精品解析：天津市第九十五中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

九十五中学2024-2025学年度第二学期 高二年级数学试卷 一､单选题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 设全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 从甲地到乙地每天有直达汽车班，从甲到丙地，每天有个班车，从丙地到乙地每天有个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①-2是函数的极值点； ②1是函数的极值点； ③的图象在处切线的斜率小于零； ④函数在区间上单调递增. 则正确命题的序号是 A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 7. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是（ ） A. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 B. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D. 若变量y和x之间的相关系数，则变量y与x之间具有线性相关关系 8. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知函数，则___________. 11. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 12. 的单调递减区间为______. 13. 某届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为______. 14. 随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为________．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率________． 15. 已知函数，给出下列四个结论，其中所有正确结论序号是__________.①有唯一一个零点；②的极大值为；③；④若方程有且只有一个实数解，则或. 三､解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分） 16. 已知是函数的一个极值点． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最小值． 17. 已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. （1）求； （2）求常数项； （3）求展开式的中间项. 18. 某校开设校本课程“剪纸”，为了解学生参加该课程与性别是否有关，用简单随机抽样的方法分别从男生和女生中各抽取了50名学生进行调查，得到如下2×2列联表： 性别 课程 合计 参加“剪纸”课程 不参加“剪纸”课程 男生 10 女生 30 50 合计 （1）补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析参加“剪纸”课程是否与性别有关联； （2）从该校女生中按是否参加“剪纸”课程采用分层抽样的方法抽取5人，并从这5人中随机抽取3人，记其中参加“剪纸”课程的人数为X，求X的概率分布和期望. 附：其中 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 19. 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率是.现从两个袋子中有放回的摸球. （1）从中摸球，每次摸出一个，共摸5次求： （ⅰ）恰好有3次摸到红球的概率； （ⅱ）设摸得红球的次数为随机变量，求的期望； （2）从中摸出一个球，若是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，若从袋子中摸出是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为.求的分布列以及随机变量的期望. 20 已知函数 （1）若，求曲线在点处的切线方程; （2）若在上无极值点，求的值; （3）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九十五中学2024-2025学年度第二学期 高二年级数学试卷 一､单选题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 设全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，B，再求两集合的并集，然后可求出其补集. 【详解】因为， 所以， 因为全集， 所以， 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”. 故选：C 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案. 【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得： A中，，所以不正确； B中，，所以不正确； C中，，所以是正确的； D中，，所以不正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得不等式解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 从甲地到乙地每天有直达汽车班，从甲到丙地，每天有个班车，从丙地到乙地每天有个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】应用分类分步计数原理求不同的乘车方法即可. 【详解】分两类：一类是直接从甲到乙；另一类是从甲经丙再到乙， 分两步：第一类有种方法，第二类有， 由分类计数原理得：从甲到乙的不同乘车方法. 故选：B 6. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①-2是函数的极值点； ②1是函数的极值点； ③的图象在处切线的斜率小于零； ④函数在区间上单调递增. 则正确命题的序号是 A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【详解】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D 点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号 7. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是（ ） A. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 B. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D. 若变量y和x之间的相关系数，则变量y与x之间具有线性相关关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关指数、回归直线方程、残差、相关系数等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A，用相关指数来刻画回归效果，的值越接近，说明模型的拟合效果越好，所以A选项错误. B，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，正确. C，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确. D，接近，变量y与x之间具有线性相关关系，正确. 所以错误的为A. 故选：A 8. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 由，则，化简用均值不等式求最值. 【详解】由题意可得， 则， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为9. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 9. 设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，根据已知及奇偶性定义判断奇偶性，再对其求导判断上的单调性，结合对称性确定单调区间，进而判断区间符号，即可得. 【详解】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即为奇函数， 当，有，所以在上单调递减， 由奇函数的性质，在上单调递减，且， 由，则，即， 综上，上，上， 所以不等式的解集是. 故选：A 二､填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知函数，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值． 【详解】由题意，所以． 故答案为：2． 11. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 因为随机变量服从正态分布， 所以， 所以. 故答案为：0.6. 12. 的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，再求的区间即可. 【详解】函数定义域为， ， 令， 即，解得： 的单调递减区间为. 故答案为： 13. 某届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”， “第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥， 根据题意得：，，， 则. 故答案为：. 14. 随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为________．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型的计算方法可求两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，先求出，，在利用条件概率公式即可求第二空. 【详解】设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”， 则； 设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”， 则，， ∴． 故答案为：． 15. 已知函数，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________.①有唯一一个零点；②的极大值为；③；④若方程有且只有一个实数解，则或. 【答案】①② 【解析】 【分析】利用导数研究的区间单调性、极值及零点，再根据函数性质及实数解个数确定参数范围，即可得. 【详解】由题设，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，当时，当时，， ，所以有唯一一个零点，极大值为， 且， 要使有且只有一个实数解，则或， 综上，①②对，③④错 故答案为：①② 三､解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分） 16. 已知是函数的一个极值点． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最小值． 【答案】（1）增区间为、，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知的值，然后利用导数与函数的单调性可得出函数的增区间和减区间； （2）求出函数在区间上的极大值和极小值，与、的值比较大小，可得出函数在区间上的最小值. 【小问1详解】 解：因为，则， 因为是函数的一个极值点，则，解得， 此时，， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为、，减区间为. 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 函数在上单调递增，在上递减，在上单调递增， 当时，函数的极大值为，极小值为， 又因为，， 所以，函数在上的最小值为. 17. 已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. （1）求； （2）求常数项； （3）求展开式的中间项. 【答案】（1）； （2）15； （3）. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和有，即可求参数值； （2）写出二项式的展开式通项，进而求其常数项； （3）根据二项式确定中间项是第四项，对应，即可得. 【小问1详解】 由题设，可得； 【小问2详解】 由（1）得展开式通项为，， 当，即，则常数项； 【小问3详解】 由（2）知，展开式中间项是第四项，即，所以. 18. 某校开设校本课程“剪纸”，为了解学生参加该课程与性别是否有关，用简单随机抽样的方法分别从男生和女生中各抽取了50名学生进行调查，得到如下2×2列联表： 性别 课程 合计 参加“剪纸”课程 不参加“剪纸”课程 男生 10 女生 30 50 合计 （1）补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析参加“剪纸”课程是否与性别有关联； （2）从该校女生中按是否参加“剪纸”课程采用分层抽样的方法抽取5人，并从这5人中随机抽取3人，记其中参加“剪纸”课程的人数为X，求X的概率分布和期望. 附：其中 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表见解析，参加“剪纸”课程与性别有关联； （2）答案见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，再应用卡方公式求卡方值，根据独立检验基本思想得到结论即可； （2）由题意的可能取值为，并求出对应概率，写出分布列，即可求期望. 【小问1详解】 列联表如下： 性别 课程 合计 参加“剪纸”课程 不参加“剪纸”课程 男生 10 40 50 女生 20 30 50 合计 30 70 100 零假设为：参加“剪纸”课程与性别无关联， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为参加“剪纸”课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050. 【小问2详解】 参加“剪纸”课程与性别无关联剪纸的女生有2人，不参加的有3人. 所以可能取值为， ， 故分布列为： 0 1 2 . 19. 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率是.现从两个袋子中有放回的摸球. （1）从中摸球，每次摸出一个，共摸5次.求： （ⅰ）恰好有3次摸到红球的概率； （ⅱ）设摸得红球的次数为随机变量，求的期望； （2）从中摸出一个球，若是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，若从袋子中摸出的是白球则继续在袋子中摸球，若是红球则在袋子中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为.求的分布列以及随机变量的期望. 【答案】（1），； （2）分布列见解析，数学期望 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据独立重复试验概率公式求解即可； （ⅱ）由题意随机变量服从二项分布，求出变量对应取值的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可； （2）分别求出变量对应取值的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可. 【小问1详解】 （ⅰ）由题意，从袋中有放回地摸球，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得，5次试验中恰好有3次摸到红球的概率为； （ⅱ）由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3，4，5. ，， ，， ，. 的分布列是： 0 1 2 3 4 5 . 【小问2详解】 由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3. ，， ， . 的分布列为 0 1 2 3 . 20. 已知函数 （1）若，求曲线在点处的切线方程; （2）若在上无极值点，求的值; （3）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义,切线的斜率,先求，，,利用直线方程的点斜式求解. （2）因为,所以若在上无极值点,则，即，，解得. （3）讨论当时,在上的符号,函数的单调性、极值情况,从而分析 函数的图像与轴的交点个数,得出函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，， ，，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，依题意有，即， ，解得. 【小问3详解】 ①时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点. ，，依题意有恒成立，即， ，解得. ②时： 当，，函数为增函数； 当，，函数为减函数； 当，，函数为增函数. 由于，此时只需判定的符号： 当时，函数在上无零点； 当时，函数在上有一个零点； 当时，函数在上有两个零点. 综上，时函数在上无零点； 当时，函数在上有一个零点； 当时，函数在上有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$