山东 济南市育英集团2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省济南市育英教育集团 八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.上周日(4月20日)，恰逢中国二十四节气之“谷雨”，取自“雨生百谷”之意，是二十四节气之第六个 节气，春季的最后一个节气.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代 表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是() 00 B. 2.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.a2-4ab-4b2=(a-2b)2 B.x2-y2-I=y(x-y)-1 C.(x+2y(x-2y)=x2-4y2 D.ax+ay+a=a(x+y+1) 3.图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱MN垂直于地面，点M,N分别是AB, CD的中点，MN=35cm,那么小朋友在游戏中，点B离地面的最大高度是() ⊙ M A(C) D 地面 图1 图2 A.60cm B.35/3cm C.70cm D.70v3cm 4.若m<n,则下列不等式正确的是() A.2m>2n B.m-3>n-3 C.6-m<6-n D.m n 33 5.在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=110°，∠A的度数是() A.70° B.55° C.125° D.110° 第26页共43页 6.若分式-9 的值是零，则x的值是() x-3 A.x=0 B.x=±3 C.x=-3 D.x=3 7.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为() A.AB=CD,AD=BC B.AD=BC,AD//BC C.AB=CD,∠B=∠D D.AB//CD,∠A=∠C 8.如图，一次函数y=c+b与y=-2x+1的图象相交于点P(a,3),则下列说法错误的是（) y=-2x十1y4,y=kc+b A.k>0 B.b>0 P 3 C.关于x的方程+b=3的解是x=-1 D.关于x的不等式x+b<-2x+1的解集是x<3 9.一辆汽车以ν千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要1小时.若该汽车的行驶速度在原来的基础上 增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少() A.vt B.1 mt C.mt D.v-t m+v m+v m+v m+v 10.简单的规则可以涌现出丰富的代数结构，对单项式x进行如下操作：规定a,=b=c=x,计算 =+8-t,么=44，= 1-a11-x 1-x,6=a+4=+2x+1 1-x 称为第一次操作：计算a,=1+4=-1 1-a2x 1+x b3=a,a2a3= 9=4+4,+a,x-2x一中，称为第三次操作：以此类推：①a=-x:②=， x--x as a7 ③当x=2,C2401=-698:④对任意正整数n,等式bn,(c4n-c41)=bn2总成立.以上说法正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。填空题请直接填写答案.） 11.因式分解：a2-4= 12.关于x的方程3x-2m=1的解为正数，则m的取值范围是 第27页共43页 13.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把 直尺边缘的交点为C,点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是一· 7091 B 14.如图，在RtAABC中，∠BAC=90°，AB=4cm,BC=5Cm,将△ABC沿着BC方向平移acm(0<a<5), 得到△DEF,连接AD,则阴影部分的周长为一cm. D G B E C F 15.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，得到△FBE,连接DF并 延长交BC于点G,若BE=AD=3,平行四边形ABCD的面积为6，则FG=一· E B G 三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16.(7分)分解因式： (1)m3-m: (2)2(2-y)x2+8y-2). 2x 17.7分))计第： y 第28页共43页 x-1<0 (2)解不等式组： 23 并写出它的所有整数解 2x-5≤3(x-2)② 18.(7分)如图，在ABCD中，点E、F在对角线AC上，连接BE、DF,AE=CF,求证：BE//DF. A B 19(8分)(1)解分式方程：2-4=1 x-2x2-4x+2 (2)先化简+)子，再从2，-1,1.2中选择-个你喜欢的数作为x的值代入求值。 x-1 第29页共43页 20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,2),B(-1,4),C(-4,5),请解答下列问题： (1)若△ABC经过平移后得到△AB,C,己知点C的坐标为(1,0)作出△AB,C并写出其余两个顶点的坐 标； (2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△AB,C2,作出△ABC2: (3)若将△AB,C绕某一点旋转可得到△A,B,C2,直接写出旋转中心的坐标 5 B 3 A -6-5=4-3=2=11 234 $6x 12 6 21.(10分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知 购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量 少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍. (1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最 多购进多少个甲种粽子？ 第30页共43页 22.(9分)已知：如图1，射线MN⊥AB,点C从M出发，沿射线MN运动，AM=1,MB=4 N N N C AM BAM BAM 图1 备用图 图2 备用图 (1)当△ABC为等腰三角形时，求MC的长： (2)当△ABC为直角三角形时，求MC的长： (3)点C在运动的过程中，若△ABC为锐角三角形，则MC的长度范围是一· 第31页共43页 23.(10分)学习新方法：把比较复杂的单项式、多项式看成一个整体，并用新字母代替（即换元），达到 化繁为简的目的，这种方法称为“换元法”.请阅读以下材料，回答问题： 阅读材料（一）解方程：-1-4红=0时，设y=-1,则原方程化为：y-4=0,方程两边同时乘y得： x x-1 y-4=0,解得：y=2,经检验：y=2都是方程y-4=0的解，：当y=2时，-1=2，解得：x=-1, y 当y=-2时，-=-2，解得：x=}, ,经检验：X=-1或x都是原分式方程的解，原分式方程的 为x=-1或x=3 问题(1)用换元法解分式方程： 3xx-1 x-13x 问题(2)结合“换元法”的思路探究分解因式：(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4. 阅读材料（二）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形. 由图形面积之间的关系可以得到等式a2+b2+2ab=(a+b)2: N R b E A D b H MG 3 0 6 C B 图1 图2 图3 若x满足(8-x(x-2)=14,求(2-2+(x-8)的值。 解：设8-x=a,x-2=b,则(8-x(x-2)=ab=14,a+b=(8-x)+(x-2)=6, .(8-x)2+(x-2)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=62-2×14=8. 问题(3)请仿照上面的方法求解下面问题： ①已知(2024-x)(2023-x)=2022,那么(2024-x)2+(2023-x)2的值为一： ②己知，如图3，正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3,长方 形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，则阴影部分的面积为 第32页共43页 24.(12分)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分别与坐标轴交于A,B两点，点C为x轴正半 轴上一点，且满足3OC=2OB. (1)求直线BC的解析式： (2)如图2，过点A的直线交线段BC于点D,且满足2SD=S4CD,点Q为y轴上一动点，求出点D的 坐标及|AQ-DQ1的最大值： (3)在(2)的条件下，将直线BC沿射线AB方向平移2√2单位长度得到直线1，点N为y轴上任意一点， 在直线1上确定一点M,使得以点A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的 点M的坐标，并任选其中一个点的坐标写出求解过程， y V-R B B D C C 图1 图2 备用图 第33页共43页 25.(12分)图中△ABC和△ADE是两个等边三角形，其中AB=6,AD=3,如图① (1)将两三角形按图1放置（点A,D,C在同一条直线上），连接线段BD,CE,直接写出线段CE的 长度为一； (2)将△ADE绕点A逆时针旋转a,如图2所示，直线BD,CE相交于点F,连接AF,求证： ∠AFB=∠AFE: (3)以图1的位置为起点，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<a<360),当点B,D,E恰好在一条 直线上时，直接写出线段CE的长度， E A E A D D B C B CB 图1 图2 备用图 第34页共43页 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.) 题号 2 3 5 6 7 10 答案 D A B D B D 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 填空题请直接填写答案.) 11.答案为：(a+2)(a-2): 12.答案为：m>-2 1 13.答案为：3： 14.答案为：12： 15.答案为：3-V5! 【解答】解：，把△ABE沿BE翻折，得到△FBE, ,'.AE=EF,∠AEB=∠FEB, ∠ABB=3(180°-∠DBF, ,E为AD边的中点， ∴AE=DE, .DE=EF, ∴.∠EDF=∠EFD, :∠BDF=Z(180°-∠DBR), .∠AEB=∠EDF, .BE∥DG, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.DE∥BG, ∴.四边形BEDG为平行四边形： ∴DE=BG,DG=BE=3, ,四边形ABCD是平行四边形，AE=DE,口ABCD的面积等于6， SAg=子8行号A8cD 3 连接AF交BE于H,则AH⊥BE,AH=HF, BE=3, ∴AH=1, AF=2, ,BE∥DG, AF⊥DG, ..DF=VAD2-AF2=V32-22=5, ..FG=DG-FD=3-V5, 故答案为：3-√5. E A D H G 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练正确折叠的性 质是解题的关键， 三、解答题（本大题共10个小题，共90分.解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本题满分7分) 【解答】(1)m2-4叶4=(m-2)2; 3分 (2)原式=2(2-y)x2-8(2-y) =2(2-y)(x2-4) ..5分 =2(2-y)(x+2)(x-2). .7分 17.(本题满分7分) 【解答】1（分P÷多 =x2 y 4y2'2x =8y 3分 (2)解不等式①得：x<3, .....4分 解不等式②得：x≥1， ....5分 原不等式组的解集为：1≤x<3,6分 .原不等式组的整数解为：1,2.7分 18.(本题满分7分) 【解答】证明：，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线AC上， AB=CD,....1分 ABI∥CD, .2分 ∠BAE=∠DCF.3分 在△ABE和△CDF中， (AB=CD ∠BAE=∠DCF AE =CF .△ABE≌△CDF(AS),.....5分 ∠ABE=∠CDF,.6分 ∴.BE∥DF .7分 19 (本题满分8分) 2 41 【解答】(1)解方程： x-2x2-4x+2 去分母得：2（x+2)-4=x-2, 解得：x=-2,.3分 经检验x=-2是原方程的增根， ∴.原方程无解 4分 (2)解：(+1)当 2x+1+x2-1X-1 x+1)x-1)x+2 x(x+2),x-1 (x+1)x-1)x+2 =x+1 .7分 .x+1≠0，x-1≠0，x+2≠0， ∴.x≠-1,1，-2， 当x=2时，原式=241= 22 .8分 20.(本题满分8分) 【解答】(1)如图所示△41B1C1即为所求，.2分 点A1(3,-3),B1(4,-1)；..4分 (2)如图：△ABC3即为所求.....6分 (1)(2)问如没有下结论共扣1分 (3)(5,0).8分 -6-5=4一3= 13 15 6 21.(本题满分10分) 【解答】解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，.1分 8001200 依题意得： 2x =50,3分 解得：x=4,.4分 经检验，x=4是原方程的解，..5分 则2x=8, 答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元..6分 (2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200-m)个，…7分 依题意得：8什4(200-m)≤1150，.8分 解得：≤87.5，.9分 答：最多购进87个甲种粽子.10分 22.(本题满分9分) 【解答】解：(1)如图1， 当CB=AB时，在Rt△MCB, .MB=4,AM=1, AB=5, .CM=V52-平=3；2分 当AB=AC时， 在Rt△MCA, CM52-12=2V6: ....4分 当AC=BC时，C在AB的垂直平分线上，与条件不合， (2)如图，，当∠ACB=90°时，由勾股定理得AC2+BC2=AB, 又，在Rt△MCA,由勾股定理得：AC2=AM+Cf, 在Rt△MCB由勾股定理得：BC2=BMF+Cf, ..AM+CM+BM+CM=AB2, .'AM=1,MB=4,AB=5, .2CM+17=25,解得CM=2;.7分 (3),由(2)得，当CM=2时，△ABC是直角三角形， .当CM>2时，△ABC为锐角三角形 故答案为：CM>2......9分 B 图1 图2 23.(本题满分10分) 问题(1)【解答】设=各，则原方程可化为)=子 去分母并移项，得y2=1.1分 解得：y1=-1y2=1, 、3 11,或3 =-1 x-1 解得：x=会或=子 经检验，x=一和均是原方程的根， 分式方程的解为x1=-云双=子3分 1 问题(2)【解答】设x2-4x=a, 则(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4 =(H2)(a+6)+4 =a2+8a+16 =(t4)2, ...5分 则原式=(x2-4x+4)2 =(x-2)4.6分 问题(3)【答案】4045；..8分 28..10分 【解答】 ①由上面过程，记a=2024-x,b=2023-x, 原式等于b=2022, 则(2024-x)2+(2023-x)2=a2+b, ,(a-b)2=a2+b2-2ab, 即[2024-x-(2023-x)]2=2+b2-2×2022, 解得(2024-x)2+(2023-x)2=a2+b2=4045: ②依题意，得DF=x-3,MF=x-1, ,长方形EMFD的面积是48 .(x-1)(x-3)=48=(x-2+1)(x-2-1) 令t=x-2 .(t什1)(t-1)=t2-1=48 ∴.t=±7 ∴.x-2=7,x-2=-7, .x=9,x=-5(舍去) 则阴影部分的面积为(x-1)2-(x-3)2=(x-1+x-3)(x-1-x+3)=4x-8=36-8=28. 24.(本题满分12分) 【解答】解：(1)直线y=x+3分别与坐标轴交于A,B两点，则点A、B的坐标分别为：(-3,0)、(0， 3), …1分 30C=20B,则0C=2,即点C(2,0),.2分 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：=多+3：4分 (2)设直线AD交)拍于点B,设点D(m,-多3)。 由点，D前泰得.显线0的我选式为6：3》测收B0 9 m+3 则BB=33+9 15m m+3= 2m+6' :2,0=S40D.即吃x1cXD=BE×D-,吃×5×(-+3)= 15m)×(mt3), 2m+6 2 解得：= ,即点D 2):..6分（过程1分结果1分，酌情扣） 取D关于y轴对称点D',则D'(-子2)， ..DO=D'2, .AQ-D'Q≥AD', .AQ-Dg的最大值为AD'= V(-3+)+22= 3 .....8分（过程1分结果1分，酌情扣) (3)将直线BC沿射线AB方向平移2V2单位长度，即向右向上分别平移了2个单位， 则直线1的表达式为：y-多(x-2》+3+2=-多+8，设点M(m,-多+8)，点N(0,), 3 当AD为对角线时， 由时点坐标公式得：专-=0，则m一子即点1（一子孕。 3 当AN或AM为对角线时， 同理可得：·3=m+载m3=0+导则m-号号即点M(-号孕度号多》 综上，M(子受或（号孕或号， .12分（三个答案各1分，过程1分） 25.（本题满分12分) (1)【答案】33：.4分 【解答】解：'△ABC和△ADE均为等边三角形， .AB=AC=6,AD=AE=3,∠BAC=∠DAE=60°， .CD=AC-AD=6-3=3, .点D为AC的中点，AD=CD=3, BD⊥CD, 在Rt△ABD中，BD=VAB2-AD2=V62-3Z=3V3, 在△ABD和△ACE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE, (AD =AE .△ABD≌△ACE（SAS), ∴，BD=CE=3V3: (2)【解答】证明：如图，分别过点A作AM⊥CE于点M,AN⊥BD于点N, E D ,△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,.5分 在△ABD和△ACE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD -AE .△ABD≌△ACE(SAS),.6分 ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, ,∠ABDH∠BAC=∠ACE+∠BFC, ∴.∠BAC=∠BFC=60°， ,AM⊥CE,AN⊥BD, ∴.∠AMC=∠ANB=90°， 在△ACM和△ABN中， (LAMC=∠ANB ∠ACM=∠ABN, (AC=AB ∴.△ACM≌△ABN(AAS), ..AN=AM, .7分 又，AM⊥CE,AN⊥BD, AF为∠BFE的平分线， ∴.∠AFB=∠AFE; .8分 (3)解：当点B,D,E恰好在一条直线上时，如图，过点A作AHLBE于点H, D B ,△ADE等边三角形，AD=3, “DH=2 在Rt△1DH中，AH=AD2-Dm=32-()2=3 2 在Rt△ABH中，BH=VAB2-AH2= .313 2 ..BD=BH-DH-3V13-3 2 由(1)同理可得：△ABD≌△ACE(AS), CE=BD=313-3 2 .10分（过程1分结果1分，酌情扣） 当点B,D,E恰好在一条直线上时，如图，过点A作AH⊥BD于点H, A B C 同理可得：DH=多B=3Y国 2■ 此时，BD=BH-DH=3V13+3 2 由（1)同理可得：△ABD≌△ACE(S4S), ..CR=BD=313+3 2 .12分（过程1分结果1分，酌情扣） 综上，线段CE的长度为3V13-3或3V13+3 一或 2 a▣ 关注公众号：泉城家长指南 扫码添加安安老师 获取更多中考资讯 拉您进初中家长交流群