专题12 代数与几何综合（坐标法）（3大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

**基本信息** 以坐标法为核心，系统整合距离、中点、斜率公式，构建“公式应用—设参求解—图形构造”三阶方法体系，培养几何直观与运算能力，实现代数几何综合问题的精准突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法总述|3类应用技巧|基础应用直接判关系（平方消根号）；进阶设参列方程（单参简化）；综合构造图形（中点公式优先）|公式推导→技巧迁移→综合应用，形成“概念—方法—应用”闭环| |压轴题型专练|3题型各5题|题型01用公式判几何关系；题型02依图形判定列方程；题型03联立解析式判交点|题型与方法一一对应，覆盖特殊图形构造、函数交点等高频考法| |综合实战演练|12道综合题|融合公式应用与分类讨论，强调斜率特殊情况及交点有效性验证|典例涵盖函数与几何综合全场景，强化推理意识与模型观念|

专题12 代数与几何综合（坐标法） 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 利用距离公式、中点公式、斜率关系解决几何问题 题型02 坐标系中构造特殊图形并求点坐标 题型03 函数图象与几何图形的交点分析 模块三、综合实战演练 一、平面直角坐标系中距离公式、中点公式、斜率关系及其应用技巧： 一、三大核心公式（基础必记，无特殊说明均为，） 1. 两点间距离公式 推论：点到原点的距离： 2. 中点坐标公式 线段的中点坐标： 3. 斜率公式及位置关系 斜率； 平行：（均存在）； 垂直：（均存在）； 特殊情况：竖直线（为定值）斜率不存在，水平线（为定值）斜率为0，竖直线⊥水平线。 二、公式核心应用技巧（按题型适配，简洁实用） （一）基础应用：直接判定几何关系 1. 判线段相等：无需构造全等，直接计算两段距离，相等则长度一致（如证菱形邻边相等、等腰三角形两腰相等）； 1. 判中点/平分：若点是中点，必满足中点公式，反之亦然（如证平行四边形对角线互相平分）； 1. 判平行/垂直：优先算斜率，斜率关系直接定位置（坐标系中证矩形、正方形的垂直，证平行四边形的对边平行）。 技巧：判距离相等时，可平方消根号简化计算（只需证相等）。 （二）进阶应用：设参求解未知点坐标 1. 单参设点：未知点在函数图象/坐标轴上时，用一个参数表示（如轴上点设，直线上点设），代入公式列方程，避免多未知数； 1. 多定点定动点：已知2个及以上定点，结合几何条件（如中点、垂直、等距），将条件转化为公式等式，联立求解动点坐标； 1. 对称点求解：利用中点公式+垂直斜率（核心技巧），如求关于直线的对称点，则中点在上，且。 （三）综合应用：构造特殊图形/解决几何综合题 1. 构造平行四边形：优先用中点公式（最简便），若为平行四边形，则对角线中点重合（中点=中点），分类讨论定线段为对角线的情况，列公式求解； 1. 构造菱形/矩形/正方形：先按平行四边形用中点公式，再补充条件： · 菱形：加距离公式（邻边相等）； · 矩形：加斜率公式（邻边垂直）或距离公式（对角线相等）； · 正方形：加邻边相等+垂直（距离+斜率公式结合）； 1. 求最短距离/交点：结合函数图象，用距离公式表示动点到定点的距离，转化为函数最值；求函数与几何图形交点，先联立解析式，再用公式验证交点是否符合几何边界。 题型01 利用距离公式、中点公式、斜率关系解决几何问题 1．在数学中，我们可以利用距离公式来计算两点间的距离．对于平面上的两点和，、两点间的距离公式可以表示为：． (1)利用距离公式计算和两点之间的距离． (2)如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点．（，，为常数）． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②点为轴上一动点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求点的坐标； ③在②的条件下，当时，连接并延长交双曲线于点，若为轴上一动点，是否存在与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②点的坐标为或；③存在，点的坐标为或 【分析】本题考查两点间距离公式，一次函数与反比例函数的解析式求解，直角三角形存在性判定，相似三角形的性质与判定，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）直接代入两点间距离公式，计算和的距离； （2）①代入点坐标求出反比例函数解析式，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式；②用距离公式表示三边长度的平方，分三种直角情况结合勾股定理列方程求解，得到点的坐标；③先求出直线的解析式和点的坐标，再利用相似三角形的比例关系建立方程，求出点的坐标． 【详解】（1）解：已知和， 则两点之间的距离为． 答：． （2）解：①和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两交点， 把代入，则， 反比例函数解析式为， 点坐标为， 把和代入中， 可得， 解得， 一次函数解析式为． 答：，． ②，，， ∴由距离公式得，， ，， 当为直角三角形，分三种情况讨论： 若时，则， 可得，，， ∴方程无实数解， ； 若时，则， 可得， 解得； 若时，则， 可得， 解得． ∴当为直角三角形时，点的坐标为或． 答：点的坐标为或． ③存在，点的坐标为或，理由如下： ， ，点坐标为， 设直线表达式为，代入，， 解得，， ∴直线表达式为， 直线与双曲线交于点， 可得， 解得， ∴点坐标为， ，， 设，， 当时，有， ， ， ，， ，， 故当或时，． 2．【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】本题考查了二次函数的变形题型，仔细阅读材料是解题关键． （1）设的解析式为，将代入即可求解； （2）由：得：：；由直线：得：联立①②得：，解方程即可； （3）作关于直线的对称点，连接，可得此时取得最小值；求出直线的解析式，得到，即可求解； 【详解】解：（1）设的解析式为， 将代入得：， 解得：； ∴的解析式为； （2）由：得：：； 由直线：得： 联立①②得：， 解得：； ∴或； 即：，； （3）作关于直线的对称点，连接如图所示： ∵ ∴的最小值为线段的长度； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，； 即：； ∵，， ∴； 3．阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线．通常也称为直线，其中称为直线的斜率，它表示直线关于坐标轴的倾斜程度．特别地，当时，直线．所以，直线可由直线经过平移得到．那么，已知直线上的两点和，如何求出的值呢？ 将、两点的坐标分别代入，得到．把上面两式相减，消去，得到，当时，求得． 因此，当时，直线的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当时，直线与轴平行或垂直于轴，此时直线的斜率不存在． 【理解运用】 （1）已知点、，则直线的斜率，其解析式为____； （2）已知点、，其中为常数．若直线与直线平行，求的值； 【拓展迁移】 （3）若直线：上有两点、，直线：上有一点，则，； （4）求证：平面上三点、、不共线． 【答案】（1）；；（2）；（3），（4）见解析 【分析】本题主要考查一次函数解析式的相关计算，解题关键是运用斜率公式及一次函数性质求解． （1）已知、，两点坐标，根据材料中给出的斜率公式，将两点坐标代入，算出直线的斜率．再设直线的解析式为，把求出的值和点的坐标代入解析式，通过解方程算出的值，进而得到直线的解析式 ． （2）因为直线与直线平行，根据两直线平行斜率相等，可知直线的斜率等于．然后利用斜率公式，结合点、的坐标列出关于的方程，解方程得出的值． （3）可通过计算直线和直线的斜率，得出关于的方程，进而求得的值，即可得出的值； （4）分别计算直线的斜率，即可得证． 【详解】解：（1）已知、， 根据斜率公式，可得 ． 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得． 所以解析式为 ． （2）解：设直线的斜率为， 直线与平行， ． 即， 解得； （3）解：依题意，直线： ，   直线：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，． （4）证明：由题意知，， ， 平面上三点、、不共线． 4．笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的． 某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，满足，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线上任意两点的坐标，都有的值为k，其中k叫直线的斜率．如，为直线上两点，则，即直线的斜率为1． (1)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图1，直线于点．请求出直线与直线的斜率之积． (2)如图2，已知正方形的顶点S的坐标为，点K，R在第二象限，为正方形的对角线．过顶点R作于点R．求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定，一次函数的解析式，涉及到新定义的斜率问题，熟练掌握新定义的内容是解题的关键． （1）根据材料中的斜率公式分别求出直线与直线的斜率，再相乘即可得出答案； （2）过点作轴于，过点作轴于，连接交于．根据正方形的性质及证明，再根据全等三角形的性质和正方形的性质即可求出点R的坐标，根据即可求出直线的斜率，设直线的解析式为，再将点R的坐标代入即可得出答案． 【详解】（1）解：， , . （2）解：如图2中，过点K作轴于M，过点S作轴于N，连接交于点J． ∵， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为． 把代入可得， ， ∴直线的解析式为． 5．预备知识：（1）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，设点M为线段的中点，则点M的坐标为． （1）①设，点M为线段的中点，则点M的坐标为 ； ②设线段的中点为点N，其坐标为，若端点C的坐标为，则端点D的坐标为 ； （2）如图1，四边形中，，点E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．求证：；（S表示面积） 问题探究：如图2，在已知锐角内有一定点P，过点P任意作一条直，分别交射线于点M、N将直线绕着点P旋转的过程中发现，的面积存在最小值，请问当直线在什么位置时，的面积最小，并说明理由； 结论应用：如图3，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在第一象限，且，若点P的坐标为，过点P的直线l分别交于点M、N，求三角形面积的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；问题探究：当点P是的中点时最小；结论应用：． 【分析】（1）①根据线段的中点坐标公式即可解答；②将相关坐标代入中点坐标公式即可解答； （2）根据可以求得，进而得到就可以得出结论即可解答；问题探究：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是的中点时最小，过点M作交EF于G．由全等三角形的性质即可得出结论；结论应用：如图3，由问题探究当点P是MN的中点时最小，根据勾股定理的逆定理得到，求得轴，得到N点的横坐标为3，设，根据线段的中点坐标公式得到，过M作于C，根据相似三角形的性质得到，得到，进而完成解答． 【详解】解：（1）①∵，点M为线段的中点， ∴，即， 故答案为：； ②设，由中点坐标公式得：，解得： ∴； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴； 问题探究： 当直线旋转到点P是的中点时最小， 如图2，过点P的另一条直线交于点E． F， 设，过点M作交于G， 由预备知识（2）可以得出当P是的中点时，． ∵， ∴， ∴当点P是的中点时最小； 结论应用：如图3，由问题探究当点P是的中点时最小， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴N点的横坐标为3， 设， ∵点P的坐标为， ∴，解得：， 如图：过M作于C， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，则有，解得：， ∴设直线的解析式为：， ∵点M在直线上， ∴， ∴，即：； ∵， ∴设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵N点的横坐标为3， ∴N点的纵坐标为， ∴， ∴三角形面积的最小值是． 核心：将几何关系（相等、垂直、平分、平行）直接转化为三大公式的代数运算，无需纯几何推导。 1. 精准套公式：距离公式判线段相等/求长度，中点公式判线段平分/找中点，斜率关系（平行，垂直）判位置关系； 2. 设参代算：未知点设坐标（单参为主），按几何条件列公式等式，求解参数得坐标/关系； 3. 关键：斜率不存在（竖直线）单独讨论，距离计算可平方消根号简化运算。 题型02 坐标系中构造特殊图形并求点坐标 1．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴交直线BC于点． (1)求点的坐标： (2)如图2，若是直线下方抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点．在新抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点M、N、D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点的坐标为 (3)或或 【分析】（1）先求出，，，利用待定系数法求出直线的解析式为，求出抛物线的对称轴为直线，代入直线的解析式计算即可得出答案； （2）作轴交抛物线的对称轴于，交直线于，交轴于，设，则，，，，则，，，表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）由二次函数的平移法则得出新抛物线的解析式为，且点与点重合，则，对称轴为直线，设，则，，，分两种情况：当时，当时；分别建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：在抛物线中， 当时，，解得或， ，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ； （2）解：如图，作轴交抛物线的对称轴于，交直线于，交轴于， 设，则，，，， ，，， ， ， 当时，最大为， 当时，， 此时点的坐标为； （3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 新抛物线的解析式为，且点与点重合，则， 新抛物线的对称轴为直线， 设，则，，， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 3．已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表． (1)直接写出该二次函数的对称轴； (2)若，当时，，求a的取值范围； (3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线 (2) (3)存在，点的坐标为，， 【分析】（1）根据二次函数图像对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，可直接计算对称轴 （2）先写出二次函数交点式，代入点坐标，根据判断乘积符号，进而得到的取值范围； （3）先根据的值求出二次函数解析式，再分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况，结合菱形的性质计算点坐标，验证是否在抛物线上得到结果 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数图像经过点和，两点纵坐标相同， 因此两点关于对称轴对称.因此对称轴为直线. （2）解：设二次函数解析式为， 将，代入得 ，， 因此 ，即的取值范围是. （3）解：将展开得，因此 ， 解得 因此二次函数解析式为， 当时，， 解得： ∴点，，， ∵点在对称轴上，设，， 分情况讨论：情况1：为菱形的边 ， 与纵坐标相等，且， 解得或. 将代入解析式，得，得. 将代入解析式，得，得. 根据对称性，若，代入解析式得， 整理得， 判别式，无实根，此情况不存在符合条件的点. 情况2：为菱形的对角线时， 菱形对角线互相平分， 中点与中点重合，中点为， 因此 解得，. 将代入解析式，得， 因此，验证可得四边边长相等，满足菱形条件. 综上，存在符合条件的点，坐标为，，. 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积； (3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）设点D的坐标为，过点D作轴于点M，则，证明，可得，从而得到，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，设点，然后根据平行四边形，分三种情况讨论，即可． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点D的坐标为， 如图，过点D作轴于点M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点为的中点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为或； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 综上所述，点D的横坐标为或或． 核心：以特殊图形判定条件为依据，结合坐标公式列方程，分类讨论补全图形顶点坐标。 1. 定图形判定：明确平行四边形/菱形/矩形/正方形等的核心判定（如平行四边形中点重合、菱形邻边相等）； 2. 分类设点：区分定点/动点，动点按函数/坐标轴特征设参（如x轴上点设）； 3. 列解验证：按判定条件套中点/距离/斜率公式列方程，求解后验证四点不共线、图形不退化，整理有效坐标。 题型03 函数图象与几何图形的交点分析 1．如图-1抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过A，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图-2，若点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作轴，轴分别交直线于点E，F，求线段的最大值； (3)如图-3，将二次函数的x轴上方的图象沿x轴向下翻折形成M形图象，将直线向下平移m个单位长度得到直线l，若l与M形图象有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）由题意得，，用待定系数法求解即可； （2）先证明，得到，将求的最大值转化为求的最大值，设点P的坐标，根据轴得到点E的坐标，进而用含x的代数式表示出的长度，构造二次函数并求其最大值，从而得到的最大值； （3）先求出原抛物线沿x轴翻折后的M型函数解析式，再写出直线向下平移m个单位后的直线解析式，通过分析直线过点A、点B的临界情况，以及直线与翻折后抛物线相切的临界情况，来确定m的取值范围。 【详解】（1）解：由题意得，，代入得， ，解得， ∴； （2）解：∵，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ∵轴，轴 ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设，其中， 轴，点在直线上， ， ， 二次函数的开口向下，对称轴为， 当时，的最大值为， 的最大值为； （3）解：中， 取，得， 解得：，， ， ， 沿轴翻折后的解析式为， 设直线向下平移个单位得到直线为， 如图，当直线过点时，与形图象有1个交点， ， ∴； 当直线l过点时，与形图象有3个交点，如图， ， ∴； 当直线与翻折后的抛物线相切时，与形图象有3个交点，如图， 则， ， ， 解得：， 与形图象有2个交点时，的取值范围为或． 2．数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一： 新定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这条直线叫做抛物线的切线，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二： 判断：抛物线与直线的位置关系联立，得．根据一元二次方程根的判别式． ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3）． 【知识技能】 （1）若直线与抛物线相交，则b的取值范围是 ； 【数学理解】 （2）已知抛物线和直线相离，请问抛物线向下平移多少个单位后与直线相切； 【问题解决】 某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为A，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为C，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点O，喷泉柱所在直线为y轴，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为，已知喷水口离喷水柱底端的高度为，水流在距的水平距离为1米时，达到最大高度，此时离地面米． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为，并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 【答案】（1）；（2）抛物线向下平移3个单位后与直线相切；（3）射灯安装距离喷泉柱底端4米处 【分析】本题考查了二次函数的应用，根的判别式，二次函数的平移，正确地理解题意是解题的关键． （1）把与联立方程组得到，根据直线与抛物线相交，得到，于是得到结论； （2）设平移后的抛物线表达式为，把与联立得到，根据，于是得到结论； （3）设射灯发出的光线与轴交于，得到，设，则，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，联立得到，利用，求得，得到米． 【详解】解：（1）把与联立方程组， 得， 直线与抛物线相交， ， 解得， 故答案为：； （2）设抛物线向下平移c个单位后与直线相切 则平移后的抛物线表达式为 把与联立方程组， 得， ∵， 解得 ∴抛物线向下平移3个单位后与直线相切 （3）由题意得，抛物线顶点， ∴设抛物线表达式为， ∵图象经过， ∴， ∴， ∴． 设射灯发出的光线与轴交于， ，， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立得，， 射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流， 直线与抛物线相切， ， 解得， 米， 答：射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 3．在平面直角坐标系中，抛物线的图象记为，抛物线（为常数）的图象记为，将关于轴翻折得到的新抛物线记为．直线与、分别相交，取在直线左侧图象（不包括交点）和在直线右侧图象（包括交点）联合记为． (1)将题目中的函数表示为分段函数形式； (2)如图1，在（1）的条件下，直线交轴于．点为的对称轴与直线的交点．将直线向下平移4个单位长度，并交轴于．点在直线上运动，以为一条直角边，点为直角顶点作等腰，点为点关于点的对称点，连接，，．若，直线与是否有交点？若有，请求出交点横坐标；若没有，请说明理由； (3)如图2，以（1）中的为边向下构造正方形，当与该正方形有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)没有，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，一次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）先将的解析式化成顶点式，得出的顶点坐标为，再根据函数翻折的性质求出的解析式为，即可求出函数的表达式； （2）延长，交于点，设与轴的交点为点，的对称轴与轴的交点为点，证明得出，求得直线的解析式为，直线的解析式为，联立解析式，即可求解． （3）由（2）得，，，进而分情况讨论求得临界值，观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的顶点坐标为， ∵将关于轴翻折得到的新抛物线记为， ∴的顶点坐标为，二次项系数为， ∴的解析式为， ∵取在直线右侧图象（不包括交点）和在直线左侧图象（包括交点）联合记为， ∴的解析式为． （2）解：直线与没有交点，理由如下： 如图，延长，交于点，设与轴的交点为点，的对称轴与轴的交点为点， ∴， ∵， ∴， ∵等腰， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的图象记为， ∴令，则， 解得：，， ∴，， ∵， ∴的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵点为的对称轴与直线的交点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向下平移4个单位长度，并交轴于， ∴平移后的直线解析式为， ∴令，则，解得， ∴， ∴， 设，则，，， ∴，， ∵等腰， ∴点到的距离是的一半，即， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵ ∴， ∴ 联立，消去得 即 ∴，原方程组无解， 当时，直线与无交点 ，消去得 即 ∴ ∴ ∴时，直线与无交点 综上所述，直线与无交点； （3）解：由（2）得，， ∵正方形， ∴，， 当的右支恰好经过点时，如图 则， 解得：，（舍去）， 当恰好是连续函数时，则， 解得：，（舍去）， 由图象得，当与该正方形有两个公共点时，的取值范围为． 4．阅读与思考 巧用方程思想解决函数交点问题 我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解． 下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图像的交点情况的部分探究过程：联立得． 整理，得． ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程． ∴． 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点． 任务： (1)请参照阅读材料中的分析过程，分别写出和时的分析结果； (2)若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值； (3)实际上，除了上述两种函数图像的交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】(1)当时，方程有两个相等的实数根， 二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点； 当时，方程没有实数根， 二次函数的图像与一次函数的图像没有交点； (2)； (3)，答案不唯一，合理即可． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可； （2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式，代入求解； （3）函数图像有两个交点，保证根的判别式即可． 【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得： 当时，方程有两个相等的实数根， 二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点； 当时，方程没有实数根， 二次函数的图像与一次函数的图像没有交点； （2）联立函数表达式：， 可得：， 化简得： ， 函数图像有一个交点， ， 解得：； 故答案为：； （3）反比例函数图像与一次函数图像有两个交点 ∴联立反比例函数与一次函数解析式，满足， 如：，答案不唯一，合理即可． 5．已知抛物线：． (1)该抛物线必过点________和________； (2)如图，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，（点在点的左侧）． ①判断抛物线与抛物线是否有交点，并说明理由； ②连接，证明：四边形为平行四边形； (3)在（2）中，若平移抛物线能使四边形为菱形，请求出平移的方式和平移距离． 【答案】(1) (2)①有交点，见解析；②见解析 (3)将抛物线向左平移个单位，即可满足四边形为菱形 【分析】（1）将函数关系式变形整理成，即可得出结论； （2）①令值相等可得一元二次方程，根据根的判别式即可确定是否有交点； ②根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （3）根据对角形互相垂直的平行四边形是菱形得到与的横坐标相同，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴二次函数的图象必过点； （2）①解：有交点，理由如下： 令， 化简得：， 则 ∵， ∴， ∴抛物线与抛物线有两个不同的交点； ②证明：由抛物线：， ∴， ∵当时，， 解得：，点在点的左侧， ∴点， ∵抛物线：， ∴， ∵当时，， 解得：，点在点的左侧， ∴， ∴的中点为，的中点为， 即：四边形的对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （3）解：由（2）知四边形为平行四边形， 当四边形为菱形时，则， 则此时与的横坐标相同，设抛物线平移个单位后的点的坐标为， ∴， ∴， ∴只需要将抛物线向左平移个单位，即可满足四边形为菱形． 核心：联立函数解析式与几何图形的坐标关系式，通过方程解的情况判定交点，结合图象定交点范围。 1. 建坐标关系式：将几何图形（线段、圆、三角形）转化为代数式子（如线段的横/纵坐标范围、圆的标准方程）； 2. 联立求解：将函数解析式与几何关系式联立，转化为一元一次/二次方程，通过解的个数（） 判交点数； 3. 数形结合：画出函数与几何图形草图，结合方程解的范围、几何图形的边界条件，筛选有效交点（排除图形外的解）； 4. 关键：二次函数与几何图形相交时，必结合和自变量取值范围双重判定，避免漏解/增解。 1．如果一条直线与一条抛物线只有一个交点，且直线与这条抛物线的对称轴不平行，我们就称直线与抛物线相切．在平面直角坐标系中，直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为，求证：无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切． 【答案】见详解 【分析】本题考查了新定义，判别式的应用，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，整理得，再求出判别式，即，即可作答． 【详解】解：∵直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为 ∴ ∴ 整理得 ∴ ∴直线L与抛物线P只有一个交点， ∴无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切 2．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题． 已知：二次函数的函数图像上分别有，两点，其中，，分别在对称轴的异侧，是中点，是中点．利用阅读材料解决如下问题： 概念理解： (1)如图1，若，求出，的坐标． 解决问题： (2)如图2，点是关于轴的对称点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．试判断是否在轴上，并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点．延长至，使得． ①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． ②在①条件下，轴上一点，抛物线上任意一点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)是在轴上，理由见解析 (3)①是，；② 【分析】（1）直接根据中点坐标公式求解即可； （2）先根据题意以及坐标与图形性质分别求出点A、C、D、E、F坐标，进而可得结论； （3）①利用中点坐标公式和坐标与图形性质，结合已知可求得，，进而可得到，可得结论； ②根据题意和两点之间线段最短可知，当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，利用两点坐标距离公式和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，是中点， ∴，， ； ，，是中点 ，， ； （2）解：是在轴上，理由如下： ，点是关于轴的对称点， ， 是中点，是中点， ，则； 轴交抛物线于点， ， 把代入得，，， ，， 轴，且， 是在轴上； （3）解：①，，是中点， ； 是中点， ； 轴交抛物线于点， ， 把代入得，， 轴交抛物线于点．延长至，使得， ，， ，即， ，， ， 点在上，， ， 轴，， 即，，， 综上是一个定值； ②∵是轴上一点，是抛物线上任意一点，， ∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最小，最小值为， 此时，最小为， 故的最小值为． 3．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离， 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ， 平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为___________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (3)在平面直角坐标系中有一点． ①可以表示到点和点___________的距离和； ②请结合平面直角坐标系，应用两点间的距离公式求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为5， (3)①；② 【分析】本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，一次函数的图像与性质，掌握两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式计算即可求解； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则，得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，求出的最小值为，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，即可求解； （3）①根据两点间距离公式即可求解；②原式表示到点和点的距离和，由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段上时，代数式的值最小，进而利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：点，， ， 故答案为：； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ， 的最小值为， 设直线的解析式为，把，代入得： 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ； （3）①可以表示到点和点的距离和， 故答案为：； ②表示到点和点的距离和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段上时，代数式的值最小， 的最小值为． 4．阅读下列材料，回答问题 在一次函数中，x的系数k与其图象的倾斜方向与倾斜程度有关，我们把k叫做直线的斜率，关于斜率，有以下结论： ①若，则直线的斜率； ②若直线：，直线：， 则当，时，；当时，直线； 我们可以直接利用斜率来解决许多关于直线位置关系的问题： 若直线l经过点 (1)如图1，直线l的斜率 ； (2)如图2，过点作轴于C，若点D是y轴正半轴上的点且． ①连接，试探究直线与直线有何位置关系； ②求的面积； (3)在y轴上是否存在一点M，使是以为直角边的直角三角形，若有，请直接写出所有符合要求的点M的坐标，若无，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②； (3)或 【分析】题目主要是新定义题意，考查一次函数的性质， （1）直接根据题意求斜率即可； （2）①先确定点，，然后求出，依据题意即可得出结果；②根据题意确定直线的解析式，然后得出，结合图形求三角形面积即可； （3）根据题意分两种情况：①当时，②当时，结合题意利用当时，直线，即可求解； 理解题意是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）①∵点D是y轴正半轴上的点且，过点作轴于C， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：， ∴， 当时，， 如图所示： ， ∴的面积为：； （3）设点， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分两种情况：①当时， ∵， ∴， 根据题意得， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵， ∴， 根据题意得， ∴， 解得：； ∴； 综上可得：或 ． 5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号） ①；②． (2)已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； (3)若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①② (2) (3)t的值为1或3 【分析】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． （1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ．分三种情况：当，当时， 当时，求解即可 【详解】（1）解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ②联立，解得：， ∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故②正确； 综上分析可知，正确的是①②． 故答案为：①②； （2）解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； （3）解：联立 即 依题意，， ∴ ∴， 当，即时，在处，w有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，w有最小值1， ∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意； 当时，在处，w有最小值t， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或 6．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． (1)求的面积； (2)如图2所示，点P是直线下方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点Q，过点P作直线交于点G，请求出的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面内任意一点，请直接写出所有使得以P、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标． 【答案】(1)12 (2)最大值为，此时点P的坐标 (3)或或或 【分析】（1）分别求解抛物线与坐标轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出直线的解析式为，设点，可得点，从而得到，再证明，可得，从而得到，即可求解； （3）根据平移的性质可得新抛物线的解析式，可得到新抛物线的对称轴为y轴，设点，，再求出直线的解析式，然后分三种情况，结合菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∴的面积为； （2）解：根据题意得：， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标； （3）解：∵， ∴将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为， 即新抛物线的对称轴为y轴， 设点，， ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：或0， 当时，，此时点在直线上，不符合题意，舍去； 此时点M的坐标为， ∴，解得：， 此时点N的坐标为； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为或， 同理点N的坐标为或； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为， 同理点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 7．已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， (3)和 【分析】（1）将A、B两点坐标代入二次函数解析式中求解即可； （2）把点和代入解析式得、表达式，采用作差法计算并化简，结合已知的取值范围，以差式的正负分三种情况讨论即可明确与的大小关系； （3）先根据二次函数解析式求出顶点、与轴交点的坐标，结合点坐标求出直线的解析式，设出直线上动点的坐标；再利用轴对称的性质，由垂直、与关于对称，得出，结合平移的坐标变化规律、平行线的性质、中点坐标公式，推导出点的坐标；最后根据平行四边形对角线互相平分的核心性质，对四个点构成平行四边形的对角线组合进行分类，利用中点坐标公式建立方程求解，舍去无效解后得到符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，即， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵点和是二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， 结合，分三种情况讨论： ①当，即时，； ②当，即时，； ③当，即时，； （3）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为点， ∴，， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， ∵点是直线上的动点， ∴设， ∵、关于直线对称， ∴垂直平分， 又， ∴， ∴到的平移规律，与到的平移规律完全一致， 设到中点的横坐标变化为，则纵坐标变化为， ∴， 如图，中点在对称轴上，且， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ， ， ∴， 整理得， ∵点和点重合时无法构成平行四边形，故， ∴两边同时除以，得 ， ∴， 设，则 ，， 化简得，， ∴， 若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论： ①以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； ②以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴此情况不成立； ③以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为和． 8．如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积的最大值； (3)设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3)满足条件的点一共有3个，或或． 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）点和代入，求出a和b的值即可；、 （2）求出的解析式为，则，得出的表达式，再用铅锤法得出，，根据二次函数的性质，即可解答； （3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， ∴的解析式为， ∴ ∴， ∵点是线段上的动点 ∴， ， ∵，开口向下， ∴当时，面积取最大值， 此时． （3）解：∵， ∴， 设， ①当为对角线时： ，解得：， ∴； ②当为对角线时： ，解得：， ∴； ③当为对角线时： ，解得：， ∴ 综上：满足条件的点一共有3个，或或． 9．对函数问题来说，数形结合不仅是方法，更是思维习惯．已知二次函数 【积累巩固】 （1）若二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． ①求二次函数的表达式； ②设该二次函数的图象与轴交于点，（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【拓展创新】 （2）当，时，二次函数（为常数）． ①点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，的取值范围为________； ②点，，连接．若该二次函数的图象与直线没有公共点；则的取值范围为________． 【答案】（1）①，②是等腰三角形，理由见解析 （2）①，② 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键； （1）①利用待定系数法，设顶点式求函数解析式即可；②求出，，分别求出边长即可判断； （2）①画出图象结合图象可知临界点为、点；②画出图象结合图像可知临界点情况为直线与抛物线有一个交点的位置． 【详解】解：（1）①∵它的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得，， ∴二次函数的表达式为； ②是等腰三角形，理由： ∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴当时，，整理得， 解得，，， ∵在的左侧， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①当二次函数经过点时，，解得， 当二次函数经过点时，，解得， ∴时，二次函数图象与线段有2个公共点， 故答案为：； ②设直线的解析式为， ∴将点，代入得， ，解得， ∴， 当有一个根时，， 解得，， ∴时，二次函数的图象与直线没有公共点， 故答案为：． 10．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 11．当直线y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）与抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）有唯一公共点时，叫做直线与抛物线相切，直线叫做抛物线的切线，这个公共点叫做切点，其切点坐标（x，y）为相应方程组的解．如将直线y＝4x与抛物线y＝x2＋4，联合得方程组，从而得到方程x2＋4＝4x，解得x1＝x2＝2，故相应方程组的解为，所以，直线y＝4x与抛物线y＝x2＋4相切，其切点坐标为（2，8）． (1)直线m：y＝2x﹣1与抛物线y＝x2相切吗？如相切，请求出切点坐标； (2)在（1）的条件下，过点A（1，﹣3）的直线n与抛物线y＝x2也相切，求直线n的函数表达式，并求出直线m与直线n的交点坐标； (3)如图，已知直线y＝kx＋3（k为常数且k≠0）与抛物线y＝x2交于C、D，过点C、D分别作抛物线的切线，这两条切线交于点P，过点P作x轴的垂线交CD于点Q，试说明点Q是CD的中点． 【答案】(1)直线m：y＝2x﹣1与抛物线y＝x2相切，切点是（1，1） (2)答案不唯一，具体解答见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由得，即知直线与抛物线相切，切点是； （2）设直线的解析式为，用待定系数法得直线的解析式为，由得，根据直线与抛物线相切，可得△，即，解得或，当时，可得直线的解析式为，直线与直线的交点坐标是；当时，直线的解析式为，此时直线与直线的交点坐标是； （3）过作于，过作于，设，，直线解析式为，可得①，根据与抛物线相切，可得△②，将①代入②得：，可得，从而直线解析式为，同理可得直线解析式为，即得的横坐标为，设直线解析式为，用待定系数法可得直线解析式为，令得，即得，，故，，即知，得，点是的中点． 【详解】（1）解：直线与抛物线相切，理由如下： 由得， 直线与抛物线相切，切点是； （2）解：设直线的解析式为，将代入得： ， ， 直线的解析式为， 由得， 直线与抛物线相切， 有两个相等实数解， △，即， 解得或， 当时，直线的解析式为， 解得， 此时直线与直线的交点坐标是； 当时，直线的解析式为， 解得， 此时直线与直线的交点坐标是； 答：直线的函数表达式为，直线与直线的交点坐标是或直线的解析式为，直线与直线的交点坐标是； （3）解：过作于，过作于，如图： 设，，直线解析式为， 将代入得：， ①， 与抛物线相切， 有两个相同的解，即有两个相等实数解， △②， 将①代入②得：， ， 直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 由得， 的横坐标为， 设直线解析式为，将，，代入得： ，解得， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ，，，， ，， ， ， ， 点是的中点． 12．如图，函数的图象过点和点，过点作轴，（在的下方），过点作轴，与函数的图象交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)阅读材料：在直角坐标系中，点的位置由其在轴和轴上的坐标确定．当需要确定两点之间线段的中点时，可以使用“中点公式”快速计算．“中点公式”：对于平面直角坐标系中的任意两点和，它们的中点的坐标为，连接、取中点，以线段为较长直角边且为直角顶点作，使得与相似，求点的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点的坐标，即可求出三角形的面积； （2）根据反比例函数的解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点的坐标，进而求解； （3）先求出点的坐标，过点作交轴于点N，交轴于点，根据勾股定理求出，得到点，点，再根据相似三角形的性质求出，可得点在上，且点为或的中点，利用中点坐标解题即可． 【详解】（1）解：函数的图象经过点， ， ， 轴，， 点， 当时，， ， 点， ， ； （2）解：如图， ，， ， 于点，点， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 当时，， ， ， 设直线的解析式为，把和代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ； （3）解：过点Q作交x轴于点N，交轴于点， 是的中点， 点Q坐标为，且， ， ， 点，点， 线段为较长直角边作，使与相似， ， ， 点在上，且点为或的中点， 点的坐标为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 代数与几何综合（坐标法） 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 利用距离公式、中点公式、斜率关系解决几何问题 题型02 坐标系中构造特殊图形并求点坐标 题型03 函数图象与几何图形的交点分析 模块三、综合实战演练 一、平面直角坐标系中距离公式、中点公式、斜率关系及其应用技巧： 一、三大核心公式（基础必记，无特殊说明均为，） 1. 两点间距离公式 推论：点到原点的距离： 2. 中点坐标公式 线段的中点坐标： 3. 斜率公式及位置关系 斜率； 平行：（均存在）； 垂直：（均存在）； 特殊情况：竖直线（为定值）斜率不存在，水平线（为定值）斜率为0，竖直线⊥水平线。 二、公式核心应用技巧（按题型适配，简洁实用） （一）基础应用：直接判定几何关系 1. 判线段相等：无需构造全等，直接计算两段距离，相等则长度一致（如证菱形邻边相等、等腰三角形两腰相等）； 1. 判中点/平分：若点是中点，必满足中点公式，反之亦然（如证平行四边形对角线互相平分）； 1. 判平行/垂直：优先算斜率，斜率关系直接定位置（坐标系中证矩形、正方形的垂直，证平行四边形的对边平行）。 技巧：判距离相等时，可平方消根号简化计算（只需证相等）。 （二）进阶应用：设参求解未知点坐标 1. 单参设点：未知点在函数图象/坐标轴上时，用一个参数表示（如轴上点设，直线上点设），代入公式列方程，避免多未知数； 1. 多定点定动点：已知2个及以上定点，结合几何条件（如中点、垂直、等距），将条件转化为公式等式，联立求解动点坐标； 1. 对称点求解：利用中点公式+垂直斜率（核心技巧），如求关于直线的对称点，则中点在上，且。 （三）综合应用：构造特殊图形/解决几何综合题 1. 构造平行四边形：优先用中点公式（最简便），若为平行四边形，则对角线中点重合（中点=中点），分类讨论定线段为对角线的情况，列公式求解； 1. 构造菱形/矩形/正方形：先按平行四边形用中点公式，再补充条件： · 菱形：加距离公式（邻边相等）； · 矩形：加斜率公式（邻边垂直）或距离公式（对角线相等）； · 正方形：加邻边相等+垂直（距离+斜率公式结合）； 1. 求最短距离/交点：结合函数图象，用距离公式表示动点到定点的距离，转化为函数最值；求函数与几何图形交点，先联立解析式，再用公式验证交点是否符合几何边界。 题型01 利用距离公式、中点公式、斜率关系解决几何问题 1．在数学中，我们可以利用距离公式来计算两点间的距离．对于平面上的两点和，、两点间的距离公式可以表示为：． (1)利用距离公式计算和两点之间的距离． (2)如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点．（，，为常数）． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②点为轴上一动点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求点的坐标； ③在②的条件下，当时，连接并延长交双曲线于点，若为轴上一动点，是否存在与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 3．阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线．通常也称为直线，其中称为直线的斜率，它表示直线关于坐标轴的倾斜程度．特别地，当时，直线．所以，直线可由直线经过平移得到．那么，已知直线上的两点和，如何求出的值呢？ 将、两点的坐标分别代入，得到．把上面两式相减，消去，得到，当时，求得． 因此，当时，直线的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当时，直线与轴平行或垂直于轴，此时直线的斜率不存在． 【理解运用】 （1）已知点、，则直线的斜率，其解析式为____； （2）已知点、，其中为常数．若直线与直线平行，求的值； 【拓展迁移】 （3）若直线：上有两点、，直线：上有一点，则，； （4）求证：平面上三点、、不共线． 4．笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的． 某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，满足，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线上任意两点的坐标，都有的值为k，其中k叫直线的斜率．如，为直线上两点，则，即直线的斜率为1． (1)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图1，直线于点．请求出直线与直线的斜率之积． (2)如图2，已知正方形的顶点S的坐标为，点K，R在第二象限，为正方形的对角线．过顶点R作于点R．求直线的解析式． 5．预备知识：（1）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，设点M为线段的中点，则点M的坐标为． （1）①设，点M为线段的中点，则点M的坐标为 ； ②设线段的中点为点N，其坐标为，若端点C的坐标为，则端点D的坐标为 ； （2）如图1，四边形中，，点E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．求证：；（S表示面积） 问题探究：如图2，在已知锐角内有一定点P，过点P任意作一条直，分别交射线于点M、N将直线绕着点P旋转的过程中发现，的面积存在最小值，请问当直线在什么位置时，的面积最小，并说明理由； 结论应用：如图3，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在第一象限，且，若点P的坐标为，过点P的直线l分别交于点M、N，求三角形面积的最小值． 核心：将几何关系（相等、垂直、平分、平行）直接转化为三大公式的代数运算，无需纯几何推导。 1. 精准套公式：距离公式判线段相等/求长度，中点公式判线段平分/找中点，斜率关系（平行，垂直）判位置关系； 2. 设参代算：未知点设坐标（单参为主），按几何条件列公式等式，求解参数得坐标/关系； 3. 关键：斜率不存在（竖直线）单独讨论，距离计算可平方消根号简化运算。 题型02 坐标系中构造特殊图形并求点坐标 1．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴交直线BC于点． (1)求点的坐标： (2)如图2，若是直线下方抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点．在新抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点M、N、D为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来；若不存在，请说明理由． 3．已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表． (1)直接写出该二次函数的对称轴； (2)若，当时，，求a的取值范围； (3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积； (3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标． 核心：以特殊图形判定条件为依据，结合坐标公式列方程，分类讨论补全图形顶点坐标。 1. 定图形判定：明确平行四边形/菱形/矩形/正方形等的核心判定（如平行四边形中点重合、菱形邻边相等）； 2. 分类设点：区分定点/动点，动点按函数/坐标轴特征设参（如x轴上点设）； 3. 列解验证：按判定条件套中点/距离/斜率公式列方程，求解后验证四点不共线、图形不退化，整理有效坐标。 题型03 函数图象与几何图形的交点分析 1．如图-1抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过A，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图-2，若点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作轴，轴分别交直线于点E，F，求线段的最大值； (3)如图-3，将二次函数的x轴上方的图象沿x轴向下翻折形成M形图象，将直线向下平移m个单位长度得到直线l，若l与M形图象有两个交点，求m的取值范围． 2．数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一： 新定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这条直线叫做抛物线的切线，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二： 判断：抛物线与直线的位置关系联立，得．根据一元二次方程根的判别式． ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3）． 【知识技能】 （1）若直线与抛物线相交，则b的取值范围是 ； 【数学理解】 （2）已知抛物线和直线相离，请问抛物线向下平移多少个单位后与直线相切； 【问题解决】 某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为A，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为C，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点O，喷泉柱所在直线为y轴，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为，已知喷水口离喷水柱底端的高度为，水流在距的水平距离为1米时，达到最大高度，此时离地面米． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为，并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 3．在平面直角坐标系中，抛物线的图象记为，抛物线（为常数）的图象记为，将关于轴翻折得到的新抛物线记为．直线与、分别相交，取在直线左侧图象（不包括交点）和在直线右侧图象（包括交点）联合记为． (1)将题目中的函数表示为分段函数形式； (2)如图1，在（1）的条件下，直线交轴于．点为的对称轴与直线的交点．将直线向下平移4个单位长度，并交轴于．点在直线上运动，以为一条直角边，点为直角顶点作等腰，点为点关于点的对称点，连接，，．若，直线与是否有交点？若有，请求出交点横坐标；若没有，请说明理由； (3)如图2，以（1）中的为边向下构造正方形，当与该正方形有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 4．阅读与思考 巧用方程思想解决函数交点问题 我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解． 下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图像的交点情况的部分探究过程：联立得． 整理，得． ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程． ∴． 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点． 任务： (1)请参照阅读材料中的分析过程，分别写出和时的分析结果； (2)若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值； (3)实际上，除了上述两种函数图像的交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 5．已知抛物线：． (1)该抛物线必过点________和________； (2)如图，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，（点在点的左侧）． ①判断抛物线与抛物线是否有交点，并说明理由； ②连接，证明：四边形为平行四边形； (3)在（2）中，若平移抛物线能使四边形为菱形，请求出平移的方式和平移距离． 核心：联立函数解析式与几何图形的坐标关系式，通过方程解的情况判定交点，结合图象定交点范围。 1. 建坐标关系式：将几何图形（线段、圆、三角形）转化为代数式子（如线段的横/纵坐标范围、圆的标准方程）； 2. 联立求解：将函数解析式与几何关系式联立，转化为一元一次/二次方程，通过解的个数（） 判交点数； 3. 数形结合：画出函数与几何图形草图，结合方程解的范围、几何图形的边界条件，筛选有效交点（排除图形外的解）； 4. 关键：二次函数与几何图形相交时，必结合和自变量取值范围双重判定，避免漏解/增解。 1．如果一条直线与一条抛物线只有一个交点，且直线与这条抛物线的对称轴不平行，我们就称直线与抛物线相切．在平面直角坐标系中，直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为，求证：无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切． 2．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题． 已知：二次函数的函数图像上分别有，两点，其中，，分别在对称轴的异侧，是中点，是中点．利用阅读材料解决如下问题： 概念理解： (1)如图1，若，求出，的坐标． 解决问题： (2)如图2，点是关于轴的对称点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．试判断是否在轴上，并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点．延长至，使得． ①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． ②在①条件下，轴上一点，抛物线上任意一点，连接，，直接写出的最小值． 3．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离， 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ， 平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为___________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (3)在平面直角坐标系中有一点． ①可以表示到点和点___________的距离和； ②请结合平面直角坐标系，应用两点间的距离公式求代数式的最小值． 4．阅读下列材料，回答问题 在一次函数中，x的系数k与其图象的倾斜方向与倾斜程度有关，我们把k叫做直线的斜率，关于斜率，有以下结论： ①若，则直线的斜率； ②若直线：，直线：， 则当，时，；当时，直线； 我们可以直接利用斜率来解决许多关于直线位置关系的问题： 若直线l经过点 (1)如图1，直线l的斜率 ； (2)如图2，过点作轴于C，若点D是y轴正半轴上的点且． ①连接，试探究直线与直线有何位置关系； ②求的面积； (3)在y轴上是否存在一点M，使是以为直角边的直角三角形，若有，请直接写出所有符合要求的点M的坐标，若无，请说明理由． 5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号） ①；②． (2)已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； (3)若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． (1)求的面积； (2)如图2所示，点P是直线下方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点Q，过点P作直线交于点G，请求出的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面内任意一点，请直接写出所有使得以P、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标． 7．已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 8．如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积的最大值； (3)设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标． 9．对函数问题来说，数形结合不仅是方法，更是思维习惯．已知二次函数 【积累巩固】 （1）若二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． ①求二次函数的表达式； ②设该二次函数的图象与轴交于点，（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【拓展创新】 （2）当，时，二次函数（为常数）． ①点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，的取值范围为________； ②点，，连接．若该二次函数的图象与直线没有公共点；则的取值范围为________． 10．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．当直线y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）与抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）有唯一公共点时，叫做直线与抛物线相切，直线叫做抛物线的切线，这个公共点叫做切点，其切点坐标（x，y）为相应方程组的解．如将直线y＝4x与抛物线y＝x2＋4，联合得方程组，从而得到方程x2＋4＝4x，解得x1＝x2＝2，故相应方程组的解为，所以，直线y＝4x与抛物线y＝x2＋4相切，其切点坐标为（2，8）． (1)直线m：y＝2x﹣1与抛物线y＝x2相切吗？如相切，请求出切点坐标； (2)在（1）的条件下，过点A（1，﹣3）的直线n与抛物线y＝x2也相切，求直线n的函数表达式，并求出直线m与直线n的交点坐标； (3)如图，已知直线y＝kx＋3（k为常数且k≠0）与抛物线y＝x2交于C、D，过点C、D分别作抛物线的切线，这两条切线交于点P，过点P作x轴的垂线交CD于点Q，试说明点Q是CD的中点． 12．如图，函数的图象过点和点，过点作轴，（在的下方），过点作轴，与函数的图象交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)阅读材料：在直角坐标系中，点的位置由其在轴和轴上的坐标确定．当需要确定两点之间线段的中点时，可以使用“中点公式”快速计算．“中点公式”：对于平面直角坐标系中的任意两点和，它们的中点的坐标为，连接、取中点，以线段为较长直角边且为直角顶点作，使得与相似，求点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $