精品解析：河南洛阳市洛龙区2025-2026学年第二学期中学科素养调研八年级数学

2025—2026学年第二学期期中学科素养调研 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值可以是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴被开方数满足 解得： 选项中只有D选项的满足． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理是直角三角形的重要性质．下列各组数中，能够作为直角三角形三边的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，，不能构成三角形． 选项B最长边为，∵，， ∴，不能构成直角三角形． 选项C最长边为，∵，， ∴，能构成直角三角形． 选项D最长边为，∵， ∴，不能构成直角三角形． 3. 如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使为矩形．这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从平行四边形的性质和矩形的判定条件入手．因为矩形的判定定理有“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以逐一分析选项是否符合这些判定条件． 【详解】选项A：，平行四边形邻边相等，可判定是菱形，不能判定为矩形，错误； 选项B：，即平行四边形有一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形，正确； 选项C：，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定为矩形，错误； 选项D：平行四边形本身就对边相等，是平行四边形的固有性质，无法判定它是矩形，错误． 4. 已知□，则□中应填入的符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将化简为最简二次根式，再按不同运算符号计算，结果等于的即为正确答案． 【详解】解：， 若填，则； 若填，则； 若填，则，符合等式； 若填，则； ∴□中应填入的符号为，故C选项正确． 5. 在平面直角坐标系中，有两点，，则A，B两点之间的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点分别是的中点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形中位线的性质得，由矩形的性质得，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 7. 已知是整数，则正整数的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据二次根式的定义和性质求解，先确定被开方数是非负整数，为整数说明是完全平方数，结合正整数取最小值的要求，即可求出结果． 【详解】解：∵是二次根式 ∴，即． ∵是正整数 ∴． ∵是整数 ∴是不大于的完全平方数． 要求的最小值，需要取最大的满足条件的完全平方数． 不大于的最大完全平方数为 ∴ 解得． 8. 如图，菱形的边在轴上，点在轴上．已知，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标系、菱形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．菱形的对角线互相垂直且平分,把菱形看作是由两条对角线分成的四个直角三角形组成的,可得菱形的面积为，由菱形的面积为，得，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴菱形的面积为， ∴， ∵在菱形中， ∴, ∴, ∴， ∴点的坐标； 故选：B． 9. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 90 B. 108 C. 99 D. 117 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，根据勾股定理得，得到正方形的面积正方形的面积，进而得到图①中所有正方形的面积和，依次类推，每一次操作后，所有正方形的面积和都比前一次操作增加，进行求解即可． 【详解】解：如图②，设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题意得：正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的边长为，并且是直角三角形的斜边， 正方形的面积为． 由勾股定理得：， 正方形的面积正方形的面积， 图①中所有正方形的面积和， 同理：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 图②中所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 即一次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 同理可得次操作后增加的个小正方形的面积和也是， 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 故选：B． 10. 如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，． ∵四边形是正方形，，点是的中点， ∴，，， 在中，， ∵，点是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴当，，三点共线时，有最大值， 的最大值． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 12. 若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．先求出这个多边形的每个外角都是，再根据多边形的外角和等于求解即可得． 【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数为， 故答案为：9． 13. 如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点的对应点为点，交轴于点．已知，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用翻折的性质得到相等的边和角，结合矩形对边平行的性质推出等腰三角形，再通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形中，，， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， ， ， 设 在中，由勾股定理得： ， ， 解得， 又点在轴上， 故点的坐标为． 15. 如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点D落在点F处，当为直角三角形时，______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，涉及了勾股定理，解题的关键是分类讨论． 根据折叠的性质可得，，，，再设，则，分两种情况，或，根据线段的和差关系以及勾股定理分别求解即可． 【详解】解：将沿折叠，使点D落在点F处，则，，， 设，则， 当为直角三角形时，有两种情况， ①，如下图： 可得四边形为正方形，， ∴， ∴， ②，如下图， 点在线段上， 由勾股定理可得，， ∴， 在中，，即，解得， 综上，或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先去括号，化简各二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再计算二次根式的除法运算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 17. 某小区计划修建一个正方形健身活动区，并在活动区中心设置一个长方形休息平台，其余区域铺设塑胶地面．已知大正方形健身区的边长为米，长方形休息平台的长为米，宽为米． （1）求长方形休息平台的面积． （2）求铺设塑胶地面的面积． 【答案】（1）长方形休息平台的面积是平方米 （2）铺设塑胶地面的面积是平方米 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可求解； （2）用正方形健身区的面积减去长方形休息平台的面积即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴长方形休息平台的面积是平方米； 【小问2详解】 解：， ∴铺设塑胶地面的面积是平方米． 18. 如图，的对角线相交于点O，E，F是上的两点，且．请判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】连接，利用平行四边形性质推出，证明四边形是平行四边形，进而即可判断和的数量关系． 【详解】解：． 理由如下：连接． 在中，，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19. 为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． （1）为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． （2）请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】（1）至少需要米的篱笆 （2）这块劳动实践基地的总面积为平方米 【解析】 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； 【小问2详解】 解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 20. 如图，四边形是正方形．G是边上任意一点，，垂足为E，，交于点F．若正方形的边长为5，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，， ∵，， ∴． ∴． ∴． 21. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线与的延长线交于点，与交于点，与交于点，且点为边的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． （2）根据菱形的性质及勾股定理可得，再由全等三角形的判定与性质及勾股定理可得答案． 【小问1详解】 证明：在中，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ，， ∵为边的中点， ， 在中，， 在中， ， ∴， ∴， 在中，． 22. 在学习矩形的性质时，我们由“矩形的对角线相等且互相平分”，可以推导出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论．数学活动课上，小明尝试用尺规作图的方法，作图探究并验证这一结论． 如图，已知，．小明同学设计如下作图步骤：作的垂直平分线交于点D，垂足为点E，连接． （1）请根据小明同学设计的步骤，用无刻度的直尺和圆规在图中完成作图过程（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （2）请根据（1）中作图，证明：． （3）如图2，已知，点E、F分别为的中点，，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线作图步骤，作出的垂直平分线即可； （2）由（1）知，垂直平分，根据垂直平分线性质，以及等腰三角形性质推出，进而推出，再结合等腰三角形性质推出，即可证明． （3）连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推出，再利用中点性质求出，最后利用勾股定理求解，即可解题． 熟练掌握垂直平分线作图步骤，垂直平分线性质，直角三角形性质，以及等腰三角形性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 解：连接． 在中，， ∵点E是的中点，， ∴， 同理． ∴． ∵点F是的中点，， ∴，． 在中，， ∴． 23. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等四边形”进行研究．定义：有两个相邻的内角是直角，并且只有一组邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． （1）概念理解 如图1，在6×7的小正方形网格纸中，，，三点均在格点上，请找出所有符合条件的格点，使四边形是邻等四边形，在网格中画出四边形． （2）性质探究 如图2，四边形是邻等四边形，，．求证：平分． （3）拓展应用 如图3，在矩形中，，，是边的中点，在边上找一点，使得四边形是邻等四边形，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3或 【解析】 【分析】（1）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足的格点；②，结合图形再确定满足或的格点； （2）先证明，得出，再根据，得出，即可得到，即可得出结论； （3）在矩形中，，，E是边的中点，，，，根据题意得出当或时，四边形是邻等四边形，分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ， ∵， ， ， ∴对角线平分． 【小问3详解】 解：∵在矩形中，，，E是边的中点，，， ∴， 当或时，四边形是邻等四边形， 当时，； 当时，如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，解得：， ∴， 综上，的长为3或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中学科素养调研 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值可以是() A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理是直角三角形的重要性质．下列各组数中，能够作为直角三角形三边的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 3. 如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使为矩形．这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知□，则□中应填入的符号为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，有两点，，则A，B两点之间的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点分别是的中点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是整数，则正整数的最小值为( ) A. B. C. D. 8. 如图，菱形的边在轴上，点在轴上．已知，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 90 B. 108 C. 99 D. 117 10. 如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是____________． 12. 若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______． 13. 如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点的对应点为点，交轴于点．已知，，则点的坐标为______． 15. 如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点D落在点F处，当为直角三角形时，______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 某小区计划修建一个正方形健身活动区，并在活动区中心设置一个长方形休息平台，其余区域铺设塑胶地面．已知大正方形健身区的边长为米，长方形休息平台的长为米，宽为米． （1）求长方形休息平台的面积． （2）求铺设塑胶地面的面积． 18. 如图，的对角线相交于点O，E，F是上的两点，且．请判断和的数量关系，并说明理由． 19. 为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． （1）为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． （2）请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 20. 如图，四边形是正方形．G是边上任意一点，，垂足为E，，交于点F．若正方形的边长为5，，求的长． 21. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线与的延长线交于点，与交于点，与交于点，且点为边的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，则的长为______． 22. 在学习矩形的性质时，我们由“矩形的对角线相等且互相平分”，可以推导出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论．数学活动课上，小明尝试用尺规作图的方法，作图探究并验证这一结论． 如图，已知，．小明同学设计如下作图步骤：作的垂直平分线交于点D，垂足为点E，连接． （1）请根据小明同学设计的步骤，用无刻度的直尺和圆规在图中完成作图过程（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （2）请根据（1）中作图，证明：． （3）如图2，已知，点E、F分别为的中点，，．求的长． 23. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等四边形”进行研究．定义：有两个相邻的内角是直角，并且只有一组邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． （1）概念理解 如图1，在6×7的小正方形网格纸中，，，三点均在格点上，请找出所有符合条件的格点，使四边形是邻等四边形，在网格中画出四边形． （2）性质探究 如图2，四边形是邻等四边形，，．求证：平分． （3）拓展应用 如图3，在矩形中，，，是边的中点，在边上找一点，使得四边形是邻等四边形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $