1）解∶(1)由题意可得∶点C的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为． 设过点C的反比例函数的表达式为，则有， ∴过点C的反比例函数的表达式为． 设过A、B两点的一次函数的表达式为， 则有， 解得． ∴过A、B两点的一次函数的表达式为； （2）①不存在． 轴，轴， ． 当四边形是平行四边形，则：． 设，则， ， ．此时与重合， 不存在t的值，使四边形为平行四边形． ②存在．当时，点Q在线段上， 此时，，． 当时，， 整理可得：， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在t，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形． 当时，点在线段的延长线上， 由，，得． 由，．得． 当时，四边形为平行四边形． ． ，（舍） 当时，四边形为平行四边形． 又且， 为矩形． 5．如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；；； 【分析】（1）根据二次根式的非负性、平方数的非负性求解即可； （2）为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为，设，根据中点坐标公式可用含t的式子表示出点D的坐标，根据平行四边形的性质可表示出点C的坐标，将点代入反比例函数解析式求解即可； （3）设，，①当为边时：分为平行四边形和为平行四边形两种情形画出图形，再根据平行四边形的性质求解即可；②当为对角线时：利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴，， ∴ ∵为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为， ∴， ∴，设， 如图，过点D作轴于点F，过点C作于点G， ∴轴， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， ∵点，都在双曲线的图像上， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：设，， ①当为边时： 第一种情况：如图所示，若为平行四边形，则，，即轴 ， ∴点P的纵坐标为，即，解得：， ∴，即， ∴，解得：， ∴； 第二种情况：如图所示，若为平行四边形， ∴，解得：， ∴； ②当为对角线时：如图所示， ∵， ∴点P、B的横坐标相同，即，解得：， ∴，即， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上，；；． 核心：设参定坐标，结合几何性质列方程求解，先根据反比例函数设动点坐标，再按特殊图形特征列等式，验证解的合理性。 1. 特殊三角形（直角/等腰）存在性 （1）设动点：反比例函数上的动点设为（单参数），减少未知量； （2）分类讨论：直角三角形分三种直角顶点，用勾股定理/斜率乘积=-1列方程；等腰三角形分三种相等两边，用两点间距离公式列方程； （3）求解验证：解方程得，求动点坐标，剔除坐标无意义（）、三点共线的解。 2. 特殊四边形（平行/菱形/矩形/正方形）存在性 （1）设点定参：设反比例函数上动点为、，结合已知定点坐标； （2）几何转代数：平行四边形用中点坐标公式（对角线中点重合）；菱形加邻边相等，矩形加邻边垂直，正方形加邻边相等且垂直，分别列方程； （3）验证求解：解方程组得参数，验证动点坐标在反比例函数图象上、四边形顶点不共线。 1．如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，，则，根据点，在反比例函数上，推出，，，再根据求出的值，即可求出的值． 【详解】解：设点，，则， ， ， 点，在反比例函数上， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 2．如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据矩形的性质可得轴，点坐标为，从而得出，再证得，利用面积比求出相似比，进而得出点横坐标，最后代入反比例函数解析式求出值 ． 【详解】解：设点的坐标为，其中 ， 四边形是矩形，点、在轴上 ， 轴，轴， 点的坐标为，即， 点、的纵坐标相同， 点的纵坐标为， 交轴于点， 轴 ， 在轴上，轴轴， ， ， ， ，即， ， 点在第二象限 ， 点的横坐标为， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上 ， ． 3．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点D在y轴上，点B、C在x轴上，与y轴交于点E，连接．若，，则k的值为（    ） A．6 B．7 C．－8 D．－9 【答案】C 【分析】过点作于点，证明，利用相似三角形性质得到，再证明，利用相似三角形性质得到，进而得到四边形的面积，求出矩形面积，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，， ，， ，解得， ，， 四边形为矩形，， ， ， ，解得， 四边形的面积， 矩形面积为， 点A在反比例函数的图象上， ． 4．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若，且，则______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，易证，利用相似三角形面积比等于相似比的平方及反比例函数的几何意义解答即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， 解得， ∵反比例函数的图象在第二象限， ， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为_________． 【答案】4 【分析】作轴，垂足为，连接，根据反比例函数k值的几何意义和题意得出，根据相似三角形的判定和性质得出，设，则，代入计算求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，连接， 点、在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 即， 解得， ∴， ∴． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集________； (3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________． 【答案】(1)， (2)或 (3)，，， 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把两点分别代入一次函数解析式即可． （2）利用图象法解决问题即可； （3）设，表示出，分为当时，当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在上， ， ∴反比例函数解析式为； 又点在上， ， ∴点的坐标为， 把和两点的坐标代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析为． （2）解：、， 观察图象可知：不等式的解集为或； （3）解：设， ∵、， 则， 当时，， 解得：， 故； 当时，， 解得：， 故； 当时，， 解得：或， 故，； 综上，，，，． 7．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，利用勾股定理，建立方程都是解本题的关键； （1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）分三种情况，当时， 当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得到， ∴ 把代入，得到， 把代入 ，得到 ， ∴； （2）解：∵为等腰三角形 ∴分情况讨论 第一种情况，当时，; 第二种情况，当时， ∵， ∴ ∴或 第三种情况，当时， 在中，设， 由得， 解得， ∴ 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P是y轴一个动点，且是为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）先利用一次函数求出得到点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）求出点C的坐标为，得到，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴，解得， ∴点， 把点，代入得到， 解得 ∴反比例函数的解析式为． （2）设点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 当时，，即， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点P坐标为， 当时，，即， 解得或， ∴点P的坐标为或 综上可知，点P的坐标为或或． 9．如图，已知，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式 的解集： (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）先根据点的坐标求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，两个、两点的坐标代入一次函数解析式中，求出一次函数解析式； （2）根据图象求出不等式的解集； （3）先求一次函数与轴交点，从而可求得，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点， ， 反比例函数解析式为， ， ， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象得，的解集为或； （3）解：一次函数的解析式为， 当时，， 解得， ， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数的关系式； (2)结合图象直接写出时的取值范围． (3)将直线向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点，且的面积为，求平移后直线的函数关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把点代入求得点坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）先联立两个函数解析式，解方程组求出交点、的坐标，再将不等式变形为，转化为“反比例函数值大于一次函数值”的问题，最后结合图象分和两个分支，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时对应的的取值范围即可； （3）根据一次函数上下平移不变，设平移后直线为，过点作轴的平行线交原直线于点，得出铅垂高的长度恒等于（与点横坐标无关），计算、两点的水平距离作为三角形的水平底长，代入三角形面积公式列方程，解出的值，即可得到平移后直线的函数关系式． 【详解】（1）解：把代入，得 ，解得， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的关系式； （2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点和点，由（1）知，， ∴， 解得或， ∴， ∵即，由图可知：当或时，反比例函数图象在直线上方， ∴时的取值范围为或； （3）解：设平移后直线的解析式为（向上平移了个单位），如图，过点作轴，交直线于点， 设点的横坐标为，则，， ∴， ∵，， ∴、两点的水平距离为， ∵的面积为， ∴，解得， ∴平移后直线的函数关系式为． 11．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)或 【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，根据题意可得，，则，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把点B的坐标代入得， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴，即轴，且点D在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 12．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，经过C、D两点．    (1)求k的值； (2)如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数（k为常数，k≠0）图像于点M，交反比例函数的图像于点N，当时，求G点坐标； (3)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或或 【分析】（1）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可； （2）待定系数法求得直线的解析式为，当时，，得到，设点的坐标为，得到，，，，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （3）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标． 【详解】（1）解：，，为中点， ， 设， 又， ， ， ， ； （2）由（1）得， ， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设点的坐标为， 轴， ，，，， ， ， 解得：， 点的坐标为； （3）由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时，   ，且； ， 解得， ，； 故点的坐标为或或． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)①点在线段上，且，求点的坐标． ②点是轴上的一动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)， (2)或 (3)①；②或 【分析】（1）将交点代入反比例函数求解析式，再求点坐标，最后将、代入一次函数，联立方程组求解系数得解析式； （2）结合函数图像，找出一次函数图像在反比例函数图像上方的取值范围； （3）①先计算的面积，根据面积比例求出的面积，设点坐标结合面积公式列方程，求解得点坐标；②先设点坐标，然后表示出，，，再分直角顶点为、两种情况，结合勾股定理列方程求出，再计算长度． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式， 可得，即， 则反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式， 可得， 则点的坐标为， 将，代入一次函数解析式， 可得， 解得， 则一次函数解析式为． 答：，． （2）解：， 在第二象限内，当，， 在第四象限内，当，， 故在坐标系内，或的图像满足要求， 答：或． （3）解：①如图，设直线与轴的交点为， 对于，令，解得， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 点在第二象限， 点在直线上， 设点坐标为， ， 解得，或（不合题意舍去）， 则， 点坐标为． 答：． ②解：如图，作，，设点坐标为， ，， ， ， ， 当到位置时， 有， 则， 解得，此时点坐标为， ； 当到位置时， 有， 则， 解得，此时点坐标为， ， 综上，的长度为或． 答：或． 14．如图，在直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点． （1）分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的函数表达式； （2）直线轴，并从轴出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，交反比例函数图象于点，交于点，交直线于点，当直线运动到经过点时，停止运动．设运动时间为（秒）． ①问：是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②若直线从轴出发的同时，有一动点从点出发，沿射线方向，以每秒个单位长度的速度运动．是否存在的值，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， ；（2）①不存在，理由详见解析；②存在， 【分析】（1）先确定A、B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可； （2）①可用t的代数式表示DF，然后根据DF=BC求出t的值，得到DF与CB重合，因而不存在t，使得四边形DFBC为平行四边形；②可分两种情况（点Q在线段BC上和在线段BC的延长线上）讨论，由于DE∥QC，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需DE=QC，只需将DE、QC分别用的式子表示，再求出t即可解答． 【详解】解：（1）由题意得，，， 反比例函数为，一次函数为：． （2）①不存在． 轴，轴， ． 又四边形是平行四边形， ． 设，则， ，． 此时与重合，不符合题意， 不存在． ②存在．当时，；当时，由，，得． 由，．得． 当时，四边形为平行四边形． ． ， （舍） 当时，四边形为平行四边形． 又且， 为矩形． 15．如图，反比例函数与直线交于，两点，点的坐标为，取中点．连接，，． (1)_____，________； (2)过点且不与坐标轴垂直的直线与反比例函数图象有且只有个交点，设该交点为，求直线的函数解析式； (3)将沿直线平移得到，记与重合面积为，的面积为，当时，的长为___________． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数的表达式，求出和的值； （2）先联立反比例函数与直线，求出点，则中点，设直线的解析式为，与反比例函数联立并消去可得，根据只有一个交点可得，求解的值，并写出对应的函数解析式； （3）容易计算出，即，设点的坐标为，由勾股定理可得，，．分类讨论，当时，根据平移的性质容易得到，则，因此．由可判定，，则，，结合等量代换可知，则，从而可证明，则．由可得，则，因此．根据构造方程解出，则；当时，容易证明，则，符合题意，此时；当时，容易判断重叠部分的面积小于，不符合题意． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：联立反比例函数与直线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∵点为的中点， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 由题意可知，， 将点代入，得， ， 变形，得，即， 联立反比例函数与直线，得， ， 消去，得， ， ∵反比例函数的图象与直线只有1个交点， ∴判别式， 整理，得， 解得或， ∴直线的函数解析式为或； （3）解：设点的横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，，， ①当时，如图，此时点在点的左侧，重叠部分为五边形，连接，设直线交轴于点， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 由平移的性质可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 化简，得， 解得或（与题设不符，舍去） ∴ ； ②当时，如图，此时重叠部分为，即， 由平移的性质可得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即点为的中点， ∴， ∴，符合题意， ∴； ③当时， ∵， 又∵， ∴，不符题意，故舍去； 综上所述，的长为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数、反比例函数与几何综合 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 反比例函数与一次函数图象交点与不等式解集 题型02 反比例函数k的几何意义求面积 题型03 反比例函数与几何综合：三角形与四边形面积问题 题型04 反比例函数与几何综合：特殊三角形与特殊四边形存在性问题 模块三、综合实战演练 一、反比例函数k的几何意义： 反比例函数的核心几何意义为过图象上任意一点作坐标轴的垂线，围成的直角图形面积与直接关联，的符号仅表示函数图象所在象限，面积恒取，核心结论及拓展如下： 1. 基础模型：过图象上一点作轴、轴垂线，垂足为，则矩形面积，面积（最核心，直接套用）； 2. 拓展模型：若垂线与坐标轴围成的是变式直角三角形/梯形，或过点作某条直线的垂线，可通过等积变换、平移、对称转化为基础模型，最终面积仍与成固定比例； 3. 多分支/多点结论：同一反比例函数图象上任意点，按基础模型所得的直角图形面积均相等（均为或）；若两点在同一支，面积和差可通过直接计算，异支同理。 核心关键 · 面积为非负，计算时必取的绝对值，与图象所在象限无关； · 所有几何面积题，先找图象上的点，再构造“坐标轴垂线+原点”的直角图形，转化为基础模型用求解。 二、以反比例函数为背景的图形面积问题处理思路 1. 先定核心：活用的几何意义，直接套基础结论 过反比例函数图象上任意点作、轴垂线，围成矩形面积=|k|、直角三角形面积=½|k|，同一函数上所有点的该类图形面积均相等，优先识别直接套用，无需额外计算。 2. 基础转化：等积变换，化变式为基础模型 遇斜向线段、非轴垂线围成的图形，通过平移、对称、同底等高转化为轴垂直的基础直角图形（矩形/直角三角形），再用算面积；多交点时，利用反比例函数图象对称性缩简计算。 3. 通用方法：割补法，化不规则为规则图形 对三角形、四边形等复杂图形，统一用割补法拆解/补形： · 割：连坐标轴平行线/对角线，拆为2~3个可算的规则图形（直角三角、矩形、梯形），分别求面积再求和； · 补：以图形顶点横/纵坐标为边界补成大矩形/梯形，用总面积减周围多余直角图形面积，剩余即为目标面积。 4. 关键细节：坐标法求边长，避斜向、取绝对值 所有边长均用坐标差值的绝对值计算，优先选平行于坐标轴的边作底/高，规避斜向距离的复杂根式运算；多点在反比例函数上时，先根据解析式求关键点坐标，再开展面积计算。 三、以反比例函数为背景的特殊三角形与特殊四边形存在性问题处理思路 一、核心设参：极简表动点，减少未知量 反比例函数上的动点统一设为单参数形式：设（），已知定点直接标坐标，双动点则设、，用1个参数表示1个动点，大幅简化后续方程求解。 二、分类讨论：按几何特征分情况，不重不漏 1. 特殊三角形（直角/等腰） - 直角三角形：分三种直角顶点（每个顶点依次为直角），直角条件转坐标：斜率乘积=-1（斜率存在）/向量数量积=0（万能）/勾股定理； - 等腰三角形：分三种相等两边（任意两边依次相等），用两点间距离公式表示边长，等式两边平方消根号列方程。 2. 特殊四边形（平行/菱形/矩形/正方形） - 先满足平行四边形基础性质：分“定边为边/对角线”，用中点坐标公式（对角线中点重合）列核心方程； - 再叠加特殊性质：菱形加邻边相等，矩形加邻边垂直/对角线相等，正方形加邻边相等且垂直/对角线相等且垂直，补充方程联立求解。 三、代数求解：化简方程，解参数求坐标 将几何条件转化的等式整理为关于参数（或）的方程，通过通分、消元化简求解，优先消去分式转化为整式方程，降低计算难度。 题型01 反比例函数与一次函数图象交点与不等式解集 1．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接、． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①的面积为______； ②当时，自变量x的取值范围为______． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 3．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数的图象分别交于点A，B，已知点A的纵坐标为1． (1)求m的值与点B的坐标； (2)直接写出当时，x的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点， (1)求m的值； (2)根据图象，求出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 5．如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． (1)求双曲线的表达式和a，b的值； (2)请直接写出使得的x的取值范围； (3)若的面积为12，求此时C点的坐标． (4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 核心：联立求交点定分界点，结合图象上下位置判不等式解集，“以点定界，以形定号”。 1. 求交点：联立反比例函数与一次函数方程，解方程组得交点横纵坐标（分界点），无实根则无交点； 2. 判解集：在平面直角坐标系中，根据一次函数图象在反比例函数图象上方/下方的区域，结合交点横坐标，写出不等式（如）的解集； 3. 关键：注意反比例函数自变量，解集需分和两段讨论，避免漏区间。 题型02 反比例函数k的几何意义求面积 1．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数图象上一点，线段于点，交反比例函数图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的顶点在位于第二象限的分支上，点B、C分别在轴、轴负半轴上，点在直线位于第一象限的图象上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 5．如图，已知是等腰直角三角形，，点的坐标是，反比例函数的图象经过点A，则k的值是（   ） A． B． C．2 D．4 核心：熟记的几何意义直接套结论，遇变形式先转化为标准型，注意的符号不影响面积（取绝对值）。 1. 核心结论：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积=|k|，所分直角三角形面积=； 2. 拓展应用：若垂线与坐标轴围成的图形为变式直角三角形/矩形，通过等积变换、平移转化为标准模型，再套求面积； 3. 关键：面积为非负数，计算时始终取的绝对值；多分支图象需结合点所在象限确定的符号，再求面积。 题型03 反比例函数与几何综合：三角形与四边形面积问题 1．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点坐标． (3)连接，求的面积． 2．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与y轴交于点C．将直线沿y轴向上平移t个单位长度后与反比例函数的图像分别交于D，E，直线与y轴交于点F． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x取值范围___； (3)连接，若的面积为9，求点F的坐标． 3．如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，． (1)分别求出直线和双曲线的函数表达式； (2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标． 4．如图，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、点，与双曲线交于点． (1)求双曲线的解析式； (2)若是直线上一点，过点作轴的垂线与轴交于点，与双曲线交于点，当的面积为的面积的倍时，求点的坐标． 5．如图1，直线的图象与轴、轴分别交于两点，点是线段上一点，过点分别作的垂线，垂足分别是，矩形的面积为，且． (1)求点坐标； (2)将矩形以个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形，记平移时间为秒． ①如图2，当矩形的面积被直线平分时，求的值； ②矩形的边与反比例函数的图象有两个交点，记为，若梯形的面积是矩形的面积的，求的值． 核心：坐标法为基础，割补法为主流，结合的几何意义简化计算，不规则图形拆补为规则图形（直角三角形、矩形、梯形）。 1. 步骤：① 由反比例函数解析式求关键点坐标（与直线交点、坐标轴垂线交点）；② 对三角形/四边形用割补法（割：拆为两个规则图形求和；补：大图形减小图形求差）；③ 结合的几何意义直接求直角三角形/矩形面积，减少计算； 2. 技巧：优先选平行于坐标轴的边作底/高，坐标差直接求边长，规避斜向距离的复杂计算；四边形可连对角线拆为两个三角形，分别求面积再相加； 3. 关键：所有边长用坐标差值的绝对值计算，避免符号错误。 题型04 反比例函数与几何综合：特殊三角形与特殊四边形存在性问题 1．如图，点、是反比例函数与一次函数的交点． (1)连接，求的面积； (2)一次函数与轴相交于点，在坐标轴上存在点使得是等腰三角形，求点的坐标． 2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点为轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标． 3．如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)点是反比例函数图象上的一点，若是以为直角顶点的直角三角形，求点的坐标． 4．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 5．如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 核心：设参定坐标，结合几何性质列方程求解，先根据反比例函数设动点坐标，再按特殊图形特征列等式，验证解的合理性。 1. 特殊三角形（直角/等腰）存在性 （1）设动点：反比例函数上的动点设为（单参数），减少未知量； （2）分类讨论：直角三角形分三种直角顶点，用勾股定理/斜率乘积=-1列方程；等腰三角形分三种相等两边，用两点间距离公式列方程； （3）求解验证：解方程得，求动点坐标，剔除坐标无意义（）、三点共线的解。 2. 特殊四边形（平行/菱形/矩形/正方形）存在性 （1）设点定参：设反比例函数上动点为、，结合已知定点坐标； （2）几何转代数：平行四边形用中点坐标公式（对角线中点重合）；菱形加邻边相等，矩形加邻边垂直，正方形加邻边相等且垂直，分别列方程； （3）验证求解：解方程组得参数，验证动点坐标在反比例函数图象上、四边形顶点不共线。 1．如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点D在y轴上，点B、C在x轴上，与y轴交于点E，连接．若，，则k的值为（    ） A．6 B．7 C．－8 D．－9 4．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若，且，则______． 5．如图，在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为_________． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集________； (3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________． 7．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)在轴上取一点，使为等腰三角形，请求出点的坐标． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P是y轴一个动点，且是为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 9．如图，已知，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式 的解集： (3)求的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数的关系式； (2)结合图象直接写出时的取值范围． (3)将直线向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点，且的面积为，求平移后直线的函数关系式． 11．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 12．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，经过C、D两点．    (1)求k的值； (2)如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数（k为常数，k≠0）图像于点M，交反比例函数的图像于点N，当时，求G点坐标； (3)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)①点在线段上，且，求点的坐标． ②点是轴上的一动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长度． 14．如图，在直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点． （1）分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的函数表达式； （2）直线轴，并从轴出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，交反比例函数图象于点，交于点，交直线于点，当直线运动到经过点时，停止运动．设运动时间为（秒）． ①问：是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②若直线从轴出发的同时，有一动点从点出发，沿射线方向，以每秒个单位长度的速度运动．是否存在的值，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由． 15．如图，反比例函数与直线交于，两点，点的坐标为，取中点．连接，，． (1)_____，________； (2)过点且不与坐标轴垂直的直线与反比例函数图象有且只有个交点，设该交点为，求直线的函数解析式； (3)将沿直线平移得到，记与重合面积为，的面积为，当时，的长为___________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $