精品解析：陕西咸阳市武功县普集高级中学2026届高考考前模拟预测数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（五） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，命题，， 则，． 2. 设全集，集合，，则a的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得． 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即 ， 所以，解得或． 5. 某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 6. 过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由抛物线方程求导得切线斜率，写出两点处的切线方程；再利用两切线交点的坐标，推导出直线的方程；最后将焦点代入直线的方程，即可直接求出点的纵坐标． 【详解】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 7. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以. 令，则当时，. 因为在区间上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，时，得，时，得，其他值，均不合要求， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：C 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式，当且仅当时等号成立，可得当时，，所以，，可判断；设，，利用导数分析的单调性可得，即，可判断，继而即可求解. 【详解】令，则， 令，则，令，则， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，即，即，当且仅当时等号成立， 当时，由，得， 所以，，即. 设，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 因为，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：构造函数比较大小的四种类型. 1.构造相同函数，比较不同函数值； 2.构造不同函数，比较相同函数值； 3.构造不同函数，比较不同函数值； 常用切线不等式；高次不等式放缩；分式不等式放缩. 4.先同构，再构造，再比较. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是其共轭复数，下列说法正确的是（　　） A. 若，则为实数 B. 若，则 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，得到，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意设，则. 选项A， ，则，所以为实数，所以A正确； 选项B， 当时，，此时，所以B错误； 选项C，当，，此时，所以C错误； 选项D，，即，所以D正确. 故选：A D. 10. 已知正方体的棱长为，点在底面内运动（包含边界），点在线段上运动，为棱的中点，则（ ） A. 存在点，使得直线平面 B. 当点在上时， C. 三棱锥的体积为定值 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A由平面平面，所以判断直线与平面的位置关系可得；对B，由平面判断可得；对C，根据顶点转换法可得三棱锥的体积，对D，建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值，并构造函数，用导数求函数的最大值可得. 【详解】对于A项，在正方体中，，平面，平面， 所以平面，同理平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以直线与平面相交，A项错误． 对于B项，在正方体中，， 平面，所以平面，平面，所以， 同理，平面，所以平面， 当点在上时，平面，所以，B项正确． 对于C项，，C项正确． 对于D项，设直线与平面所成角为，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图： 设，平面的一个法向量，， 所以 因为，显然当时，即点在上，. 因为在正方形内，根据正方形的对称性，故只需考虑的情况， 所以 ，令，则， 由柯西不等式得，所以， 令， ，所以在单调递减， 所以，因此， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确. 11. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到轴的距离为 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D. 若的周长为，则的离心率的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对A根据圆的切线长相等及双曲线的定义可得；对B由A选项解析及条件得，再由双曲线的性质可得，进而可得渐近线方程；对C由垂直解得 ， ，再由等面积法得内切圆半径，再结合A选项结果可得离心率；对D根据双曲线的定义可得焦点三角形的周长，进而可得，再由焦点弦的性质可得离心率的范围. 【详解】对于A项，设点的横坐标为，的焦距为，作，， 垂足分别为点，连接，则， 所以，， ， 又，所以，即， 所以，即，所以点到轴的距离为，故A项正确． 对于B项，由A项知，．又， 所以，所以，所以，所以， 则，所以C的渐近线方程为，故B项错误． 对于C项，因为，，所以， 解得 ， ， 所以内切圆半径， 由A项知，即，则， 即，解得或（舍），所以C的离心率为，故C项错误． 对D项，由双曲线的定义可得，， 两式相加可得 ， 则的周长为 ，即， 又因为，所以，解得，所以，故D项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数为偶函数，则______________． 【答案】9 【解析】 【分析】由幂函数和偶函数的性质求得，结合对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 又为偶函数，所以，所以． 13. 圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥侧面展开图的弧度确定圆锥的母线，进而可求锥体和柱体的高，以此分别求体积后相减即可. 【详解】设圆锥的母线长为l，由题意得底面圆的半径， 则，可得，即母线， 所以圆锥的高， 因为是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为1， 且圆柱的高，则该圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 则剩下几何体的体积． 14. A，B两队进行篮球比赛，比赛采用三局两胜制并规定每一局比赛都没有平局，且每局比赛A队获胜的概率都是p，记最终比赛局数为，若，则的数学期望的最大值是______________，方差的最大值为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出的分布列，从而求出，再得出它的最大值；求出，再通过换元法求解最大值. 【详解】由题意得的可能取值为2，3， ， ，则的分布列为 2 3 P 故，因为，所以当时，； ，令，因为，所以，则，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列的前n项积为，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求的前200项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用可得即可求证； （2）化简得即可求出. 【小问1详解】 由，得 ，则， 当时，则，得， 所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）得， ， 则， 所以 ， 所以． 16. 某健身俱乐部为研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下表： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 每周锻炼时长x/小时 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量y/千克 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 经过计算得，，． （1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用样本相关系数加以说明（结果精确到0.01）； （2）求经验回归方程（，的结果均精确到0.01）； （3）该俱乐部在推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克．请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释． 参考公式及数据：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．，． 【答案】（1）y与x的线性相关程度很高，可用一元线性回归模型刻画 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可； (2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程； (3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价值. 【小问1详解】 解：由表可知，， 所以， 因为0.93非常接近1， 所以y与x的线性相关程度很高，可用一元线性回归模型刻画． 【小问2详解】 由题意可知， ， 所以． 【小问3详解】 由（2）可知，根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近， 所以实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值． 造成一定差异的原因可能是样本数据过少，或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠、饮食、锻炼强度以及效果等． 17. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，根据得到答案； （2）作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； 【小问2详解】 作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. 18. 已知函数，，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，且存在a，使得不等式成立，求m的取值范围； （3）若关于x的方程恰有两个实根r，s，求证：． 【答案】（1）当时，在区间内单调递增；当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，将导数符号的判断转化为二次函数在区间上根的分布问题，通过对判别式进行分类讨论来求解单调区间； （2）利用韦达定理进行整体代换，将含双变量的极值问题转化为关于参数的一元函数求最大值问题； （3）利用两根关系消去参数，通过换元法构造函数证明出，最后借助基本不等式放缩完成证明. 【小问1详解】 由，得， 记，对称轴为， 若，即时，在区间内单调递增，所以， 所以，在区间内单调递增． 若，即时，当，即时，恒成立， 所以，在区间内单调递增； 当，即时，有两个不等的正实根，， 令，得或，令，得， 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减． 综上，当时，在区间内单调递增； 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减， 在区间内单调递增． 【小问2详解】 由（1）得，因为有两个极值点，， 所以方程有两个不相等的正实数根，， 则，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在区间内单调递减， 所以． 因为存在a，使得不等式成立， 所以对有解， 所以，故m的取值范围为． 【小问3详解】 证明：，不妨设， 因为， 所以，， 所以，． 下面先证明， 即证， 即证， 即证． 设，则上式转化为， 设，则， 所以在区间内单调递增， 所以当时，， 所以，所以， 因为，所以， 得，当且仅当时取得等号， 又，所以， 所以． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为E的上顶点，线段的延长线交E于点A，线段的延长线交E于点C，且满足． （1）求证：E的长轴长与短轴长之比为； （2）过点A作垂直于y轴，垂足为，过点C作垂直于y轴，垂足为． （i）若，求E的方程； （ii）试探究的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，由题意可推出，进而可表示出相关线段长，结合解三角形可得到，即可求得答案； （2）（i）表示出直线的方程，联立椭圆方程，可表示出A点坐标，同理可得B点坐标，结合，即可求得参数的值，可求解答案；（ii）利用数量积的坐标表示，计算的值，即可求解. 【小问1详解】 设，由题意知，，则 ， 由椭圆的定义得， 所以， 所以． 连接，则为等腰三角形， 则 ， 在等腰三角形中，，， 则， 又， 所以，即， 所以， 即， 所以E的长轴长与短轴长之比为． 【小问2详解】 （i）由（1）得，又， 所以， 所以． 又直线的方程为， 联立消去y得，解得或， 即，则． 又，所以， 所以直线的方程为． 联立消去y可得． 则，得，所以， 所以，则， 所以，， 故E的方程为． （ii）由（i）知，，又，且， 所以 ， 则，所以， 故是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（五） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设全集，集合，，则a的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是其共轭复数，下列说法正确的是（　　） A. 若，则为实数 B. 若，则 C. D. 10. 已知正方体的棱长为，点在底面内运动（包含边界），点在线段上运动，为棱的中点，则（ ） A. 存在点，使得直线平面 B. 当点在上时， C. 三棱锥的体积为定值 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 11. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到轴的距离为 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D. 若的周长为，则的离心率的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数为偶函数，则______________． 13. 圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 14. A，B两队进行篮球比赛，比赛采用三局两胜制并规定每一局比赛都没有平局，且每局比赛A队获胜的概率都是p，记最终比赛局数为，若，则的数学期望的最大值是______________，方差的最大值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列的前n项积为，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求的前200项和． 16. 某健身俱乐部为研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下表： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 每周锻炼时长x/小时 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量y/千克 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 经过计算得，，． （1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用样本相关系数加以说明（结果精确到0.01）； （2）求经验回归方程（，的结果均精确到0.01）； （3）该俱乐部在推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克．请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释． 参考公式及数据：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．，． 17. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数，，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，且存在a，使得不等式成立，求m的取值范围； （3）若关于x的方程恰有两个实根r，s，求证：． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为E的上顶点，线段的延长线交E于点A，线段的延长线交E于点C，且满足． （1）求证：E的长轴长与短轴长之比为； （2）过点A作垂直于y轴，垂足为，过点C作垂直于y轴，垂足为． （i）若，求E的方程； （ii）试探究的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $