第十章 专题微课 概率与统计的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

第十章 专题微课 概率与统计的综合问题 [课时跟踪检测] 1.连掷一枚均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为m,n,记t=m+n,则下列说法正确的是 (　　) A.事件“t=12”的概率为 B.事件“t是奇数”与“m=n”互为对立事件 C.事件“t=2”与“t≠3”互为互斥事件 D.事件“t>8且mn<32”的概率为 解析:选D　连掷一枚均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为m,n,则共有6×6=36个样本点,记t=m+n,则事件“t=12”必须两次都掷出6点,则事件“t=12”的概率为,故A错误;事件“t是奇数”与“m=n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5,故B错误;事件“t=2”与“t≠3”不是互斥事件,故C错误;事件“t>8且mn<32”有 共9个样本点,故事件“t>8且mn<32”的概率为,故D正确. 2.一个系统如图所示,A,B,C,D,E,F为6个部件,其正常工作的概率都是,且是否正常工作是相互独立的,当A,B都正常工作或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作时,系统就能正常工作,则系统正常工作的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H,则P(G)=P(H)=,“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R,则P(T)=P(R)=1-×=,于是得系统不正常工作的事件为TR ,而T,R,,相互独立,所以系统正常工作的概率P=1-P(T)·P(R)·P()·P()=. 3.(多选)已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是 (　　) A.甲参赛的概率大 B.乙参赛的概率大 C.这种选取规则公平 D.这种选取规则不公平 解析:选BD　由题意,知由1,2,3,4,5组成的“三位递增数”有123,124,125,134,135,145,234,235,245,345,共10个.记“甲参加数学竞赛”为事件A,事件A包含的样本点有124,134,234,共3个,所以P(A)=.记“乙参加数学竞赛”为事件B,则事件B包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345,共7个,所以P(B)=.因为P(A)<P(B),即乙参赛的概率大,所以该选取规则不公平. 4.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.甲、乙两人独立地解题,已知各人能解出的概率分别是0.5,0.25,则题被解出的概率是0.125 B.若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),P(AB)=0 C.某校200名教师的职称分布情况如下:高级占比20%,中级占比50%,初级占比30%,现从中抽取50名教师做样本,若采用分层随机抽样的方法,则高级教师应抽取10人 D.一位男生和两位女生随机排成一列,则两位女生相邻的概率是 解析:选BCD　因为他们各自解出的概率分别是0.5,0.25,则此题不能解出的概率为(1-0.5)×(1-0.25)=0.375,则此题能解出的概率为1-0.375=0.625,故A错误;若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),P(AB)=0,故B正确;高级教师应抽取50×20%=10人,故C正确;由列举法可知,两位女生相邻的概率是,故D正确. 5.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B,C,D,其中n(Ω)=60,n(A)=30,n(B)=10,n(C)=20,n(D)=30,n(A∪B)=40,n(AC)=10,n(A∪D)=60,则 (　　) A.A与B不互斥 B.A与D互斥但不对立 C.C与D互斥 D.A与C相互独立 解析:选D　由n(A)=30,n(B)=10,n(A∪B)=40,即n(A∪B)=n(A)+n(B)=40,故A,B互斥,A错误;由n(A∪D)=n(A)+n(D)=n(Ω)=60,故A,D互斥且对立,B错误;由n(C)=20,n(AC)=10,则n(DC)=10,故C与D不互斥,C错误;由P(A)==,P(C)==,P(AC)==,所以P(AC)=P(A)P(C),故A与C相互独立,D正确.故选D. 6.(5分)(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为　　　　;将三个盒子混合后任取一个球,是白球的概率为　　　　.  解析:设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n,所以总数为15n.所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n; 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n; 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n; 记“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”为事件A,所以,P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05; 记“将三个盒子混合后取出一个球,是白球”为事件B, 黑球共有2n+n+3n=6n个,白球共有9n个, 所以P(B)==. 答案:0.05　 7.(10分)根据城市空气质量污染指数的分级标准,空气污染指数(API)不大于100时,空气质量为优良.某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数,所得数据分别为90,110,x,y,150,已知这5天的空气污染指数的平均数为110. (1)若x<y,从这5天中任选2天,求这2天空气质量均为优良的概率;(5分) (2)若90<x<150,求这5天空气污染指数的方差的最小值.(5分) 解:(1)由题意知(90+110+x+y+150)=110,则x+y=200. 因为x<y,所以x<100<y. 从这5天中任选2天,所有的结果为(90,110),(90,x),(90,y),(90,150),(110,x),(110,y),(110,150),(x,y),(x,150),(y,150),共10种, 这2天的空气质量均为优良的结果为(90,x),只有1种,故所求的概率为P=. (2)方差s2=×[(90-110)2+(110-110)2+(x-110)2+(y-110)2+(150-110)2] =[2 000+(x-110)2+(90-x)2] =(x-100)2+440, 因为90<x<150,所以当x=100时,s2的值最小,最小值为440. 8.(10分)在某地区,某项职业的从业者共约8.5万人,其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系,依据是否患有职业病,使用分层随机抽样的方法随机抽取了100名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图: (1)求样本中患病者的人数和图中a,b的值;(3分) (2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数;(4分) (3)某研究机构提出,可以选取常数X0=4.5,若一名从业者该项身体指标检测值大于X0,则判定其患有这种职业病;若检测值小于X0,则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患病,求判断错误的概率.(3分) 解:(1)根据分层随机抽样原则,容量为100的样本中,患病者的人数为100×=40. a=1-0.10-0.35-0.25-0.15-0.10=0.05,b=1-0.10-0.20-0.30=0.40. (2)由(1)可知,患病者的人数为40,未患病的人数为60,该项身体指标检测值不低于5的样本中,有患病者40×(0.30+0.40)=28(名),未患病者60×(0.10+0.05)=9(名),共37名. 故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为×85 000=31 450. (3)当X0=4.5时,在100个样本数据中,有40×(0.10+0.20)=12(名)患病者被误判为未患病,有60×(0.10+0.05)=9(名)未患病者被误判为患病,因此判断错误的概率为. 9.(15分)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分100分),将不低于50分的考生的成绩分为5组,即[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制频率分布直方图如图所示,其中在[90,100]内的人数为2. (1)求a的值,并估计不低于50分考生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);(5分) (2)现把[50,60)和[90,100]内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上,并放在盒子内,现从盒中随机抽取2个小球,若取出的两人成绩差不小于30,则称这两人为“黄金搭档组”.现随机抽取3次,每次取出2个小球,记下考号后再放回盒内,记取出“黄金搭档组”的次数为2的概率.(10分) 解:(1)由题意得(0.005+0.01+0.015+a+0.045)×10=1,解得a=0.025, 不低于50分考生的平均成绩估计为55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分). (2)在[90,100]上的频率为0.005×10=0.05,由条件得总人数为=40, 所以在[50,60)内的人数为40×0.1=4, 记[50,60)内的所有学生的考号所在小球分别为a1,a2,a3,a4,[90,100]内的所有学生的考号所在小球分别为b1,b2, 则从这6个球中抽取2个球的结果有a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共15种, 其中为“黄金搭档组”有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,共8种, 所以抽取出“黄金搭档组”的概率P=.记取出“黄金搭档组”的次数为2为事件A,事件Ai(i=1,2,3)表示第i次取出“黄金搭档组”,所以P(A)=P(A1A2 )+P(A1A3)+P(A2A3) =××+××+××=, 故取出“黄金搭档组”的次数为2的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $