上海市宝山中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年宝中高一下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1－6题每题3分，7－12题每题4分，共42分） 1．扇形OAB的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是______． 2．已知，则的值为______． 3．函数的频率为______． 4．已知点A（2，3），B（6，－3），若点P满足，则点P的坐标为______． 5．设为夹角为的单位向量，求＝______． 6．已知＝（5，3），＝（－1，2），则向量在向量方向上的投影向量的坐标为___． 7．关于x的不等式：的解集为______． 8．已知，知，则的值为______． 9．函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 10．在△ABC中，M为边BC上不同于B、C的任意一点，点N为线段AM的三等分点（靠近点A），若，则的最小值为______． 11．设a＞0，函数f（x）＝，若函数与y＝f（x）的图像有且仅有三个不同的公共点，则a的取值范围是______ 12．如图，在△ABC中，，|AD|＝2，则＝______ 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13．三角形ABC中，“A＝B”是“sinA＝sinB”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 15．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ） A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解 C．a＝15，b＝2，A＝90°，无解 D．a＝40，b＝30，A＝120°，有一解 16．如果对一切正实数x、y不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[－1，＋） B． C． D． 三、简答题（本大题共5题，共8＋8＋8＋10＋12＝46分） 17．已知O为坐标原点，向量＝（－2，m），＝（n，1），＝（5，－1），若A、B、C三点共线，且m＝2n，求实数m、n的值． 18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若． （1）求A的大小； （2）若a＝7，b＋c＝13，求△ABC的面积． 19．已知函数f（x）＝， （1）若角的终边与单位圆交于点，求f（）的值； （2）当时，求f（x）的单调递增区间和值域． 20．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求，求CD的长（结果精确到0.01米）； （2）施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得＝39.82°，＝19.48°，求CD的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）． 21．已知函数f（x）＝的图像如图所示，点B、D、F为f（x）与x轴的交点，点C、E分别为f（x）的最高点和最低点，而函数f（x）在处取得最小值． （1）求参数的值； （2）若A＝1，求向量与向量夹角的余弦值； （3）若点P为f（x）函数图像上的动点，当点P在C、E之间运动时（包含端点C、E），≥1恒成立，求A的取值范围． 2026年宝中高一下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1－6题每题3分，7－12题每题4分，共42分） 1．【解析】 2．【解析】 3．【解析】15 4．【解析】 5．【解析】 6．【解析】 7．【解析】 8．【解析】 9．【解析】 10．【解析】 11．【解析】 12．【解析】 由，可知，∴，则， ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13．【解析】A 14．【解析】D 15．【解析】D 16．【解析】因为对一切正实数x、y，不等式恒成立， 即恒成立， 令f（y）＝，则， 因为y＞0，f（y）＝，当且仅当，即y＝6时， 取“＝”，所以＝3；所以≤3， 即恒成立．因为， 所以，所以a≥恒成立， 令t＝2－sinx，则[1，3]，所以sinx＝2－t， 所以a≥恒成立． 令g（t）＝，[1，3]，则a≥．因为[1，3]， 所以，当且仅当＝2t，即[1，3]时，等号成立， 则g（t）≤，所以，所以a≥， 所以实数a的取值范围为． 三、简答题（本大题共5题，共8＋8＋8＋10＋12＝46分） 17．【解析】已知＝（－2，m），＝（n，1），＝（5，－1）． 可得＝（n＋2，1－m），＝（5－n，－2）． 因为A、B、C三点共线，所以AB与BC共线， 则有（n＋2）×（－2）－（5－n）×（1－m）＝0． 已知m＝2n，将其代入（n＋2）×（－2）－（5－n）×（1－m）＝0中， 得到：（n＋2）×（－2）－（5－n）×（1－2n）＝0 整理得：，则（2n－3）（n－3）＝0，则2n－3＝0或n－3＝0． 解得或n＝3．当时，； 当n＝3时，m＝2n＝2×3＝6．综上，或． 18．【解析】（1）因为acosB＋bcosA＝2ccosA， 由正弦定理可得：sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA， 即sin（A＋B）＝2sinCcosA，在△ABC中，sin（A＋B）＝sinC＞0， 所以cosA＝，因为，所以； （2）由（1）知，cosA＝，因为a＝7，b＋c＝13， 由余弦定理，得： 即，得bc＝40，所以△ABC的面积． 19．【解析】（1）∵角的终边与单位圆交于点， ∴ ∴f（）＝ （2）函数f（x）＝ 当时，，∴当即， 当即x＝时，f（x）有最小值为－2； 当即x＝时，f（x）有最大值为1 20．【解析】（1）根据题意可知，AC长35米，BC长80米， 设CD的长为x米，则，∵， ∴，则，即， 解得：米，故CD的长为28.28米； （2）由题设∠ADB＝180°－－＝120.7° 根据正弦定理得，即米， ∴， 则CD≈28.57米，又， 则，， 故CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50° 21．【解析】解：（1）由函数f（x）＝在处取得最小值， 可得，所以，又，则； （2）因为A＝1，所以f（x）＝，则， 则＝（1，3），＝（4，－2）， 则， 即向量与向量夹角的余弦值为； （3）因为P是f（x）上动点，f（x）＝， 又≥1恒成立，设， 则，， 则， 易知在或处有最小值， 在或处有最大值， 所以当或时，有最小值， 即当P在C或E时，BP·PF有最小值，此时或， 当P为时，＝（1，A），＝（3，－A）， 由BP·PF＝3－≥1，得，又A＞0，则0＜A≤， 当P为时，＝（3，A），＝（1，A）， 由BP·PF＝3－≥1，解得0＜A≤，综上， 学科网（北京）股份有限公司 $