海南北京师范大学万宁实验学校2025-2026学年第二学期高一数学期中试卷

高一年级期中考试数学答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.【答案】A 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A. 2.【答案】 B 【详解】 投影数量的公式为. 先求数量积：. 再求模长：. 投影数量为.投影向量的模长为3 3. 【答案】C 【详解】在平行四边形ABCD中，， 所以 所以 又因为为AD的中点， 所以 故选：C 4.【答案】C 【详解】因为．所以，解得， 于是． 故选：C. 5.【答案】B 【详解】:. 故选：B 6.【答案】C 【详解】设的最小正周期为，由图知，， ∴，∴，∴， 将代入，得，又，∴，∴， 将的图象向左平移，所得函数的解析式为： ， ∵的图象关于直线对称，∴（）， ∴（），∵，∴的最小值为， 故选：C. 7.【答案】D 【详解】，由正弦定理可得 ， . 故选D 8.【解析】B 因为，可得，且， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以， 因为为锐角三角形，则满足，可得， 由正弦定理得， 又因为，所以，可得，可得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.【答案】BC 【详解】对于A，由可得其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由可得其共轭复数为，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 10.【答案】BC 【详解】选项A： 计算向量.当与夹角为锐角时， . 但当时，，夹角为0°，不属于锐角，故的取值范围应为，选项A错误. 选项B： 根据向量共线定理，若非零向量与平行，必存在唯一实数使得，选项B正确. 选项C： 重心满足，当重合时, 选项C正确. 选项D： ， 方法一：等价于，又等价于在上的投影相等， 方法二：等价于等价于与垂直时条件成立， 不能保证一定有，比如如图所示： 选项D错误. 综上，正确答案为B、C. 故选：BC. 11.【答案】AC 【详解】 所以，故A正确 令可得，满足的有，故B错误 的最小正周期为，故C正确 当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误 故选：AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.【答案】 【详解】， ， . 故答案为： 13.【答案】 【详解】 解：因为，所以. 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 14. 【解析】由，且得，， 所以， 建立平面直角坐标系，如图所示： 不妨记，得，设点， 由，得，由向量模的几何意义得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆， 则， 得 ， 等号成立时，得，即， 故的最大值为： 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.【解析】（1）已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. （2）因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 16.【解】（1）由函数图象上的一个最低点为，得． 由周期，得． 由点在图象上，得， 即， 所以， 故， 又， 所以，， 所以函数的解析式为． （2）因为， 所以， 所以当， 即时， 函数取得最小值1； 当，即使，函数取得最大值． 17.【详解】解：由题意知，， . （1）因为A，B，C三点共线，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 所以解得 所以点C的坐标为. 18.【解析】（1）由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 19.【解析】（1）∵， 又为的相伴特征向量， ∴； （2）∵向量的相伴函数为， 又，. ，， ， ∴； （3）由题可知， ∴， 设，， ，， 又，， ，即， ， ，， ， 又， 当且仅当时，和同时等于， 在图像上存在点，使得. 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2025-2026学年第二学期高一期中考试 数学 学科命题细目表 题号 题型 考查知识点 难度系数 分值 1 选择题 复数的运算（复数相等条件） 0.85 5 2 选择题 向量的投影向量计算 0.7 5 3 选择题 平面向量的线性运算（平行四边形法则） 0.7 5 4 选择题 三角恒等变换（和差角公式、二倍角公式） 0.65 5 5 选择题 三角函数的辅助角公式 0.65 5 6 选择题 三角函数的图象与性质（对称性、最值） 0.65 5 7 选择题 正弦定理、余弦定理（三角形面积公式、三角恒等变换） 0.6 5 8 选择题 三角恒等变换（和差角公式）、三角函数的值域 0.6 5 9 选择题 复数的概念（共轭复数、模、复平面） 0.7 6 10 选择题 平面向量的数量积、向量垂直/平行的判定、向量夹角 0.6 6 11 选择题 三角恒等变换（辅助角公式）、三角函数的图象与性质 0.5 6 12 填空题 复数的模的计算 0.85 5 13 填空题 三角恒等变换（两角和与差的余弦公式、同角三角函数） 0.65 5 14 填空题 平面向量的数量积、向量模的计算、向量的线性运算 0.6 5 15 解答题 平面向量的垂直、平行和夹角余弦值 0.65 13 16 解答题 三角函数的解析式求解、三角函数的最值 0.6 15 17 解答题 平面向量共线的坐标表示、向量的数乘运算 0.65 15 18 解答题 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换 0.6 17 19 解答题 三角函数的图象变换、三角函数的求值、三角函数的性质 0.45 17 Sheet2 Sheet3 $ 北师大万宁实验学校2025-2026学年第二学期期中考试(高一) 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数z满足，则z的虚部是（  ） A． B． C．1 D．i 2．已知向量,，则向量在方向上的投影向量的模长为（ 　） A.    B. 3   C.    D. −3 3．在平行四边形ABCD中，，为AD的中点，（  ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（  ） A． B．2 C． D． 5．已知，则的值为（ ） A． B． C．2 D． 6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移（）个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）. A． B． C． D． 7．的内角的对边分别为，已知，，则( ) A． B． C． D． 8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有 （   ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 10．下列关于平面向量的说法中正确的是 （  ） A．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 C．若点为的重心，则 D．若且，则 11．已知函数，，则（ ） A． B．在区间上只有1个零点 C．的最小正周期为 D．为图象的一条对称轴 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则______. 13．若，，则___________. 14. 已知平面向量,满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 16.已知函数，（其中，，）的周期为，且图象上的一个最低点为． （1）求的解析式； （2）当时，求的最值． 17.在直角坐标系中，O为坐标原点，，，. （1）若A，B，C三点共线，求，b的关系； （2）若，求点C的坐标. 18.在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)若为的相伴特征向量，求实数m的值； (2)记向量的相伴函数为，求当且时的值； (3)已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 贴 条 码 区 域 (由考生本人粘贴 请勿贴出区域外) ) ( 北师大万宁实验学校2025-2026学年 下 学期 期中考试 (高 一 ) 数学答题卡 ) ( 考号 ： 姓名： 班级： 学校： 缺考 违纪 正确填涂 填涂要求 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号、班级填涂清楚。第 Ⅰ 卷答题区域使用2B铅笔填涂，第 Ⅱ 答题区域用黑色签字笔书写，要求字迹工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，第 Ⅰ 卷答题区域修改时，用橡皮擦擦干净，第 Ⅱ 答题区域修改禁用涂改液及胶条。 ) ( 一 .单选题 （ 每小题5分，共40分 ） ) 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] ( 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) 二.多选题（每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. ( 此区域禁止答题 ) ( 1 5 .（ 13 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 北师万附 数学 答题卡 第 1 页 共 6 页 北师万附 数学 答题卡 第 2 页 共 6 页 北师万附 数学 答题卡 第 3 页 共 6 页 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 17 .（1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 9 .（1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 北师万附 数学 答题卡 第 4 页 共 6 页 北师万附 数学 答题卡 第 5 页 共 6 页 北师万附 数学 答题卡 第 6 页 共 6 页 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $