精品解析：海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高一下学期阶段性教学检测（五）数学试题

2023—2024学年海南高一年级阶段性教学检测（五） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：必修第二册整本书． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】计算可得，可得结论. 【详解】， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 2. 在学校举办的教师优质课评比比赛中，八位评委打出八个完全不同的分数后，去掉一个最高分，去掉一个最低分，再用剩余的六个分数计算平均数，作为讲课教师的最后得分．那么剩余的六个分数与最初的八个分数相比较，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 极差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数，平均数，极差和方差的定义进行判断，并举出反例. 【详解】一共8个数据，从小到大排列后分别为， 则为中位数， 去掉最高分和最低分后为一共有6个数据， 则中位数仍然为，故中位数一定不变； 其余数据可能改变，不妨设8个分数为， 平均数为， 极差为， 方差为， 去掉最高分10和最低分3后， 平均数为， 极差为， 方差为， 所以平均值，极差和方差均发生变化. 故选：D. 3. 如图是某校高一年级1000名男生体检时身高的频率分布直方图，现用分层随机抽样的方法从身高在160～175cm的男生中抽取130名，则抽取到的身高在165～170cm的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图分别求出身高在160～175cm和身高在165～170cm的人数，然后根据分层抽样的定义求解即可 【详解】由频率分布直方图可知，高一年级身高在160～175cm的人数有， 高一年级身高在165～170cm的人数， 设抽取到的身高在165～170cm的人数为，则 ，解得， 故选：C 4. 已知向量，，，若与垂直，则实数λ的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，然后利用与垂直，可得，列方程可求得答案. 【详解】因为，，所以， 因为与垂直， 所以，解得， 故选：D 5. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行 故选：A. 6. 下表是某地区2024年3月1日至10日每天中午12时的气温统计表，则下列关于这10天中气温的说法错误的是（ ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 气温（℃） 2 10 18 20 16 12 6 2 6 12 A. 众数为2和6和12 B. 70%分位数为16 C. 平均数小于中位数 D. 极差为18 【答案】B 【解析】 【分析】由众数，平均数，中位数，百分位数，极差的概念求解可得结论. 【详解】对于A：由气温统计表可得众数为2和6和12，故A正确； 对于B：把气温由小到大排为2，2，6，6，10，12，12，16，18，20， 由，故70%分位数为，故B错误； 对于C：平均数为， 中位数为，所以平均数小于中位数，故C正确； 对于D：极差为，故D正确. 故选：B. 7. 在中，点D，N分别满足，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，用表示. 【详解】在中，点D，N分别满足，，若，， 则 . 故选：D. 8. 已知一个圆锥的顶点和底面的圆周在同一个球面上，若球的体积为，圆锥的体积为，且圆锥的高为正整数，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出球的半径，设圆锥底面圆半径为，高为，根据题意建立等式求解计算即可. 【详解】设球的半径为，则，解得， 设圆锥底面圆半径为，高为， 圆锥的体积为，所以， 有，解得，， 所以圆锥的侧面积. 故选：C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得，逐项计算可判断结论. 【详解】由，可得， 对于AB：所以复数的虚部为，故A错误，B正确； 对于C：所以，所以在复平面内对应的点在第一象限，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD. 10. 某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数为80分，标准差为s，后来发现记录有误，甲同学得90分误记为60分，乙同学得70分误记为100分，更正后重新计算得到的平均分数为，标准差为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】设更正前甲，乙，的成绩依次为，则， 即，可得， 则更正后的平均分为， 可得，所以更改前后的平均数不变，所以A正确，B错误； 由更改前的方差为， 即， 可得， 更改后的数据方差为， 可知，所以，故C错误，D正确； 故选：AD. 11. 如图，在正四棱柱中，，点P为线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为6π C. 若E是棱上一点，且，则平面 D. 直线平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接求三棱锥的体积进行判断；对于B，三棱锥外接球就是正四棱柱的外接球，则其直径为正四棱柱的体对角线，从而可求出其外接球的表面积；对于C，设是棱上一点，且，连接，通过线面垂直可得，又易得，可得平面；对于D，由面面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，在正四棱柱中，， 所以三棱锥的体积为，故A正确； 对于B，由题意可得三棱锥外接球就是正四棱柱的外接球， 所以外接球半径为，所以外接球的表面积为，故B不正确； 对于C：若是棱上一点，且， 由正四棱柱，易证平面， 又平面，所以， 设是棱上一点，且，连接， 由正四棱柱，可得且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以，所以， 由已知可得，又，所以， 所以，又， 所以，所以， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数据：7.2，8.3，8.5，8.5，8.7，8.8，9.0，9.2第40百分位数是________． 【答案】8.5 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为，故这组数据的第百分位数是. 故答案为：. 13. 已知向量、的夹角为，，，则向量在向量上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，再利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 14. 已知中，，，且的面积为，若直线AB上存在点D，使，则________． 【答案】2或 【解析】 【分析】先利用三角形的面积结合已知条件求出角，再利用余弦定理求出，然后利用正弦定理求出，再在中利用正弦定理可求得结果. 【详解】因为中，，，且的面积为， 所以，得， 因为，所以或， 当时，在中，由余弦定理得 ， 所以，所以， 所以， 在中，由正弦定理得, ，得，得， 当时，在中，由余弦定理得 ， 所以， 在中，由正弦定理得, , 所以，得， 在中，由正弦定理得, ，得，得, 综上，或， 故答案为：2或 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的坐标运算和向量模的坐标运算，求； （2）由，有，解得，利用向量数量积和向量的模求向量与向量的夹角． 【小问1详解】 由向量，，得， 所以． 【小问2详解】 由，， 得，解得， 由，得， 所以， 又，所以， 所以向量与向量的夹角为． 16. 某校组织全校数学老师参加解题大赛，对于大赛中的最后一个解答题，甲得满分的概率为0.8，乙得满分的概率为0.7，记事件A：甲最后一个解答题得满分，事件B：乙最后一个解答题得满分． （1）求甲、乙两人最后一个解答题都得满分的概率； （2）求甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分的概率． 【答案】（1）0.56； （2）0.38 【解析】 【分析】（1）事件“甲、乙两人最后一个解答题都得满分”可表示为AB，且事件A，B相互独立，由独立事件同时发生的概率公式求解即可. （2）因为事件“甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分”可表示为，且，互斥，利用互斥事件的并事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 事件“甲、乙两人最后一个解答题都得满分”可表示为AB，且事件A，B相互独立， 由题意可知，， 所以． 【小问2详解】 因为事件“甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分”可表示为，且，互斥， 所以 ． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，其中，且，平面ABCD，，M为PC的中点． （1）求证：平面ABM； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，可得，进而证明平面，可得，进而得，可证结论； （2）易得平面，可知点到平面的距离等于线段到平面的距离，可得平面，利用可求体积. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，，则且． ∵且， ∴，即四点共面． ∵平面，平面， ∴，又，， ∴平面， ∵平面， ∴． 又，是的中点， ∴，又， ∴平面，即平面． 【小问2详解】 ∵，平面，平面， ∴平面，即点到平面的距离等于线段到平面的距离． ∵，，PD，平面，， ∴平面， 由（1）知，平面，，可得， ∴ ． 18. 随着人们环保意识的日益增强，越来越多的人开始关注自己的出行方式，绿色出行作为一种环保、健康的出行方式，正逐渐受到人们的青睐，在可能的情况下，我们应当尽量采用绿色出行的方式，如步行、骑自行车或使用公共交通工具．某单位统计了本单位职工两个月以来上下班的绿色出行情况，绘制出了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工两个月以来上下班的绿色出行天数的中位数； （2）若该单位有职工200人，从绿色出行天数大于25的3组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加绿色出行社会宣传活动，再从6人中选取2人担任活动组织者，求这2人的绿色出行天数都在区间（25，30]的概率． 【答案】（1），18.75 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形的面积和为1求出，再求绿色出行天数的中位数即可； （2）先求出绿色出行天数在区间中的人数，再计算出各个区间内所抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求出绿色出行天数都在区间的概率. 【小问1详解】 由题意得，解得． 由，， 知中位数位于（15,20]内． 设中位数为， 则，解得， 则中位数为． 【小问2详解】 绿色出行天数大于25的共有（人）， 则在区间（25,30]中有（人），抽取人数为， 在区间（30,35]中的有（人），抽取人数为， 在区间（35,40]中的有（人），抽取人数为． 设从绿色出行天数在（25，30]中抽取的职工为，，，， 从绿色出行天数在（30,35]中抽取的职工为B，从绿色出行天数在（35,40]中抽取的职工为C， 全部可能的结果有（,），（,），（,），（,B），（,C）， （,），（,），（,B），（,C），（,），（,B）， （,C），（,B），（,C），（B,C），样本点总数， 满足要求的样本点个数， 则两人均来自（25，30]的概率为， 故2人的绿色出行天数都在区间（25,30]的概率为． 19. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． （1）求C； （2）若，且是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及已知条件得到，再由三角形范围解得； （2）先利用正弦定理得，，再由面积公式以及化解得，最后由是锐角三角形得即可求的取值范围. 【小问1详解】 因为， 且由余弦定理， 所以，即， 又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理可得，， 所以，， 所以的面积 ． 由是锐角三角形，得 即， 所以， 所以， 所以， 所以面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年海南高一年级阶段性教学检测（五） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：必修第二册整本书． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则z在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在学校举办的教师优质课评比比赛中，八位评委打出八个完全不同的分数后，去掉一个最高分，去掉一个最低分，再用剩余的六个分数计算平均数，作为讲课教师的最后得分．那么剩余的六个分数与最初的八个分数相比较，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 极差 D. 中位数 3. 如图是某校高一年级1000名男生体检时身高的频率分布直方图，现用分层随机抽样的方法从身高在160～175cm的男生中抽取130名，则抽取到的身高在165～170cm的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 4. 已知向量，，，若与垂直，则实数λ的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下表是某地区2024年3月1日至10日每天中午12时的气温统计表，则下列关于这10天中气温的说法错误的是（ ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 气温（℃） 2 10 18 20 16 12 6 2 6 12 A. 众数为2和6和12 B. 70%分位数为16 C. 平均数小于中位数 D. 极差为18 7. 在中，点D，N分别满足，，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个圆锥顶点和底面的圆周在同一个球面上，若球的体积为，圆锥的体积为，且圆锥的高为正整数，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 10. 某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数为80分，标准差为s，后来发现记录有误，甲同学得90分误记为60分，乙同学得70分误记为100分，更正后重新计算得到的平均分数为，标准差为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正四棱柱中，，点P为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为6π C. 若E棱上一点，且，则平面 D. 直线平面 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数据：7.2，8.3，8.5，8.5，8.7，8.8，9.0，9.2的第40百分位数是________． 13. 已知向量、的夹角为，，，则向量在向量上的投影向量为________． 14. 已知中，，，且的面积为，若直线AB上存在点D，使，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 16. 某校组织全校数学老师参加解题大赛，对于大赛中的最后一个解答题，甲得满分的概率为0.8，乙得满分的概率为0.7，记事件A：甲最后一个解答题得满分，事件B：乙最后一个解答题得满分． （1）求甲、乙两人最后一个解答题都得满分的概率； （2）求甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，其中，且，平面ABCD，，M为PC的中点． （1）求证：平面ABM； （2）求三棱锥的体积． 18. 随着人们环保意识的日益增强，越来越多的人开始关注自己的出行方式，绿色出行作为一种环保、健康的出行方式，正逐渐受到人们的青睐，在可能的情况下，我们应当尽量采用绿色出行的方式，如步行、骑自行车或使用公共交通工具．某单位统计了本单位职工两个月以来上下班的绿色出行情况，绘制出了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工两个月以来上下班的绿色出行天数的中位数； （2）若该单位有职工200人，从绿色出行天数大于253组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加绿色出行社会宣传活动，再从6人中选取2人担任活动组织者，求这2人的绿色出行天数都在区间（25，30]的概率． 19. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． （1）求C； （2）若，且是锐角三角形，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$