精品解析：天津市西青区2025-2026学年第二学期学业质量中期监测高二数学试卷

天津市西青区2025-2026学年第二学期学业质量中期监测高二数学试卷 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分． 第Ⅰ卷（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 2026年作为“十五五”开局起步之年，天津文旅春季以花为媒开展了“春风十里•天津等你”的春日经济文旅活动，其中红桥区桃花节，和平区海棠花节，蓟州区梨花节，南开区牡丹节等赏花景点各具特色，吸引了众多游客游玩打卡．某天甲、乙、丙三位同学计划分别从这4个赏花节中任选一个地点前往游玩，则不同游玩方案共有的种数为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算求解. 【详解】每位同学都可以独立从4个赏花节中任选一个， 甲有4种选择，乙有4种选择，丙也有4种选择 根据分步乘法计数原理， 总方案数为 种. 2. 已知下列四个求导运算：① ② ③ ④．其中求导运算正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，，正确；对于②，，错误； 对于③，，正确；对于④，，错误. 所以求导运算正确的个数为2个. 3. 某物体做自由落体运动的位移s(t)=gt2, g=9.8 m/s2,若=9.8 m/s,则9.8 m/s是该物体 A. 从0 s到1 s这段时间的平均速度 B. 从1 s到(1+Δt)s这段时间的平均速度 C. 在t=1 s这一时刻的瞬时速度 D. 在t=Δt s这一时刻的瞬时速度 【答案】C 【解析】 【详解】根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导，这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）可知表示在这一时刻的瞬时速度，故选C. 4. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 解得. 5. 已知曲线为，则它在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 6. 已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得， 但是时，不一定是函数的一个极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件， 故选：B 7. 若，则的值为（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】令，则,即 令，则 所以. 8. 已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数的图像和导数的性质可知当的函数值下降时，， 故观察图像解得当时，的函数值下降，故. 9. 从数字0，1，2，3，4，5中任取4个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为（ ） A. 156 B. 168 C. 98 D. 246 【答案】A 【解析】 【分析】分个位数字为0和不为0两种情况讨论即可求. 【详解】若个位数为0，则其余三个数位上的数没有限制，此时，符合条件的四位数是偶数的个数为：， 若个位数为2或4，首位不能为0，此时，符合条件的四位数是偶数的个数为：， 综上，符合条件的四位偶数个数为：. 故选：A 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由条件知在上单调递减，利用奇偶性将化为，比较即可判断. 【详解】设函数，则， 所以根据题中条件，当时，，即函数在上单调递减， 因为为奇函数，所以，所以为偶函数， ，，， 因为，所以，即. 【点睛】本题主要考查抽象函数导数问题，此类问题常考常新，成为近年来命题的热点，主要是利用导数研究函数单调性，根据题中条件，结合导数四则运算法则和复合函数求导来构造新函数，使多个分散条件集中指向某一个函数的导数，然后通过新函数的单调性来解题.在构造的过程中，有的需要直接构造，有的需要变形构造，不论哪种构造，都要结合问题的外形结构特征及求导法则的特征进行合理恰当的构造. 第Ⅱ卷(80分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 11. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 12. 已知3名男生，4名女生全体站成一排．要求男生，女生各站在一起．则不同的排队方法的种数为__________． 【答案】288 【解析】 【分析】利用捆绑法处理排列中的相邻问题. 【详解】将3名男生看作一个整体，对男生内部进行全排列，共有种排法； 将4名女生看作一个整体，对女生内部进行全排列，共有种排法； 对男生、女生两个整体进行全排列，共有种排法. 根据分步乘法计数原理，不同的排队方法种数为:. 13. 已知函数为函数的导函数，则_________，________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【详解】由求导法则及初等函数的导数知，， 所以. 14. 春季万物复苏，春回大地，很多城市都沉浸在一片生机勃勃的春意中．然而花粉过敏也随之进入高发期．今年春季，某市有甲、乙、丙三个地区花粉过敏较为严重，这三个地区的花粉过敏率分别为．已知这三个地区的人口数之比为2:3:5．现从这三个地区中任选一人，则这个人是花粉过敏患者的概率为______________． 【答案】0.038 【解析】 【详解】设事件为“任选一人是花粉过敏患者”，事件分别为“此人来自甲、乙、丙地区”， 则 . 15. 已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】确定函数定义域，将单调递增转化为导函数在定义域上非负恒成立，分离参数后利用基本不等式求最值即可得到的取值范围. 【详解】函数 的定义域为， 因为是单调递增函数，故对任意恒成立， 即，分离参数得对任意恒成立， 由基本不等式，当时，，当且仅当即时等号成立， 因此，即的最大值为，故，即的取值范围是. 16. 展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，设是展开式的第3项，若在上恒成立，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式系数最大得，从而可知解析式，分离参数得， 构造函数，即在上，从而可求得取值范围. 【详解】在的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大， 则的展开式共6项，则，展开式的第3项为， 在上恒成立，所以， 在，，即， 令，即，， ，当 ，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以实数的取值范围是. 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球． （1）设“摸到两球编号均为奇数”为事件，求事件概率； （2）设“摸到1号球”为事件，“摸到两球编号的和为奇数”为事件，求在摸到1号球的条件下，两球编号的和为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 事件和事件同时发生，即为摸到1、2号球或1、4号球， 所以， 因此. 18. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在的最值． 【答案】（1）的增区间为，减区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据已知函数的单调性，求出函数的单调区间； （2）求出函数的极值及端点处函数值得解. 【小问1详解】 ，令，解得， 当时，，所以的增区间为， 当时，，所以的减区间为， 所以的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值，的极大值， 又因为， 故最大值为，最小值为． 19. 在的二项展开式中． （1）若展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求值； （2）若，求展开式通项和展开式中含项的系数； （3）若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值． 【答案】（1） （2）通项为，含项的系数为 （3）最小正整数 【解析】 【分析】（1）根据求解即可. （2）利用二项展开式的通项计算可得结果； （3）由通项得出含有常数项时，再结合其范围可得当时，取最小值5. 【小问1详解】 因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以, 所以 【小问2详解】 当时，展开式的通项为 令，解得 所以展开式中含项的系数为 【小问3详解】 展开式的通项， 由于展开式含有常数项，可得 即，又 即当时，取最小值5，此时展开式含有常数项， 因此最小的正整数的值为5. 20. 已知函数．若的极值为． （1）求函数的解析式并求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值； （3）若集合恰有一个元素，写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 极小值为，极大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，先利用极值的定义求出，然后求出切点的导数值和函数值，进而即可求出切线方程. （2）根据导数的符号求出函数的单调区间以及极值点和极值. （3）根据（2）的单调性和极值画出函数图象，进而可确定的范围. 【小问1详解】 ， 令，解得，函数在上单调递增， 令，解得，函数在上单调递减， 所以函数有唯一的极值，由题意得， 即函数，对函数求导得. 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则或. 当时，因为，所以，此时在上单调递增； 当时，因为，所以或，此时在，上单调递减； 所以在处取得极小值为， 在处取得极大值为. 【小问3详解】 因为集合恰有一个元素，即只有一个根. 也就是说函数与只有一个交点. 由（2）可画出函数的图象如下所示，    因为，时，， 所以根据图象可以得出当或时， 即时，集合恰有一个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市西青区2025-2026学年第二学期学业质量中期监测高二数学试卷 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分． 第Ⅰ卷（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 2026年作为“十五五”开局起步之年，天津文旅春季以花为媒开展了“春风十里•天津等你”的春日经济文旅活动，其中红桥区桃花节，和平区海棠花节，蓟州区梨花节，南开区牡丹节等赏花景点各具特色，吸引了众多游客游玩打卡．某天甲、乙、丙三位同学计划分别从这4个赏花节中任选一个地点前往游玩，则不同游玩方案共有的种数为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知下列四个求导运算：① ② ③ ④．其中求导运算正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 某物体做自由落体运动的位移s(t)=gt2, g=9.8 m/s2,若=9.8 m/s,则9.8 m/s是该物体 A. 从0 s到1 s这段时间的平均速度 B. 从1 s到(1+Δt)s这段时间的平均速度 C. 在t=1 s这一时刻的瞬时速度 D. 在t=Δt s这一时刻的瞬时速度 4. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知曲线为，则它在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，则的值为（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 0 8. 已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 从数字0，1，2，3，4，5中任取4个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为（ ） A. 156 B. 168 C. 98 D. 246 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷(80分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 11. 计算：________ 12. 已知3名男生，4名女生全体站成一排．要求男生，女生各站在一起．则不同的排队方法的种数为__________． 13. 已知函数为函数的导函数，则_________，________． 14. 春季万物复苏，春回大地，很多城市都沉浸在一片生机勃勃的春意中．然而花粉过敏也随之进入高发期．今年春季，某市有甲、乙、丙三个地区花粉过敏较为严重，这三个地区的花粉过敏率分别为．已知这三个地区的人口数之比为2:3:5．现从这三个地区中任选一人，则这个人是花粉过敏患者的概率为______________． 15. 已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 16. 展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，设是展开式的第3项，若在上恒成立，则实数的取值范围是_____________． 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球． （1）设“摸到两球编号均为奇数”为事件，求事件概率； （2）设“摸到1号球”为事件，“摸到两球编号的和为奇数”为事件，求在摸到1号球的条件下，两球编号的和为奇数的概率． 18. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在的最值． 19. 在的二项展开式中． （1）若展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求值； （2）若，求展开式通项和展开式中含项的系数； （3）若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值． 20. 已知函数．若的极值为． （1）求函数的解析式并求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值； （3）若集合恰有一个元素，写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $