2026年中考数学三轮冲刺11：圆中证切线、求弧长、扇形面积等问题（全国通用）

**基本信息** 聚焦圆中切线证明与度量计算，构建“判定-性质-计算-综合”四层方法体系，以分层题型串联知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线判定与性质|2题型+5典例|“有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径”“见切线连半径得垂直”|从切线定义到性质应用，构建几何推理基础| |弧长与扇形面积|3题型+6典例|公式选择（nπr/180、lr/2）+单位统一+结果规范|从基础公式到割补转化，形成度量计算体系| |综合应用（含圆锥、阴影）|3题型+9典例|圆锥母线-弧长对应+阴影割补法+“先证后算”分步策略|从单一图形到动态综合，实现知识迁移应用|

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺11：圆中证切线、求弧长、扇形面积等问题 专项 》》》 中考全国考情分析 1、必考性与分值稳定 圆的综合问题是全国中考几何板块必考内容，98%以上地区以解答题形式考查（第20-23题居多)，分 值8-10分，属于中档核心题，失分率约40%。核心失分点集中在切线证明步骤缺失、公式记错用错、辅 助线不会作、阴影面积割补错误。 2、考点聚焦 围绕切线的判定与性质→弧长计算→扇形面积计算→圆锥侧面展开图转化→阴影部分面积求解→圆与三角 形/四边形综合六大核心环节。其中切线证明是几何大题核心(100%综合题必考)，弧长与扇形面积公 式是计算基础，圆周角定理、切线性质是解题关键依据。 3、最新命题趋势（2024-2026) 从“单一计算/证明”向证明+计算+面积求解综合转变，如切线证明结合弧长、扇形面积计算： 强化“图形直观”素养，新增动态圆问题（动点、动直线）；创新设问形式，多问分层设问（第一问证 切线，第二问求长度/面积，第三问拓展探究)占比上升。 4、地域差异 一线城市（北京、上海、广州）侧重动态综合型（圆与动点、相似三角形结合），三四线城市侧重基础证 明与计算，但均遵循“重逻辑、考规范、抓核心”原则。 》》》 核心题型及具体解决方法 题型一、切线判定问题 具体解决方法： 判断公共点：确定直线与圆是否有明确公共点，分两种模型处理： 有交点，连半径，证垂直：连接圆心与公共点，通过全等、平行、角的关系证明半径与直线垂直： 无交点，作垂直，证半径：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径； 1 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 规范书写：严格按“作辅助线→证垂直/等半径→下结论”步骤书写，缺一不可。 例题 (2026广西钦州二模)如图，是 的外接圆，在 中， ,延长 ⊙ORt△ABC Rt△ABC ∠ABC=90° CB至点D,使CB=BD.过点B作BE⊥AD,垂足为E. O (1)求证：BE为⊙O的切线： (2若AE=2,BE=2V2,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 (23 【详解】(1)解：连接OB, 是中点， 是 中点， .O AC B CD ∴.OB是△ACD的中位线， ∴.OB∥AD, .∠OBE=∠BED. BE⊥AD, .∠BED=90°， ∠0BE=90°， ∴.OB⊥BE OB是半径， ∴BE为⊙O的切线. (2)解：在Rt△ABE中，根据勾股定理，得：AB=√AE2+BE2=2√3， 由(1)得∠0BE=90°， ∴∠OBA+∠ABE=90°」 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :OA=OB, .∠OBA=∠OAB 在Rt△ABC中，∠OAB+∠C=90°， ∠C=∠ABE, AB AE .sin∠C=sin∠ABE' 即ACAB 2V52 ·AC2W3 AC=6, ∴.⊙0的半径为3. 题型二、切线性质应用问题 具体解决方法： 见切线，连半径，得垂直：遇到切线立即连接切点与圆心，构造直角三角形： 用定理：结合切线长定理、圆周角定理、直角三角形性质（勾股定理、三角函数）推导边角关系； 转化条件：将切线的垂直条件转化为角度相等、线段相等，为证明或计算提供依据。 例题 (2026四川成都二模)如图，为的直径，为上一点，连接，.过点A作 AB⊙O C⊙0 AC BC ⊙O的切线，交BC的延长线于点D.在BC上取一点E,使得CE=AC,连接AE,交BC于点F A E (1)试判断△ADF的形状，并说明理由； (2)连接CE,若CF.CB=108,AD+EF=12W2,求CE的长及OO的半径. 【答案】(1)△ADF为等腰三角形 2)CE=65,半径长为9 【详解】(1)，AB是⊙0的直径， ∴.AC⊥BC, .∠ACB=∠ADC=90° .∠ADC+∠DAC=90°， 3 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ T倍 ,AD是⊙O的切线， .AD⊥AB, .∠DAB=90° .∠D+∠ABD=90° .∠ABD=∠DAC .CE=AC ∴.∠ABC=∠CAE ∴.∠CAE=∠DAC 又，AC⊥BC .∠ACD=∠ACF=90°， .AC=AC ·.△ADC≌aAFC(ASA), .AD=AF, .△ADF为等腰三角形： (2)如图，连接CE,OE,OC交AE于H, A B .CE=A0 .∠ABC=∠CAE,AC=CE .∠ACF=∠BCA=90° ∴.△ACF∽△BCA 器股 .AC2=CF.CB .CF.CB=108 ∴.AC=V108=65 :.CE=AC=65 设AD=AF=x, AD+EF=12/2 4 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ EF=122-x, .AE=AF+EF=x+(12√2-x)=12√2 :CE=AC,OC为半径， 六∠A0C=∠C0E:0C1AE,4=E=4=62, ∴在RtAHC中，CH=VAC2-Am=V65-(62=6, .OA=OC=r. ..OH=OC-CH=r-6 ∴.在RtAAHO中，AO=AH2+OH .r2=(62+(-6 解得r=9 题型三、弧长计算类 具体解决方法： 找条件：确定圆的半径r、圆心角度数n: nm 套公式：直接套用弧长计算公式=180： 单位统一：确保半径、角度单位统一，角度用度数制： 结果规范：结果保留π，无需近似计算（中考要求）。 例题 (2026湖北随州一模)如图，己知 中， ,O是底边边的中点，腰与 △ABC AB=AC BC AB⊙O 相切于点D,⊙O分别交底边BC于F、G两点 D B (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)若BD=25,BF=2,求优弧FGD的长. 【答案】(1)见解析 5 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 10 (2)3T 【详解】(1)解：过O作OE⊥AC于点E,连接OA,OD, :O是BC的中点，AB=AC, ∴.AO平分∠BAC, :AB是⊙O的切线， .OD⊥AB, :OE⊥AC, ∴OD=OE, ∴.OE是⊙0的半径， AC是⊙O的切线： (2)设⊙0的半径为r,则OD=r,OB=r+2, 在RtABOD中，OD2+BD2=OB2, r2+(25=(+2, 解得r=2,即OD=2, 在RtBOD中， an∠BOD=BD-5. OD .∠BOD=60°. :优弧FGD的长=660-6021 180 题型四、扇形面积计算类已知圆心角与半径求面积 具体解决方法： 确定参数：明确扇形半径r、圆心角度数； na2 选公式：优先使用S=360计算： 化简结果：约分后保留最简形式，含π不近似。 6 ■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 例题 (2026山东青岛一模)如图， 中， ,以为半径 Rt△ABC ∠ACB=90°AC=V6BC=V2AB 画弧，交BC延长线于点D,则阴影部分的面积为() 4 A3π-V5 B.π-2W5 C.π-5 D. 3πV5 【答案】A 【详解】解：：Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=V6,BC=√2， :tanB=4C=6-5, .∠B=60°， .∠BAC=30°， .AB=2BC=22, ∴.阴影部分的面积 60m×25x2x6=号-5 360 2 3 题型五、扇形面积计算类-已知弧长与半径求面积 具体解决方法： 记公式：直接使用S=21r(1为弧长，r为半径)： 代入计算：先确定弧长与半径数值，再代入公式求解； 规避错误：区分扇形面积两个公式的适用条件，不混淆使用。 例题 (2026青海西宁·一模)一个扇形弧长是，圆心角是，则扇形的面积是 2π 90° 【答案】4π 【详解】解：设扇形的半径为，根据题意得：2π=90：R 180, 解得：R=4. 7 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 90π×42 扇形的面积是 =4π. 360 题型六、圆锥与扇形转化类 具体解决方法： 找对应关系：明确圆锥母线长=扇形半径，圆锥底面周长=扇形弧长； 算参数：通过弧长公式求圆锥底面半径，或通过母线与半径求圆心角： 求面积：套用圆锥侧面积S01、全面积S全=1+刀公式计算： 检验对应：确保母线、底面半径、圆心角的对应关系不混淆。 例题 (2026山东聊城二模)如图，中， ，半径，若将扇形 围成 ⊙0 AB=AC,∠ACB=75 r=1 BOC 一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为() B 1 1 A.2 B.6 c.4 D.3 【答案】B 【详解】解：连接AB, A B .AB=AC ..AB=AC ∴.∠ACB=75°=∠ABC ∴.∠A=180°-∠ABC-∠ACB=30° .∠BOC=2∠A=609 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 设圆锥的底面圆的半径为x,则2x-60x1 180 1 解得x= 6 题型七、阴影部分面积求解类 具体解决方法： 割补法：将不规则阴影面积转化为规则图形（扇形、三角形、矩形）的面积和差： 拆分图形：把阴影部分拆分为扇形、三角形等基本图形，分别计算再合并： 整体减空白：用整体图形面积减去空白部分规则图形面积： 辅助线构造：通过作辅助线将不规则图形转化为可计算的规则图形。 例题 (2026山东聊城二模)如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点MN,与轴相切于点 ⊙Px y 2,点p的坐标为4,2V3)】 MO (1)求点N的坐标： (2)求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)N(6,0) 2)2V5 【详解】(1)解：如图，连接P,PN,过点P作PA⊥MW于点A, 0 W Mo龙 :⊙P与x轴交于点MN,与y轴相切于点O, .PQ1y轴， 9 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :点P的坐标为(4,2)，PA1MN, :.PN=PO=4,PA=23,0A=4, AW=VPW2-PA=42-(25=2, .ON=OA+AN=4+2=6, N(6,0): (2)解：如图，连接P吧，PN,PM,过点P作PA⊥MN于点A, V木 Mo衣 根据解析1)可得：P=PN=PM=A0=4,PA=2V5,，AW=2, PA⊥MN,PQ1y轴， .∠PAM=∠PAN=∠PQ0=90°， ,∠A00=90°， 四边形AOQP为矩形， 、.∠AP0=90°， PA⊥MN, ∴.AM=AN=2, .MN=2+2=4, sin∠APM=AM_21 PM42· ∴∠APM=30, .∠MPQ=90°-30°=60°」 :PM=PN,PA⊥MN, .∠APN=∠APM=30°， ∴∠MPN=60°， :.∠MPN=∠MPQ. 、S前形pM=S扇形Pwe, 10 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ S影=(SE形PHOe-S角形Pwe-S.PAM)+(S扇形pN-SPN） =SE形PHOg-S箭形PMQ-SPAM+S形PwN-SaPM =S矩形PAOO-SAPM-SPMIN =4x26-2x25-4x25 =2W5 题型八、圆的综合（切线+计算）类 具体解决方法： 先证后算：先完成切线证明，再利用切线性质进行边长、角度、面积计算； 构直角三角形：连接半径、直径，利用直径所对圆周角为直角、切线垂直半径构造直角： 用定理推导：结合圆周角定理、切线长定理、勾股定理、三角函数求线段长度： 分步计算：按“求角度→求半径/线段→套公式算弧长/面积”分步完成，不跳步。 例题 (2026广东深圳二模)如图，在 中， ,O是边上一点，以O为圆 Rt△ABC∠ACB=90° BC 心，OB为半径的圆与AB相交于点D,点E在AC上，连接DE,且DE=AE. (1)实践与操作：用直尺和圆规作出边AC上满足条件的点E,并连接DE.(保留作图痕迹，不写作法) (2)推理与计算： ①求证：DE是⊙O的切线： ②若∠B=30°，AE=2,AB=6,求劣弧BD的长度. 【答案】(1)见解析： 2)@见解析：②，力 【详解】(1)解：如下图点E即为所求： 11 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ M 方法① 方法② 方法② (2)解：①连接OD, D AE DE, .∠A=∠EDA. .OB=OD, ∴.∠B=∠BDO .∠ACB=90°， .∠A+∠B=90°， ,∠ADE+∠BDO=90° 、.∠ODE=180°-（∠ADE+LBDO)=90° .OD是O0的半径， .DE是⊙O的切线： ②过点O作AB的垂线，交AB于点H, E ∠B=30°， .∠BD0=∠B=30° .∠A=∠ADE=60°， :.∠AED=180°-∠A-∠ADE=60°， ∴.△ADE是等边三角形， 12 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ∴AD=AE=DE=2. ,AB=6 .BD=4」 ∠OBD=∠BDO=30°， .∠BOD=180°-∠OBD-∠BD0=-120°， OH⊥AB, .∠OHD=90° C.DH=BH=BD=2 ..OD= DH 43 c0s30°-3， :BD=120π×OD_8 9 -π」 180 》》》 经典模拟题 1.(2026四川成都二模)如图，己知⊙0的半径为2，在⊙0上顺次取A,B,C,D四点，连接AB, BC,CD,AD.若∠ABC=100°，则AC的长为() ·0 A. 8π 10π C.Igs 20π B.9 D. 9 【答案】C 【详解】连接AO、CO, D 13 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ,四边形ABCD为圆的内接四边形， .∠ABC+∠ADC=180°， .∠ABC=100°， .∠ADC=80°，， .∠A0C=160°， 160°π×216π AC 180° 9 2.(2026海南省直辖县级单位一模)如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙0的弦，BC与⊙O相切于点B ,连接OB,若∠ABC=65°，则∠BOD的大小为() B A.50° B.55° C.650 D.70° 【答案】A 【详解】解：，BC与⊙O相切于点B,OB⊥BC, .∠OBC=90°， ,∠ABC=65° ·.∠0BA=∠OBC-∠ABC=90°-65°=25 .OA=OB. ∴.∠A=∠OBA=25° .∠B0D=∠A+∠OBA=25°+25°=50° 3.(2026安徽淮南：一模)如图，⊙0是RtAABC(∠C=90)的内切圆，线段DE与⊙0相切，与AB、 AC分别交于点D、点E,且DE⊥AB,若BC=2DE,则an∠A的值为() 18 D B. c号 0.4 3 2 14 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 【答案】D 【详解】解：如图，设⊙O与AB,AC,BC,DE分别相切于点G,H,D,F 1B G D D EH C .OG⊥AB,OF⊥DE,OH⊥AC,OD⊥BC,DE L AB,OG=OF=OH=OD “四边形DFOG,OHCD是正方形 设⊙O的半径是r,EF=EH=x,AD=y, ...OG=DG=DF=OF=OH=OD=r,DE=x+r :AH=AG=AD+DG=r+y, .AC=AH+HC=r+y+r=2r+y ,DE⊥AB, .∠ADE=∠C=90° 又∠A=∠A ∴.△ADEAACB 0瓷即衣月 ..AC=2y .2y=2r+y .y=2r ∴.AH=r+y=3r ∴.AE=AH-EH=3r-x 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2=AD+DE2, .(3r-x2=(2r)+(x+r) 1 解得：X=2· 1 3 .DE=x+r= -r+r=-r 2 2 3 .tan∠A= DE_2_3 AD 2r 4 15 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 4.(2026宁夏吴忠·二模)如图，某同学将一块含30°的直角三角板沿直线m旋转一周，则所得几何体的 侧面积是() m 6 A 3 0 A.12πcm B.12V3πcm2 C.24πcm2 D.24/3ncm2 【答案】C 【详解】解：由图可得：OA=6cm,∠0AB=30°，∠A0B=90°，该直角三角板沿直线m所在直线旋转一 周，所得几何体为圆锥， ÷1B=01÷c0s30°=6÷y 2 =43cm, :.OB=14B-2cm, 故所得几何体的侧面积是π×2V3×4V3=24πcm2. 5.(2026福建厦门一模)如图，在△ABC中，∠C=40°，AB=6,以AB为直径的半圆O交AC于点 D,与BC相切于点B,则BD的长为() D B π A.6 5π 10π B. 3 C.3 D.5π 【答案】B 【详解】如图，连接OD, A D 半圆0与 相切于点B, B C. BC ∴.∠ABC=90°， 16 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ∠A=180°-90°-40°=50°， .:OA=OD .∠A=∠ODA=50°， :∠BOD是△OAD的外角， :.∠BOD=∠A+∠ODA=100°， AB=6且为直径， OB=3, ∴BD=n=100πx35 180 180 37. 6.(2026山西晋城一模)如图，点A,B,C,D是⊙0上的四点，⊙0的半径为1，将劣弧AB,CD分别 沿直线AB,CD翻折，劣弧AB,CD恰好都经过点O,连接AD,BC,若AB∥CD,则图中阴影部分的面积 是() B 2m-5 3 6吾5 D.元-23 3 【答案】A 【详解】解：如图，记点O关于AB的对称点为点T,连接OT,交AB于点M B M 则OT=OA=OB,由翻折可得AT=OA,BT=OB ∴.AT=BT=AO=BO=OT=1 :.△AOT,△BOT为等边三角形，四边形ATBO为菱形， :.∠AOM=60°，AB⊥OT AM=A0xsin∠OT=5 2 17 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ S号r-Sa形om-Som-60xx-X1X5-元_5 3602 264 ∴由对称性可得，图中阴影部分的面积=4S号形r=4× 64 3 7.(2026-河南周口模拟预测)如图，将扇形纸片OAB沿着∠AOB的平分线平移，两半径与圆周交于C 、D两点，当OP=PD时平移停止.若∠AOB=120°，OA=3,则图中阴影部分的周长为() A 4怀-25 3 B.5+2元 r-43 c.3 D.25+元 【答案】D 【详解】解：：OP平分∠AOB,且∠AOB=120°，OA=3 ∴.∠AOP=∠BOP=60°，OA=OB=3, B :扇形纸片OAB沿着∠AOB的平分线平移， .PD‖OB,PCIIOA 连接OC,OD ∴∠PDO=∠BOD, ..OP=PD. .PO=PC,∠PDO=∠POD, :∠B0D=∠P0D=∠PD0=)∠BOP=30. 2 同理可证，∠A0C=∠P0C=}∠A0P=30°， 故∠COD=∠POD+∠POC=60°， CD=60x元x3 180 =π， 18 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 过点P作PH⊥OD于点H, ..PD=PO,OD=OA=3, .OH DH=1OD=3 2 2 .PD= DH =3, cos30° 故PC=PD=3, 故阴影部分的周长为：PC+PD+CD=2√3+π： 8.(2026福建龙岩·二模)如图1，四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠P,连接OA,OC, B 图1 图2 (1)求∠AOC的度数： (2)如图2，OB,AC相交于点E,若∠B0C=90°，OC=V5.求阴影部分的面积. 【答案】(1)∠A0C=120° 好9 【详解】(1)解：四边形ABCP是⊙O的内接四边形， ∠ABC+∠P=180°」 ∠ABC=2LP .2∠P+∠P=180° ∴.∠P=60° .∠A0C=2∠P=2×60°=120°： (2)解：∠B0C=90°，0C=√5. 5gcm2.9053z 360360 4 :OA=0C,∠A0C=120°. .∠ECO=30° 19 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 在REC中，an∠BCO=O C, 3 OE 3√3 OE=1, xIx- 2 3πV3 ∴.S阴影=S扇形BOc-S.COE= 42 9.(2026河北沧州一模)如图1~3，已知⊙0的半径为3，弦AB=2,C是⊙0上一点（不与点A,B重 合)，连接BC,以AB,BC为边作平行四边形ABCD. D C 0 B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当BC经过圆心O时，求cos∠ABC的值： (2)如图2，当∠ADC=60°时，求劣弧AC的长： (3)如图3，当AD与⊙0相切时，求点C到AB所在直线的距离： (4)直接写出点B与点D的最大距离. 【答案】)3 (2)2π g (4)3+17 【详解】(1)解：如图，连接AC, D A B 图1 20 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 当BC经过圆心O时，BC为直径，即BC=2×3=6: .∠CAB=90° 在R△ABC中，cos∠ABC=4=2_1 BC63: (2)解：：四边形ABCD是平行四边形 ∴.∠ABC=∠ADC=60° 如图，连接OA、OC, D 图2 .·.∠AOC=2∠ABC=120° 120π×3 :劣弧AC的长为 180 =2元； (3)解：如图，连接OA与BC交于点E,分别过点O、D作AB所在直线的垂线，垂足分别为M、N, 与 相切时， AMB 图3 ,AD⊙O ∴.OA⊥AD :四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC、CD∥AB、AD=BC, OA⊥BC, .∠AEB=90°， OA是⊙0的半径， .BE=CE, :OM⊥AB、OM是⊙O的半径， AM=BM-5AB=L、∠AM0=90: :.OM=VOA?-AM2=V32-12=2N2、∠AEB=∠AM0=90°， :∠BAE=∠OAM, .△BAE∽△OAM, 21 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ BA BE OAOM· 2 BE 32W2 .BE=4 3 BC=-2BE=85, D-BC OA⊥AD, .∠OAD=90°， .∠OAM+∠DAN=90°， 又：∠OAM+∠AOM=90°， ∴.∠DAN=∠AOM, :∠DNA=∠AMO=90°. .△DANP△AOM, DN DA AMAO· DN 1 3 b-gVz :CD∥AB, :点C到1B所在直线的鹿离为， (4)解：四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC、CD∥AB且CD=AB=2, 连接OC, 0C=3, 过点O作O0川CD,且使O0'=CD-2,连接O'D, 22 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 四边形 是平行四边形， DO'OC ∴.0D=OC=3, ∴.点D在以半径为3的⊙0上运动， 过点O作OH⊥AB于点H、过点O'作OE⊥AB于点E, .OHI‖OE .00'll AB, ∴.四边形OOEH是平行四边形， ∴.OE=OH、EH=O0'=2, OH是⊙0半径的一部分，OH⊥AB, AH=8册-方4B=1、2OiB=90: 在Rt△OHB中，由勾股定理得：OH=VOB2-BH=V32-1?=2√2， 0E=2W2, :点E在点H左侧，点H在点A、B之间， .EB=EH+HB=2+1=3, 在RIOEB中，由勾股定理得：B0'=VOE2+EB=22)'+32=V7, 当点B、O'、D三点共线，且点O在点B、D之间时，BD有最大值， .BD=O'D+0'B=3+17. 即点B与点D的最大距离为3+V7 10.(2026浙江杭州一模)如图，己知四边形ABCD内接于⊙0，AB是⊙O的直径，AD=CD,连接 AC,BD相交于点E,过点D作DF∥AC交BC延长线于点F. (1)若∠BAD=70°，求∠DAC的度数. 23 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ (2)求证：DF为⊙O的切线， (3)求证：AB2-2CD2=AB·BC. 【答案】(1)20° (2)见解析 (3)见解析 【详解】(1)解：：AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， ,∠BAD=70°， ∴.∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=20°， ..AD=CD .AD=CD, ,∠CBD=∠ABD=20 CD=CD, .∠DAC=∠CBD=20°： (2)证明：如图：连接OD, D AD=CD .AD=CD. .OD⊥AC, :DF∥AC, .OD⊥DF, :OD为半径， .DF为OO的切线： (3)证明：如图，延长AD交BC的延长线于点G, 24 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠ACB=90°， .∠GDB=180°-∠ADB=90°=∠ADB, 由(1)可得∠CBD=∠ABD, BD=BD, .△ABD≌aGBD(ASA), ..BG=AB,AD=DG. AD CD. ..CD=DG. :DF∥AC, ∴.∠DFB=∠ACB=90°，即DF⊥CG, FG-CF-CG :∠G=∠G,∠DFG=∠BDG=90°， .△DGF∽△BGD」 DG GF ·BDDG ∴.DG2=GF·BG, .FG=CF= CG-(G-BC)-(AB-BC). :CD=DG =(AB-BC).BG=(AB-BC).AB. .2CD2=(AB-BC）AB .AB2-2CD2=AB.BC. 》》》 真题再现 25 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 1.(2025山东德州中考真题)如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部 分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点A,B,量得 AB的长是5cm,则剩余部分的面积是() B 25 A.25πcm2 B.2 cm2 25 cm c. 25 D. πcm2 8 【答案】D 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点O重合，小圆与AB相切于C,连接OC,OA, B ,小圆与AB相切于C, ∴.OC⊥AB, .AC=4B=5(cm), 2 2 在RaA0C中，0A-0C2=AC=25 则剩余部分的面积为： 2xπxO4?- xaxoc-x5-(cm). 2 48 故选：D 2.(2025海南中考真题)如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=1,以AB为直径的半圆O交AC于点D ,若BC与半圆O相切于点B,则BD的长为() π A.5 B.4 c D. 【答案】C 26 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 【详解】解：连结OD, :AB=1,以AB为直径的半圆O交AC于点D, :.OD-14B=1 1 2 2 :BC与半圆O相切于点B, .∠ABC=90°， :∠C=30°， .∠A=90°-∠C=60°， .∠B0D=2∠A=120°， 1 120π× 的长为 BD 180 3 故选：C B 3.(2025江苏镇江中考真题)如图，直线∥1，直线m分别交于点A、B,以A为圆心，AB长 为半径画弧，分别交l2于直线m同侧的点C、D,∠ADB=35°，AB=9,则CD的长等于() 77 -h 7 A.5 B.4元 c. 【答案】C 【详解】解：连接AC,如图所示： m D B 4∥12， 27 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ∠CBD=∠ADB=35°， 根据作图可知：AB=AC=AD ∠ADB=∠ABD=35°，∠ABC=∠ACB, ∴∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°， l∥12， :.∠DAC=∠ACB=70°， 70π×97 六CD的长为1802不. 故选：C 4.(2025江苏盐城中考真题)已知圆锥的侧面积为15π，母线长为5，则圆锥的底面半径是 【答案】3 【详解】解：，S侧=πl .15π=5元， ∴r=3, 故答案为：3 5.(2025青海西宁·中考真题)如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF,再以点A为圆 心，AE长为半径画弧.若AB=3,则图中阴影部分的面积是 D 6π 【答案】5 【详解】解：，正五边形ABCDE, ·AE=AB,∠EAB=(5-2)x180 =108°， 5 △ABF为等边三角形，AB=3, .∠BAF=60°，AF=AB=3 ∴∠EAF=∠BAE-∠BAF=108°-60°=48°，AE=AF=3, 859- ∴阴影部分的面积即为扇形E4F的面积：360× 28 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 6元 故答案为：5· 6.(2025青海西宁·中考真题)如图，四边形ABCD是⊙0的外切四边形，AB=9,CD=15.则四边形 ABCD的周长为 D 【答案】48 【详解】解：如图，令⊙O与边AB,BC,CD,AD的切点分别为E,E,G,H, D H B :四边形ABCD是⊙O的外切四边形， AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG .AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG ,AD+BC=AB+CD=9+15=24 四边形ABCD的周长为 AD+BC+AB+CD=24+24=48 故答案为：48. 7.(2025山东东营中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C、D是⊙0上的两点，AD=DC=CB, DF⊥BC于点F,延长FD交BA的延长线于点E,连接BD. D (1)求证：DF是OO的切线； (2)若⊙0的半径为1，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)证明见解析 29 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 盟君 【详解】(1)证明：如图，连接OC,OD, E B A AB是OO的直径，AD=DC=CB, :.∠AOD=∠COD=∠BOC=60°， :.∠ABD=∠CBD=30° .OB=OD. .∠ODB=∠ABD=30° :DF⊥BC, .∠F=90°， .∠BDF=90°-∠CBD=60°， ∴.∠ODF=∠BDF+∠ODB=90°. OD⊥DF, 又OD是⊙0的半径， .DF是⊙O的切线： (2)解：OD⊥DF, ∠ODE=90°， .∠E=90°-∠AOD=30°， .0E=20D=2, .DE =VOE2-OD2=3, Sae=5.oe-Smmom 360 26 8.(2025江苏淮安·中考真题)如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD ,∠CBD=∠CAB 30 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)连接OD,若∠CAB=30°，AB=4,求扇形OBD的面积. 【答案】(1)见解析 【详解】(1)证明：，AB是半圆O的直径， ∠ADB=90°， .∠A+∠ABD=90°， :∠CBD=∠CAB, ∴.∠CBD+∠ABD=90° .∠ABC=90°，即BC⊥OB, ,OB为半径， ∴，BC是⊙O的切线： (2)解：如图， C D B .∠A=30° .∠BOD=2∠A=60°， AB=4, .OB=2, 60π×222 ∴扇形OBD的面积= 3603元. 9.(2025陕西中考真题)如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作⊙O,分别交AC,AB于点D ,E,连接DO并延长，交⊙O于点F,过点F作⊙O的切线，交CB的延长线于点G. B G (1)求证：DF∥AB； 31 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ (2)若Cos∠FOG= BG=2,求4C的长 【答案】(1)见解析 【详解】(1)证明：：AB=BC, ∠A=∠ACB」 ..OC=OD, .∠ACB=∠ODC, .∠A=∠ODC, DF‖AB: (2)解：如图，设O0的半径为r,连接CE, 切 于点， B G:FG⊙O F ·.∠OFG=90° 在RIAOFG中，os∠F0G=OF=y=2 0Gr+23 解得r=4, .BC=8, :DF∥AB, ∴.∠FOG=∠ABC BC为⊙O的直径， .∠CEB=90° 在R△CEB中，BE=BC-cos∠ABC=16 E=c-cE-9 85 3 AB=BC=8. ·AE=AB-BE= 3. 32 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 在中，AC=VAE2+CE2 Rt△CEA 10.(2025江苏宿迁中考真题)如图，点A在⊙0上，点B在⊙0外，线段OB与⊙0交于点C,过点C 作OO的切线交直线AB于点D,且AD=CD, A (1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若∠B=30°，CD=4,求图中阴影部分的面积。 【答案】(1)直线AB与⊙0相切，理由见解析： (2)16V3-8π. 【详解】(1)解：直线AB与⊙O相切，理由， 如图，连接OA,OD, :直线CD与⊙O相切， .OC⊥CD, .∠0CD=90°， 在△OAD和△OCD中， OA=OC OD=OD AD=CD ·.△OAD≌aOCD(SSS), ∴.∠0AD=∠OCD=90°， OA⊥AD :OA是⊙0半径， 33 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 1倍 ∴，直线AB与⊙O相切： (2)解：由(1)得△OAD≌△OCD,∠0AD=∠OCD=90°， .∠AOD=∠COD,S.oaD=SocD, :∠B=30°， .∠A0C=60°， ∴.∠AOD=∠COD=30°， ..OD=2CD=8. 0C=0D2-CD=V82-4=45, So=8m-x45x4=85, ∴.S阴影=SOHD+S,OCD-S扇形AOC =8v3+8v5.60n×45 360 =16V3-8π. 34三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺11:圆中证切线、求弧长、扇形面积等问题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 圆的综合问题是全国中考几何板块必考内容，98% 以上地区以解答题形式考查（第 20-23 题居多），分值 8-10 分，属于中档核心题，失分率约 40%。核心失分点集中在切线证明步骤缺失、公式记错用错、辅助线不会作、阴影面积割补错误。 2、 考点聚焦 围绕切线的判定与性质→弧长计算→扇形面积计算→圆锥侧面展开图转化→阴影部分面积求解→圆与三角形 / 四边形综合六大核心环节。其中切线证明是几何大题核心（100% 综合题必考），弧长与扇形面积公式是计算基础，圆周角定理、切线性质是解题关键依据。 3、 最新命题趋势（2024-2026） 从 “单一计算 / 证明” 向证明 + 计算 + 面积求解综合转变，如切线证明结合弧长、扇形面积计算；强化 “图形直观” 素养，新增动态圆问题（动点、动直线）；创新设问形式，多问分层设问（第一问证切线，第二问求长度 / 面积，第三问拓展探究）占比上升。 4、 地域差异 一线城市（北京、上海、广州）侧重动态综合型（圆与动点、相似三角形结合），三四线城市侧重基础证明与计算，但均遵循 “重逻辑、考规范、抓核心” 原则。 核心题型及具体解决方法 题型一、切线判定问题 具体解决方法： 判断公共点：确定直线与圆是否有明确公共点，分两种模型处理； 有交点，连半径，证垂直：连接圆心与公共点，通过全等、平行、角的关系证明半径与直线垂直； 无交点，作垂直，证半径：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径； 规范书写：严格按 “作辅助线→证垂直 / 等半径→下结论” 步骤书写，缺一不可。 （2026·广西钦州·二模）如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为．例题 (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 题型二、切线性质应用问题 具体解决方法： 见切线，连半径，得垂直：遇到切线立即连接切点与圆心，构造直角三角形； 用定理：结合切线长定理、圆周角定理、直角三角形性质（勾股定理、三角函数）推导边角关系； 转化条件：将切线的垂直条件转化为角度相等、线段相等，为证明或计算提供依据。 （2026·四川成都·二模）如图，为的直径，为上一点，连接，．过点A作的切线，交的延长线于点D．在上取一点E，使得，连接，交于点F．例题 (1)试判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长及的半径． 题型三、弧长计算类 具体解决方法： 找条件：确定圆的半径r、圆心角度数n； 套公式：直接套用弧长计算公式l=； 单位统一：确保半径、角度单位统一，角度用度数制； 结果规范：结果保留π，无需近似计算（中考要求）。 （2026·湖北随州·一模）如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点．例题 (1)求证：是的切线； (2)若，，求优弧的长． 题型四、扇形面积计算类-已知圆心角与半径求面积 具体解决方法： 确定参数：明确扇形半径r、圆心角度数n； 选公式：优先使用S=计算； 化简结果：约分后保留最简形式，含π不近似。 （2026·山东青岛·一模）如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（   ）例题 A． B． C． D． 题型五、扇形面积计算类-已知弧长与半径求面积 具体解决方法： 记公式：直接使用S=lr（l为弧长，r为半径）； 代入计算：先确定弧长与半径数值，再代入公式求解； 规避错误：区分扇形面积两个公式的适用条件，不混淆使用。 （2026·青海西宁·一模）一个扇形弧长是，圆心角是，则扇形的面积是______．例题 题型六、圆锥与扇形转化类 具体解决方法： 找对应关系：明确圆锥母线长 = 扇形半径，圆锥底面周长 = 扇形弧长； 算参数：通过弧长公式求圆锥底面半径，或通过母线与半径求圆心角； 求面积：套用圆锥侧面积S侧=、全面积公式计算； 检验对应：确保母线、底面半径、圆心角的对应关系不混淆。 （2026·山东聊城·二模）如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（   ）例题 A． B． C． D． 题型七、阴影部分面积求解类 具体解决方法： 割补法：将不规则阴影面积转化为规则图形（扇形、三角形、矩形）的面积和 / 差； 拆分图形：把阴影部分拆分为扇形、三角形等基本图形，分别计算再合并； 整体减空白：用整体图形面积减去空白部分规则图形面积； 辅助线构造：通过作辅助线将不规则图形转化为可计算的规则图形。 （2026·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点M、N，与轴相切于点，点的坐标为．例题 (1)求点的坐标； (2)求图中阴影部分的面积． 题型八、圆的综合（切线 + 计算）类 具体解决方法： 先证后算：先完成切线证明，再利用切线性质进行边长、角度、面积计算； 构直角三角形：连接半径、直径，利用直径所对圆周角为直角、切线垂直半径构造直角； 用定理推导：结合圆周角定理、切线长定理、勾股定理、三角函数求线段长度； 分步计算：按 “求角度→求半径 / 线段→套公式算弧长 / 面积” 分步完成，不跳步。 （2026·广东深圳·二模）如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，点E在上，连接，且．例题 (1)实践与操作：用直尺和圆规作出边上满足条件的点E，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)推理与计算： ①求证：是的切线； ②若，，，求劣弧的长度． 经典模拟题 1．（2026·四川成都·二模）如图，已知的半径为2，在上顺次取四点，连接，，，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮南·一模）如图，是的内切圆，线段与相切，与、分别交于点D、点E，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·宁夏吴忠·二模）如图，某同学将一块含的直角三角板沿直线旋转一周，则所得几何体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，与相切于点B，则的长为（   ） A． B． C． D．5π 6．（2026·山西晋城·一模）如图，点A，B，C，D是上的四点，的半径为1，将劣弧分别沿直线翻折，劣弧恰好都经过点O，连接，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南周口·模拟预测）如图，将扇形纸片沿着的平分线平移，两半径与圆周交于、两点，当时平移停止．若，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·福建龙岩·二模）如图1，四边形是的内接四边形，，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，，相交于点，若，．求阴影部分的面积． 9．（2026·河北沧州·一模）如图，已知的半径为3，弦，C是上一点（不与点A，B重合），连接，以，为边作平行四边形． (1)如图1，当经过圆心O时，求的值； (2)如图2，当时，求劣弧的长； (3)如图3，当与相切时，求点C到所在直线的距离； (4)直接写出点B与点D的最大距离． 10．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知四边形内接于，是的直径，，连接，相交于点，过点作交延长线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：为的切线． (3)求证：． 真题再现 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 6．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 7．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 9．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $