题号猜题05 中考数学9，15题 函数（选填题）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜题05 中考数学9，15题 函数（选填题） 考点1 函数图象分析 1．（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 2．（2026·湖北武汉·一模）小梅从家出发到体育馆锻炼，然后返回，她离家的距离（单位：）与离家的时间（单位：）之间的关系如图所示．如果小梅在体育馆锻炼，那么她离家 时，离家的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江衢州·一模）A，B两地相距2100米，小李和小赵均从A地出发去往B地．小李步行先出发，6分钟后小赵骑共享单车出发．小李和小赵之间的距离s（米）与小李出发的时间t（分）之间的函数关系如图所示．当小赵到达B地时，小李距离B地（   ） A．780米 B．800米 C．1200米 D．1260米 4．（2026·甘肃平凉·一模）如图①，在矩形中，点N为的中点，点M以的速度沿从点A运动到点B，设A、M两点间的距离为，点M运动时y随x变化的关系图像如图②所示，则点M从点A运动到点B所需的时间为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南濮阳·一模）酸和碱作用生成盐和水的反应叫作中和反应．向装有一定量的稀氢氧化钠溶液的试管中滴加稀盐酸，下面是同学们运用手持技术数字化实验测出的溶液的和温度．如图是溶液和温度分别与滴加稀盐酸的体积的关系图象．下列结论中错误的是（   ） A．未滴加稀盐酸时，试管中的稀氢氧化钠溶液的是，温度是 B．当滴加稀盐酸的体积V是时，溶液的是 C．溶液的随着滴加的稀盐酸的体积V增大而减小 D．当溶液的温度是时，此时溶液一定呈酸性 考点2 一次函数的系数与图象判断 6．（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏无锡·一模）已知一次函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D．4 8．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 9．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 考点3 二次函数的系数与图象综合 11．（2026·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 12．（2026·宁夏银川·一模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；（其中）．其中说法正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．（2026·河南开封·一模）已知二次函数的图象经过和，图象上有三个点，，，且．当时，随增大而减小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 15．（2026·湖南永州·一模）如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 考点4 反比例函数与一次函数的综合判断 16．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 17．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，，则k的值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 18．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图像是（   ） A．B．C． D． 19．（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·山东聊城·一模）如图，直线，与双曲线分别相交于，下列说法正确的个数是（    ） ①点的坐标为；②； ③当或时；④四边形的面积为4． A．1 B．2 C．3 D．4 考点5 反比例函数中系数k的几何意义 21．（2026·陕西汉中·一模）如图，反比例函数的图象经过的顶点C，在轴负半轴上，点B的坐标为．若的面积为40，则反比例函数的表达式为_____________． 22．（2026·陕西渭南·一模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点B、C在x轴上，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A．若的面积为6，则k的值为______． 23．（2026·广东佛山·一模）如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 24．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，顶点在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为______． 25．（2026·辽宁锦州·一模）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴，交轴于点，交反比例函数的图象于点．点是轴上任意一点，连接，．若的面积为，则的值是_______． 考点6 二次函数的最值与系数关系 26．（2026·湖北武汉·一模）抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是_______（填写序号）． 27．（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和，当，时，都有成立，则a的取值范围是_________． 28．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 29．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 30．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 考点7 实际问题中的函数关系 31．（2026·河南·一模）在物理学中，物体做自由落体运动时，下落的高度（单位：）与下落的时间（单位：）的关系可以用公式表示，其中重力加速度取．小明把一个物体从一标杆顶端做自由落体运动，并测得该物体在最后内下落的高度为，则这个标杆高为（        ） A． B． C． D． 32．（2026·甘肃平凉·一模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（    ） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 33．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 34．（2026·辽宁沈阳·一模）新能源汽车在公路上行驶时，电池剩余电量y（单位：）是行驶里程x（单位：）的函数．小明记录了一次出行时汽车的行驶里程与剩余电量，数据如下表： 行驶里程x（） 0 50 100 150 剩余电量y（单位：） 60 54 48 42 该函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 35．（2026·山西阳泉·一模）在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（   ） 电流I（安） 0.4 1.0 1.6 2.0 2.5 时间t（秒） 25 10 6.25 5 4 A． B． C． D． 1．（2026·陕西·一模）已知二次函数（a为常数，且），当分别取时，所对应的函数值相等，则当时，的值为（　　　） A． B．0 C．2 D．4 2．（2026·山东济宁·一模）如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（   ） A．自变量x的取值范围为 B．当时，y关于x的函数解析式为 C．当时，y有最大值为 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 3．（2026·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点C，且与边相交于点D．已知，则的面积为（    ）． A．3 B． C． D．2 4．（2026·山东济宁·一模）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而减小 6．（2026·黑龙江·一模）如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 7．（2026·湖南长沙·一模）若反比例函数的图象经过点，则该函数图象还经过点（   ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于时，电流I可能是_________A． 9．（2026·广东·一模）如图，在矩形中，，．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿顺时针方向运动到点C停止．当点P不与矩形的顶点重合时，过点P作直线，与矩形的边的另一交点为Q．设点P的运动时间为t（秒）． （1）连接，当时，的面积为________； （2）当点P在上运动时，设的长为y，则y与t之间的函数关系式为________． 10．（2026·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为__________． 11．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 12．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 13．（2026·山东济宁·一模）如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 14．（2026·宁夏·一模）在抛物线上有，两点，若抛物线与轴的交点在负半轴上，则，的大小关系为______． 15．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 16．（2026·辽宁沈阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 17．（2026·广东广州·一模）已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 18．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜题05 中考数学9，15题 函数（选填题） 考点1 函数图象分析 1．（2026·河南商丘·一模）如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【答案】D 【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了，可判断B，设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为，利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D． 【详解】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了，故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为， 将和代入， 得，解得 故加热一壶水时，与的函数表达式为． 当时，， 解得．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后与的函数关系式为（为常数，且）， 将代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得， （分钟）， 若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，故D不正确，符合题意． 当时，，解得， 当时，，解得， 该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟， 故C正确，不符合题意． 2．（2026·湖北武汉·一模）小梅从家出发到体育馆锻炼，然后返回，她离家的距离（单位：）与离家的时间（单位：）之间的关系如图所示．如果小梅在体育馆锻炼，那么她离家 时，离家的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和函数图象求出小梅从体育馆返回家的速度，进而即可求解． 【详解】解：由题意和函数图象可知，小梅家到体育馆的距离为，小梅从体育馆返回家的时间为 ， ∴小梅从体育馆返回家的速度为 ， ∴小梅离家 时离家的距离为 ． 3．（2026·浙江衢州·一模）A，B两地相距2100米，小李和小赵均从A地出发去往B地．小李步行先出发，6分钟后小赵骑共享单车出发．小李和小赵之间的距离s（米）与小李出发的时间t（分）之间的函数关系如图所示．当小赵到达B地时，小李距离B地（   ） A．780米 B．800米 C．1200米 D．1260米 【答案】A 【分析】根据图象的信息，分别求出小李和小赵的速度，再计算小赵到达B地所需时间，得出当小赵到达B地时小李步行的路程，即可得出答案． 【详解】解：小李的速度为（米/分）， 小赵的速度为（米/分）， 小赵到达B地所需时间为（分）， 当小赵到达B地时，小李步行的路程为（米）， ∴小李距离B地（米）． 4．（2026·甘肃平凉·一模）如图①，在矩形中，点N为的中点，点M以的速度沿从点A运动到点B，设A、M两点间的距离为，点M运动时y随x变化的关系图像如图②所示，则点M从点A运动到点B所需的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像的数据可得，，再代入消元解出，进而得到即可． 【详解】解：由图可知，当在点处时，， 即，则， 由图像可知：当点在点处时，， ，即， 把代入得， 整理得，解得或（舍去）， 点N为的中点， ， 则点M从点A运动到点B所需的时间为． 5．（2026·河南濮阳·一模）酸和碱作用生成盐和水的反应叫作中和反应．向装有一定量的稀氢氧化钠溶液的试管中滴加稀盐酸，下面是同学们运用手持技术数字化实验测出的溶液的和温度．如图是溶液和温度分别与滴加稀盐酸的体积的关系图象．下列结论中错误的是（   ） A．未滴加稀盐酸时，试管中的稀氢氧化钠溶液的是，温度是 B．当滴加稀盐酸的体积V是时，溶液的是 C．溶液的随着滴加的稀盐酸的体积V增大而减小 D．当溶液的温度是时，此时溶液一定呈酸性 【答案】D 【分析】根据所给函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A、由函数图象可知，未滴加稀盐酸时，试管中的稀氢氧化钠溶液的是，温度是，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，当滴加稀盐酸的体积V是时，溶液的是，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知，溶液的随着滴加的稀盐酸的体积V增大而减小，原说法正确，不符合题意； D、由函数图象可知，当溶液的温度是时，加入的稀盐酸的体积V小于或为，当加入的稀盐酸的体积V小于时，此时溶液的大于，即此时溶液呈碱性，原说法错误，符合题意． 考点2 一次函数的系数与图象判断 6．（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 7．（2026·江苏无锡·一模）已知一次函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴把代入函数解析式得， 解得． 8．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 9．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数中、的正负判断函数图象的趋势以及与轴交点大致位置即可． 【详解】解：本题中，系数决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与轴的交点位置， 当时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴正半轴，上述选项中均不满足该情况； 当时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴负半轴，上述图像中D选项满足该情况； 故满足条件的图象可能是D． 10．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，求出相关点的坐标，利用全等三角形得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为， ∵的坐标为， 设直线与轴，轴分别交于， 当时，；当时，， 解得； ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时，值最小，则的值也最小， ∴切线长的最小值为． 考点3 二次函数的系数与图象综合 11．（2026·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和系数的关系判断各项即可． 【详解】解：A、由图象得：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故A错误，不符合题意； B、∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故B错误，不符合题意； C、∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴， 故C错误，不符合题意； D、由上述分析，得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意． 12．（2026·宁夏银川·一模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；（其中）．其中说法正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向、与轴的交点位置、对称轴位置可判断；将点代入二次函数的解析式可判断；根据抛物线的对称性可知当时，，即可判断；根据，到对称轴的距离，结合开口方向可判断；根据二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断． 【详解】解：由图可知，二次函数图象开口向下，与轴的交点位于正半轴， ，， 对称轴为直线， ， ， ，故正确； 图象经过点， ， ， ， ， ，即，故正确； 根据对称性可知，抛物线与轴的另一交点坐标为， 当时，， ，故正确； ，，二次函数图象开口向下， 若，是抛物线上的两点，则，故错误； ， ， 对称轴为直线，图象开口向下， 函数的最大值为， 当时，，即， 当时，，故正确； 综上可知，正确的有，共个． 13．（2026·河南开封·一模）已知二次函数的图象经过和，图象上有三个点，，，且．当时，随增大而减小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为二次函数的图象经过和， 所以二次函数的对称轴． 所以． 所以．（选项C正确） 因为当时，随增大而减小， 所以二次函数的开口向下． 所以．（选项A错误） 所以当时，． 所以． 所以． 所以．（选项D错误） 当，． 当，．（选项B错误） 14．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，二次函数的对称轴为直线，则，，即可判断①②；二次函数与x轴有两个交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据抛物线开口向上，在抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可判断⑤． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， 故结论②错误； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 故结论③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴，即， 故结论④错误； ∵，，， ∴点，在二次函数的图象上，， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 15．（2026·湖南永州·一模）如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可． 【详解】解：由二次函数的图象经过，，三点，可得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为，故A正确； ∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故B错误； 由图象可知：当时，x的取值范围是或，故C错误； 由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故D错误． 考点4 反比例函数与一次函数的综合判断 16．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； ∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴D是的中点，故选项B正确，不合题意； ∵ ∴，故选项C正确，不合题意； 在中，，所以，在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意． 17．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，，则k的值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】过A作轴于E，证明，再利用求出b，得出 ，，，，从而求出点A的坐标，再代入求k即可． 【详解】解：过A作轴于E， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 令，则；令，解得， ∴，， ∴， 解得 ∵直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点． ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限， ∴， 将代入得： ∴． 18．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图像的大致位置． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图像分布在第一、三象限． 19．（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线可得，，则，，再由一次函数与反比例函数经过的象限即可判断． 【详解】解：由抛物线可得，， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限 故D选项符合题意． 20．（2026·山东聊城·一模）如图，直线，与双曲线分别相交于，下列说法正确的个数是（    ） ①点的坐标为；②； ③当或时；④四边形的面积为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别联立两条直线和双曲线求出，，，，即可判断①；然后利用勾股定理的逆定理判断②；求出，，证明出四边形是矩形，然后利用矩形面积公式求解即可判断④；由图象结合A，B的横坐标即可判断③． 【详解】解：联立直线和双曲线得， 解得或 ∴，，故①正确； 如图，连接， 联立直线和双曲线得， 解得或 ∴， ∴，， ∴ ∴是直角三角形，且，故②正确； ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积为，故④错误． 由图象可得，当或时，直线的图象在双曲线图象上方，即，故③正确； 综上所述，说法正确的个数是3． 考点5 反比例函数中系数k的几何意义 21．（2026·陕西汉中·一模）如图，反比例函数的图象经过的顶点C，在轴负半轴上，点B的坐标为．若的面积为40，则反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式． 根据平行四边形的性质可知且，由在轴上可知平行于轴，从而得出点C的纵坐标，利用平行四边形的面积公式求出边的长，进而得到的长，从而求出点C的坐标，最后利用待定系数法求出k的值即可． 【详解】解： 四边形是平行四边形， 、， 在轴负半轴上， 轴， 点B的坐标为， 点C的纵坐标为8， 设平行四边形边上的高为h，则， ，即， 解得， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 反比例函数的图象经过点C， ， 解得， 反比例函数的表达式为． 22．（2026·陕西渭南·一模）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点B、C在x轴上，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A．若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【分析】设，得到点坐标，根据的面积为6，列出方程进行求解即可； 【详解】解：设，则， ∴， ∵，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A， ∴， 由图象可知，， ∴的面积， ∴． 23．（2026·广东佛山·一模）如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 【答案】6 【分析】过A作于D，设，根据三角形的面积公式得到，求得，求得，列方程即可得到结论． 【详解】解：过A作于D， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴设，则有， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴． 24．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，顶点在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为______． 【答案】 【分析】连接交于点，根据菱形的对角线互相垂直平分，可得的面积是菱形面积的四分之一，再根据反比例函数系数的几何意义建立方程求解即可． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 25．（2026·辽宁锦州·一模）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴，交轴于点，交反比例函数的图象于点．点是轴上任意一点，连接，．若的面积为，则的值是_______． 【答案】4 【分析】设，，根据轴，得点的纵坐标为，，即可表示点C的坐标，再表示出，再根据的面积，可得方程，解方程即可． 【详解】解：∵是反比例函数的图象上一点，且在第二象限， ∴， 设，， ∵轴， ∴点的纵坐标为，， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵点是轴上任意一点，轴， ∴点到的距离为， ∴的面积， 解得，符合， 即的值是4． 考点6 二次函数的最值与系数关系 26．（2026·湖北武汉·一模）抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是_______（填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据与轴交点坐标及得出对称轴为直线，，，抛物线开口向下，即可判断，，可得出①②正确；利用平方差公式化简得出，可得③错误；根据对称轴得出有最大值，可判断④正确；把变形为，可得、是与的交点的横坐标，根据二次函数及一次函数的性质可得，得出⑤正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点， ∴对称轴为直线，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的开口向下，， ∵对称轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当时，有最大值， ∴对任意实数，不等式恒成立，故④正确； ∵， ∴， ∴、是与的交点的横坐标， ∵与轴交于和两点，经过一、三象限，抛物线开口向下， ∴，故⑤正确； 综上所述：正确的结论有①②④⑤． 27．（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和，当，时，都有成立，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】推导出抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得，需满足且，得到不等式组，求出，即可解答． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得， 当时，记函数值为，当时，记函数值为，当时，记函数值为， ∵点的纵坐标恒大于区间上任意点的纵坐标， ∴需满足且， ∵， ， ， ∴， 由①，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）； 由②，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴的解集为． ∵当时，，不在区间内，符合题意． 综上所述，a的取值范围是． 28．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得或 （舍去）； 综上：. 29．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用二次函数与x轴交点满足函数解析式，先求出b，c的值，再根据二次函数性质求出最小值m，最后计算即可； 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点横坐标为和， ∴函数图象过点和， 将两点坐标代入解析式得：， 整理得， 解得，， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵二次项系数，函数开口向上， ∴最小值， 则． 30．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 考点7 实际问题中的函数关系 31．（2026·河南·一模）在物理学中，物体做自由落体运动时，下落的高度（单位：）与下落的时间（单位：）的关系可以用公式表示，其中重力加速度取．小明把一个物体从一标杆顶端做自由落体运动，并测得该物体在最后内下落的高度为，则这个标杆高为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用自由落体高度公式，设总下落时间为，根据“最后1秒下落高度总高度秒内下落高度”列方程求解总时间，再代入公式计算标杆总高度． 【详解】解：将代入，得． 设物体下落总时间为， ∵最后内下落高度为，总高度减去前下落高度等于最后下落高度， ∴列方程： 展开化简左边： 解得， 将代入，得： 32．（2026·甘肃平凉·一模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（    ） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【答案】A 【分析】解题思路是根据总利润单件利润销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值． 【详解】解：设销售该文具每天获得的利润为元， 根据题意可得， ， ∵，二次函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值， 又∵，在的取值范围内， ∴当时，的最大值为元． 33．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 【答案】D 【分析】根据表格数据判断与为一次函数关系，求出函数表达式和停止加热时的通电时间，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数． 设， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴ 当时，，解得， ∵加热到，养生壶自动停止加热， ∴， ∴与的函数表达式为． 对各选项逐一判断： A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误； B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误； C选项：当时，，解得， ∵， ∴水温高于的时间为，故本选项错误； D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水， ∴通电时间为， 当时，， ∵ ∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确． 34．（2026·辽宁沈阳·一模）新能源汽车在公路上行驶时，电池剩余电量y（单位：）是行驶里程x（单位：）的函数．小明记录了一次出行时汽车的行驶里程与剩余电量，数据如下表： 行驶里程x（） 0 50 100 150 剩余电量y（单位：） 60 54 48 42 该函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表格数据可知，剩余电量y随行驶里程x均匀变化，y是x的一次函数，用待定系数法即可求出函数表达式． 【详解】解：∵由表格可得，x每增加，y减少，y随x均匀变化， ∴y是x的一次函数 设函数表达式为， 把代入得， 把代入表达式，得， 解得， ∴函数表达式为． 35．（2026·山西阳泉·一模）在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（   ） 电流I（安） 0.4 1.0 1.6 2.0 2.5 时间t（秒） 25 10 6.25 5 4 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算表格中I与t的乘积，可发现二者乘积为定值，由此可确定函数关系． 【详解】解：依次计算表格中每组数据的 ： ， ， ， ， ∴I与t的乘积，可发现二者乘积为定值即， 整理得． 1．（2026·陕西·一模）已知二次函数（a为常数，且），当分别取时，所对应的函数值相等，则当时，的值为（　　　） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，得到的值，再代入函数计算即可． 【详解】解：∵二次函数，，其中二次项系数为，一次项系数为， ∴二次函数的对称轴为， ∵分别取、（）时函数值相等， ∴，关于对称轴对称，可得， ∴， 把代入函数得： ． 2．（2026·山东济宁·一模）如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（   ） A．自变量x的取值范围为 B．当时，y关于x的函数解析式为 C．当时，y有最大值为 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据点D的运动轨迹，将运动过程分为两个阶段，分别求出y关于x的函数解析式，再结合函数性质判断选项即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵点D的运动路径为， 如图，当点D与点A重合时， ∴，即垂直平分， ∴， 当点D与点C重合时，则， ∴的取值范围，即自变量x的取值范围是，故A正确，不符合题意； 当时，点D在上， ∴， 在中，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图，当时，点D在上，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 此时y随x的增大而增大， 当时，， 此时y随x的增大而减小，故D错误，符合题意； 当时，，此时y随x的增大而增大， 当时，， 当时，，此时y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y有最大值为，故C正确，不符合题意． 3．（2026·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点C，且与边相交于点D．已知，则的面积为（    ）． A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】过点作于点，设出，的坐标，求出和的面积，利用平行线的性质得出，利用相似三角形的性质求出的面积，用的面积减去的面积，结论可得． 【详解】过点作于点，如图： 设，， ，在第二象限， ，，，． ，，，． ，在反比例函数的图象上， ． ，． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 4．（2026·山东济宁·一模）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数与一次函数的性质，分和两种情况讨论它们图象的位置，从而确定正确选项． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，B选项符合； 当时，反比例函数的图象位于二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，没有符合的选项， 综上，符合题意的选项为B． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据反比例函数的解析式和性质，逐一验证各选项即可得到正确结论 【详解】解：A选项将代入， 得， ∴图象不经过点，A选项错误； B选项 ∵ 反比例函数中 ∴图象位于第二、第四象限，B选项错误； C选项 当时， ∵ ∴ 又∵， 得 不等式两边同乘，不等号方向改变，得，即 ∴，C选项正确； D选项 ∵，当时，随的增大而增大，不是减小， ∴ D选项错误 6．（2026·黑龙江·一模）如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由点在反比例函数图象上设，由两点间距离公式求出，根据列式得出，从而得出． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴设， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∴ 整理得：， ∴， ∴． 7．（2026·湖南长沙·一模）若反比例函数的图象经过点，则该函数图象还经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 解得：， 则该反比例函数图象上的点满足， A选项：，不符合要求； B选项：，不符合要求； C选项：，不符合要求； D选项：，符合要求． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于时，电流I可能是_________A． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像判断即可． 【详解】解：由图像可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R大于时，电流I可能是A． 9．（2026·广东·一模）如图，在矩形中，，．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿顺时针方向运动到点C停止．当点P不与矩形的顶点重合时，过点P作直线，与矩形的边的另一交点为Q．设点P的运动时间为t（秒）． （1）连接，当时，的面积为________； （2）当点P在上运动时，设的长为y，则y与t之间的函数关系式为________． 【答案】 6 【分析】根据题意得到当时，点P在线段的中点处，结合矩形的性质和判定得到四边形是矩形，由面积公式即可得到的面积为6，当点P在上运动时，，，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿顺时针方向运动，运动时间为t（秒）， ∴当时，点P在线段的中点处，如图所示， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； 当点P在上运动时，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴． 10．（2026·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，求出点A的坐标，据此得出反比例函数的解析式，再结合平移后点D落在反比例函数的图象上求出m的值即可． 【详解】解：∵点D坐标为， ∴， ∵四边形是菱形且点B在y轴上， ∴且轴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 则反比例函数的解析式为， ∵平移后点D刚好落在反比例函数的图象上， 则将代入得， ， ∴． 11．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 【答案】5 【分析】根据坐标，求出，当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，易得；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点为x轴上的动点， 当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，则；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，则在中，； 与的差的最大值为． 12．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 13．（2026·山东济宁·一模）如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 【答案】1 【分析】在上取一点D，使得，连接，，证明，，从而得出，再过点P作交于点H，设，，利用勾股定理和解30度直角三角形求得的表达式，结合二次函数的最值问题即可得出的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，在上取一点D，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴，即是等边三角形， 过点P作交于点H， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为1， ∴的最小值也为1． 14．（2026·宁夏·一模）在抛物线上有，两点，若抛物线与轴的交点在负半轴上，则，的大小关系为______． 【答案】/ 【分析】由抛物线与轴的交点在负半轴上，得出，从而可得对称轴是直线，开口向下，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴交点在负半轴， ∴， ∴对称轴是直线，开口向下， ∴离对称轴越近函数值越大， ∵比离对称轴更近， ∴． 15．（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 【答案】 【分析】先推导出得到点A的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出，即可解答． 【详解】解：在中， ∴点A的纵坐标为2， 将代入，得 ， 解得， ∴点A的坐标是． 16．（2026·辽宁沈阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 【答案】②③ 【分析】由对称轴得，，当时，，可判断结论①；由时，，得，可判断结论②；由方程转换为，转换为判断函数与函数的交点个数，可判断结论③；由函数图象和性质，判断结论④． 【详解】解：∵其对称轴为：， 即，得， ∴当时，， 即，故结论①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故结论②正确； 方程转换为， 则方程解的个数即为函数与函数的交点个数， 由图判断函数与函数必有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数解，故结论③正确； 若， 即， 故当时，函数值大于时的函数值， 根据对称轴为， ∴的对称点为， 要求时，函数值大于时的函数值， 即，故结论④错误； 综上，正确的结论为②③． 17．（2026·广东广州·一模）已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】抛物线与x轴的两个交点纵坐标相等，可知两个交点关于抛物线对称轴对称，根据交点横坐标即可计算出对称轴． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线对称轴为直线 ． 18．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $