精品解析：河北邯郸市永年区2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 九年级数学试卷

2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，A、B两点之间的距离指的是（ ） A. 线段 B. 射线 C. 线段的长度 D. 中的对边 2. m、n在数轴上对应的点如图所示，对于m、n可能的值，下列结论不成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 将含有角的三角板按如图所示位置放置，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某地区上一年实现国民生产总值100亿元，今年预计国民生产总值会增长，用科学记数法表示该地区今年预计国民生产总值是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5. 如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上顺时针旋转90°后，左视图的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列各式中，左右两边相等的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（　　） A. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球 D. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球 9. 如图，甲与乙卡片上的代数式的差等于箭头下方的代数式，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（ ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A. 嘉嘉的证明过程没有问题 B. 琪琪的证明过程没有问题 C. 嘉嘉添加的条件没有问题 D. 琪琪添加的条件有问题 11. 如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设，，y与x之间的函数关系如图2所示，当线段最短时，的周长为m，的周长为n，则（ ）    A. B. C. D. 5.5 12. 如图，在中，，，，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，当点落在边上时，求的长（ ） A. 6 B. C. D. 12 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的值是________． 14. 已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 15. 将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边，在x轴上方作正方形，双曲线经过点B，其中，若直线将正方形的面积分为两部分，则k的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． （1）若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； （2）若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 18. 某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： （1）用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； （2）求x； （3）根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 19. 某学校九年级学生共500人，为了了解学生的体能状况，学校从全年级随机抽取若干名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了分组：A：，B：，C：，D：，E：；整理、描述和分析，绘制了不完整的统计图如下． 说明：①C组数据如下（单位：分）：70、71、73、73、73、74、76、77、78、79； ②成绩80分及以上为优秀，70－79分为良好，60－69分为合格，60分以下为不合格． 根据以上信息，回答下列问题． （1）本次体能测试的样本容量为______，______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的这些学生测试成绩的中位数，并估计全年级学生达到优秀的人数； （3）若本次体能测试E组中的3个人，有1位女同学和2位男同学，安排在领奖台上随意排成一排拍照留念，画树状图或列表求两名男生不相邻的概率． 20. 在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图： 解答下面问题： （1）请你分别判断甲组、乙组的做法是否正确？ （2）请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； （3）请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图是在平面直角坐标系中，运用作图软件模拟演示光线直射在平面镜上反射的过程，从点向垂直于轴的平面镜（看作线段）发射光线，与轴交于点，与平面镜交于点（可与点，重合），在点反射后的光线与轴交于点，且，，，设光线所在直线的函数表达式为（为常数且）． （1）若光线总能照射到平面镜上（含端点），求的取值范围； （2）当点恰好是平面镜的中点时，求光线所在直线的函数表达式； （3）直接写出点的纵坐标是整数的点的个数． 22. 如图，点P在射线上，点Q在上，且，，当点P在射线上左右移动时，线段的另一端点Q在上随之运动，，的半径为1． （1）当点Q在线段上时，直接写出的长； （2）求点P到点A的最近距离； （3）如图，当与相切于点Q时，求的长； （4）当点P到点A的距离最远时． ①在备用图中画出点P和点Q的位置； ②若从①中的位置开始，点P起初向右移动，随后在射线AB上与点Q协调联动，最终至点P，此时点P与之间距离个单位长度，点Q随之逆时针运动至点，使此时有，求点Q运动的路径长（结果保留）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，从点处向右上方沿 发出一个光点P，在第一象限有，其中，，． （1）求抛物线L的函数表达式及其顶点坐标； （2）判断点P是否会落在边上（含端点）？并通过计算说明理由； （3）将抛物线L连同光点P平移，平移后的抛物线连同光点分别记为，．当抛物线的表达式为时，直接写出点移动的最短路程； （4）将向左平移，设平移的距离为d，若点P能落在边上（含端点），求d的取值范围． 24. 如图1至图3，矩形纸片中，，，点E从点B出发，沿匀速移动的同时，将沿所在直线折叠，得到． （1）如图1，当点E移动到中点时，点F落在矩形内，________； （2）如图2，当点E移动到与点C重合时，与交于点G，求的长； （3）如图3，当点F恰好落在边上时，设与的交点为K，则 ①求线段的长； ②若点E以的速度从点B出发沿折线移动到点D停止，沿所在直线折叠矩形纸片，求覆盖点K的总时长（含边界）； （4）设，当时，求点F到的距离（用含x的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，A、B两点之间的距离指的是（ ） A. 线段 B. 射线 C. 线段的长度 D. 中的对边 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 2. m、n在数轴上对应的点如图所示，对于m、n可能的值，下列结论不成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上右边的数大于左边的数求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∵，，，， 故只有A选项不成立，符合题意． 3. 将含有角的三角板按如图所示位置放置，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平角定义求得，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 4. 某地区上一年实现国民生产总值100亿元，今年预计国民生产总值会增长，用科学记数法表示该地区今年预计国民生产总值是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数，先100亿表示为，再根据增长率列算式计算即可． 【详解】解：∵100亿， ∴该地区今年预计国民生产总值是． 5. 如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上顺时针旋转90°后，左视图的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意画出顺时针旋转后的左视图即可解答． 【详解】解：将该几何体在桌面上顺时针旋转后的左视图如图： 则左视图的面积为4． 故选B． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，掌握左视图就是从左边看到的图形是解答本题的关键． 6. 下列各式中，左右两边相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，等式两边不相等，不符合题意； B、，等式两边不相等，不符合题意； C、，等式两边相等，符合题意； D、，等式两边不相等，不符合题意． 7. 下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 8. 有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（　　） A. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球 D. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球 【答案】B 【解析】 【分析】根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球． 【详解】解：观察树形图可得：袋子中共有红，黄，蓝三个小球， 此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球． 故选：B． 【点睛】此题考查了用树状图法求概率的知识．注意掌握试验是放回实验还是不放回实验． 9. 如图，甲与乙卡片上的代数式的差等于箭头下方的代数式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得： ； 故选C． 【点睛】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键． 10. 如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（ ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A. 嘉嘉的证明过程没有问题 B. 琪琪的证明过程没有问题 C. 嘉嘉添加的条件没有问题 D. 琪琪添加的条件有问题 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故嘉嘉的做法以及过程没有问题， 琪琪的做法添加的条件有问题，应为， 故B选项符合题意． 11. 如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设，，y与x之间的函数关系如图2所示，当线段最短时，的周长为m，的周长为n，则（ ）    A. B. C. D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，，，当时，线段最短，此时，，利用勾股定理求得，，然后分别求得两个三角形的周长，相减即可得解． 【详解】解：由图可知，，， 当时，线段最短，此时，， ∴，， ∴的周长， 的周长， ∴ ． 12. 如图，在中，，，，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，当点落在边上时，求的长（ ） A. 6 B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】当点落在边上时，过点A作于点D，利用含30度角的直角三角形的性质得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得．利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当点落在边上时，过点A作于点D， 则 在中，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由旋转得，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ∴． 14. 已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程整理得， ∴由一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 15. 将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 【答案】84 【解析】 【详解】解：∵正六边形每个内角为，每个外角为，正五边形每个内角为，每个外角为， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边，在x轴上方作正方形，双曲线经过点B，其中，若直线将正方形的面积分为两部分，则k的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点A和点D的坐标结合正方形的性质得到，，则；再分图1和图2两种情况，求出点M和点N的坐标，根据题意可得，据此根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图1所示，当直线L与分别交于点M，点N时， 在中，当时，，当时，， ∴， ∵直线将正方形的面积分为两部分， ∴， ∴， ∴ ， 解得或（舍去）， ∴， ∵双曲线经过点B， ∴； 如图2所示，当直线L与分别交于点M，点N时， 在中，当时，，当时，， ∴， 同理可得 ， ∴ ， 解得或（舍去）， ∴同理可得点B的坐标为， ∴； 综上所述，k的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． （1）若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； （2）若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得； 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， ∴原式． 18. 某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： （1）用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； （2）求x； （3）根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 【答案】（1） （2） （3）方案③最节省费用 【解析】 【分析】（1）先分别求得甲、乙两个工程队的工作效率，进而可求解； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分别求得方案①和方案③的所付的工程款项，然后比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：设完成这项工程的规定日期是x天， 根据题意，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲、乙两队合作1天完成的工作量为； 【小问2详解】 解：由题意，列方程得，， 化简得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴方案③最节省费用． 19. 某学校九年级学生共500人，为了了解学生的体能状况，学校从全年级随机抽取若干名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了分组：A：，B：，C：，D：，E：；整理、描述和分析，绘制了不完整的统计图如下． 说明：①C组数据如下（单位：分）：70、71、73、73、73、74、76、77、78、79； ②成绩80分及以上为优秀，70－79分为良好，60－69分为合格，60分以下为不合格． 根据以上信息，回答下列问题． （1）本次体能测试的样本容量为______，______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的这些学生测试成绩的中位数，并估计全年级学生达到优秀的人数； （3）若本次体能测试E组中的3个人，有1位女同学和2位男同学，安排在领奖台上随意排成一排拍照留念，画树状图或列表求两名男生不相邻的概率． 【答案】（1）40；35，图形见解析 （2）72分；150人 （3） 【解析】 【分析】（1）用C组人数除以C组人数所占的百分比，可得抽取的总人数，再用B组的人数除以抽取的总人数，可求出x的值，再求出D组的人数，即可； （2）根据中位数的定义，以及样本估计中，即可求解； （3）根据题意，列出表格，可得一共有6种等可能结果，其中两名男生不相邻的有2种，再由概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：本次体能测试的样本容量为； ， 即； D组的人数为， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：40；35 【小问2详解】 解：根据题意得：位于正中间的两个数为71，73， ∴所抽取的这些学生测试成绩的中位数为分， 全年级学生达到优秀的人数为人； 【小问3详解】 解：根据题意，列出表格如下： 左 女 女 男1 男1 男2 男2 中 男1 男2 女 男2 男1 女 右 男2 男1 男2 女 女 男1 一共有6种等可能结果，其中两名男生不相邻的有2种， ∴两名男生不相邻的概率为． 【点睛】本题主要考查了样本容量，中位数，频数直方图，样本估计总体，利用画树状图法或列表法求概率，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键． 20. 在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图： 解答下面问题： （1）请你分别判断甲组、乙组的做法是否正确？ （2）请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； （3）请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）甲组正确；乙组正确 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形和矩形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质判断即可； （2）根据平行四边形和矩形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质证明即可； （3）利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可． 【小问1详解】 解：甲组正确；乙组正确． 【小问2详解】 解：若选“甲组正确”， 理由：如题图所示，∵， ∴， ∴，即， 由甲组的尺规作图可知，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故甲组作法正确． 若选“乙组正确”， 理由：如图，连接，． 由乙组的尺规作图可知，． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故乙组作法正确． 【小问3详解】 解：如图所示，． 21. 如图是在平面直角坐标系中，运用作图软件模拟演示光线直射在平面镜上反射的过程，从点向垂直于轴的平面镜（看作线段）发射光线，与轴交于点，与平面镜交于点（可与点，重合），在点反射后的光线与轴交于点，且，，，设光线所在直线的函数表达式为（为常数且）． （1）若光线总能照射到平面镜上（含端点），求的取值范围； （2）当点恰好是平面镜的中点时，求光线所在直线的函数表达式； （3）直接写出点的纵坐标是整数的点的个数． 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）分别将，代入解析式求得临界值，进而求得的范围； （2）根据题意得出，将代入得出，得出，根据光线与光线关于直线对称，得出点，设所在直线的函数表达式为（k为常数且），代入，待定系数法求解析式，即可求解； （3）由（1）知，当光线经过点时，可得，此时点C与点B关于直线对称，可得；同理，当光线经过点时，可得，此时点C与点B关于直线对称，可得，结合坐标系即可求解． 【小问1详解】 解：当光线经过点时， 代入得，， 解得：， 当光线经过点时， 代入得，， 解得：， ∴所求m的取值范围是． 【小问2详解】 ∵点恰好是平面镜的中点，，， ∴点， 当光线照射到点P时，可得， 解得：， ∴ 当时， ∴此时， 由光线反射可知，此时，光线与光线关于直线对称， ∴点C与点关于直线对称， ∴， ∴设所在直线的函数表达式为（k为常数且）， 代入点，得，解得， ∴光线所在直线的函数表达式为． 【小问3详解】 解：由（1）知，当光线经过点时， 将代入得， 解得： ∴ 当时， ∴ ， 当时， ∴ ∴由光线反射可知，此时点C与点B关于直线对称， ∴； 同理，当光线经过点时，可得 ，此时点C与点B关于直线对称，可得． ∴点C的纵坐标在到之间的整数，分别是4，5，6，7，8，9，10，共7个． 22. 如图，点P在射线上，点Q在上，且，，当点P在射线上左右移动时，线段的另一端点Q在上随之运动，，的半径为1． （1）当点Q在线段上时，直接写出的长； （2）求点P到点A的最近距离； （3）如图，当与相切于点Q时，求的长； （4）当点P到点A的距离最远时． ①在备用图中画出点P和点Q的位置； ②若从①中的位置开始，点P起初向右移动，随后在射线AB上与点Q协调联动，最终至点P，此时点P与之间距离个单位长度，点Q随之逆时针运动至点，使此时有，求点Q运动的路径长（结果保留）． 【答案】（1） （2） （3） （4）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）在直角三角形中，有一条边固定，要让剩下的两条边中的一边最短时，需另一边最短； （3）利用圆的切线性质与勾股定理求解； （4）在直角三角形中，有一条边固定，要让剩下的两条边中的一边最长时，需另一边最长． 【小问1详解】 解：在中， ． 【小问2详解】 解：如图1，当点P，O，Q三点共线，且点O在线段之间时， 点P到点A的距离最近， ， ，在中，， ∴点P到点A的最近距离为． 【小问3详解】 解：如图2，当PQ与相切于点Q时，连接OQ，OP， 由题意可得， 在中，， 又在中，． 【小问4详解】 ①如图3，当点P，Q，O三点共线，且点O在PQ的延长线上，PQ即为所求； ②由题意可得，，又，∴四边形为平行四边形， ∴，， 设交AO于点E， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴弧的长度 ∴点Q运动的路径长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，从点处向右上方沿发出一个光点P，在第一象限有，其中，，． （1）求抛物线L的函数表达式及其顶点坐标； （2）判断点P是否会落在边上（含端点）？并通过计算说明理由； （3）将抛物线L连同光点P平移，平移后的抛物线连同光点分别记为，．当抛物线的表达式为时，直接写出点移动的最短路程； （4）将向左平移，设平移的距离为d，若点P能落在边上（含端点），求d的取值范围． 【答案】（1）， （2）会，理由见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得h值，即可求得函数表达式；再利用二次函数性质求得顶点坐标； （2）先求得当时， ，再结合图象可得答案； （3）求得平移后的抛物线的顶点坐标，再利用两点坐标距离公式求解平移距离； （4）先求得平移过程中的临界点C和点B的坐标，再分为当对称轴右侧的抛物线与边有交点时和当对称轴左侧的抛物线与边BC有交点时的两种情况，利用坐标与图形性质求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得或， 由题意可得，抛物线的对称轴，应在点M的右侧， 故不合题意，舍去， ∴， ∴L的函数表达式为，其顶点坐标为； 【小问2详解】 解：会． 理由：当时，代入，得， 对于边，有，，而， ∴点P会落在边上； 【小问3详解】 解：设L的顶点为，由得，设平移后的顶点为， ∴点移动的最短路程； 【小问4详解】 解：∵， ∴当时，，∴或， ∴平移后的点或； 又∵， ∴当时，， ∴或， ∴平移后的点或． 向左平移时，当对称轴右侧的抛物线与边有交点时， ，， ∴． 当对称轴左侧的抛物线与边BC有交点时， ，， ∴． 综上，所求d的取值范围是或． 24. 如图1至图3，矩形纸片中，，，点E从点B出发，沿匀速移动的同时，将沿所在直线折叠，得到． （1）如图1，当点E移动到中点时，点F落在矩形内，________； （2）如图2，当点E移动到与点C重合时，与交于点G，求的长； （3）如图3，当点F恰好落在边上时，设与的交点为K，则 ①求线段的长； ②若点E以的速度从点B出发沿折线移动到点D停止，沿所在直线折叠矩形纸片，求覆盖点K的总时长（含边界）； （4）设，当时，求点F到的距离（用含x的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3）①；② （4） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，，然后由求解即可； （2）利用“”证明得到，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）①首先根据勾股定理解得，由折叠的性质可得，，易得四边形为正方形，进而可得，然后由平行线分线段成比例定理求解即可； ②当点在段运动时，此阶段不能覆盖点；当点在段运动时，由图形可知，此阶段能覆盖点，求得的值，求得此阶段运动时间；当点在段运动时，在经过点之前，能覆盖点，并求得当经过点时的值，可求得此阶段运动时间，即可获得答案； （4）过点作，交于点，延长交于点，证明，由相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， 当点E移动到中点时，则有， 由折叠的性质可得，，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， 当点E移动到与点C重合时，由折叠的性质得，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得，即； 【小问3详解】 解：①由题意得，， 由折叠性质得，， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∴． ②根据题意，点移动过程中，当点恰好落在边上时，与的交点为， 点在运动的整个过程中， （Ⅰ）当点在段运动时，如下图， 此阶段不能覆盖点； （Ⅱ）当点在段运动时，如下图， 由图形可知，此阶段能覆盖点， 由（2）知，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴此阶段运动时间为； （Ⅲ）当点E在上时，如图所示，当经过点K时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴能覆盖点K的时长为． 综上所述，能覆盖点的时长为； 【小问4详解】 解：如图2，过点F作于点H，交于点G， 则，， ∴四边形为矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理得，，， 消去y，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $