精品解析： 河南省洛阳市洛龙区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年第二学期期中学科素养调研 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，根据二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 是整数，则正整数n的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据二次根式性质化简，熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键．对进行化简，再根据是整数解决此题． 【详解】解：， 是整数，则正整数n的最小值是6， 故选：D． 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 6. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①不符合题意； ∵， 设，则， ∴， ∴为直角三角形， 故②不符合题意； ∵， 设，则、， ∴， ∴， ∴，，， ∴不是直角三角形， 故③符合题意； ∵， ∴， ∴为直角三角形， 故④不符合题意， 故选A． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 8. 如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求得AC的长． 【详解】解：如图：连接OB 点B的坐标为， ， 又四边形OABC是矩形， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 10. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，理解网格特点，掌握勾股定理求线段长度的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图可知平分，得到，根据平行四边形的性质得到，得出，继而得到，得到，得出． 【详解】解：由作图可知平分， ， ， ， ， ， ， ． 14. 如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快_____s后，四边形成为矩形． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形是解题的关键．根据矩形的判定定理，可知当时，四边形成为矩形，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴当时，四边形为矩形 由题意得： ∴ ∴ 解得： 故答案为：4． 15. 在中，，，点O为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． 分两种情况：当，得到是等边三角形，即可解题；当时利用正切的定义求解即可． 【详解】分两种情况讨论： ①当时，如图（1），垂直平分， ， 又∵ 是等边三角形， ； ②当时，如图（2）， 则； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化为最简二次根式，并去括号合并即可； （2）把除法转化为乘法，然后根据二次根式的乘法法则计算． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 17. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．原式提公因式，再利用，，求代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 18. 如图，E，F是的对角线上的两点．有如下三个关系：①，②，③．请你从中选择一个合适的关系作为条件，作为结论，得到一个真命题，然后再证明． （1）你选择________（填序号）作为条件； （2）请你完成证明． 【答案】（1）①或③ （2） 证明：选①时，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． 选③时，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ． ． ． ． ． ． ． ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定选出条件即可； （2）根据平行四边形的性质结合两直线平行内错角相等，利用即可证明从而得出结论． 【小问1详解】 解：选①或③均可， 故答案为：①或③； 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，分别是的中点，连接，过点作于点，连接．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题得是的中位线，得到，，得到，根据勾股定理得到． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线， ，． ． ， ， ， 在中，， ． 20. 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝高地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画如下示意图，测得水平距离的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 …… 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程． 【答案】（1）61.5米；（2）20米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 21. 我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念：若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． （1）5与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数． （2）若，试判断与是不是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：不是． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∴与不是关于1的“平衡数”． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算． （1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算5和关于1的“平衡数”； （2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴5与是关于1的“平衡数”， ∵， ∴与是关于1的“平衡数”， 故依次填：，； 【小问2详解】 略 22. 如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，交于点H（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）； （3）连接，若，，则的长为________． 【答案】（1） 证明：， ， 平分，平分， ， ， ， 又， ∴四边形是菱形． （2） 如图即为所求： （3）4 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定定理说明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． （2）先根据尺规作图和题目要求作图即可； （3）先根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据（2）中作图可得， 根据（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了菱形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的性质，尺规作垂线等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． （1）【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． （3）【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【答案】（1），见解析 （2）是等边三角形，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解． （2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证； （3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下， 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； 【小问3详解】 解：点H是边的三等分点， 或2； 由（2）知，， ， 由折叠可知， 当时，则， 设，则， ， 在中，， ， 解得 ， ， 当时，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中学科素养调研 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 是整数，则正整数n的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 10. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为______． 13. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为________． 14. 如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快_____s后，四边形成为矩形． 15. 在中，，，点O为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，，求代数式的值． 18. 如图，E，F是的对角线上的两点．有如下三个关系：①，②，③．请你从中选择一个合适的关系作为条件，作为结论，得到一个真命题，然后再证明． （1）你选择________（填序号）作为条件； （2）请你完成证明． 19. 如图，在中，分别是的中点，连接，过点作于点，连接．若，求的长． 20. 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝高地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画如下示意图，测得水平距离的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 …… 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程． 21. 我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念：若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． （1）5与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数． （2）若，试判断与是不是关于1的“平衡数”，并说明理由． 22. 如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，交于点H（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）； （3）连接，若，，则的长为________． 23. 综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． （1）【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． （3）【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $