第9章 分式 解答题专项突破 （六大板块）2025-2026学年沪科版数学七年级下册

**基本信息** 本练习以“基础运算—化简求值—方程应用”为主线分层设计，覆盖分式全知识点，通过生活情境题培养模型意识与应用能力，适配单元复习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础运算层|分式运算、化简求值、方程求解|从单一计算到含字母化简，梯度提升运算能力| |应用理解层|销售、工程、行程问题|结合端午、低碳等情境，构建分式方程模型，发展数学表达与问题解决能力|

解答题专项突破之分式2025-2026学年沪科版 七年级下册（六大板块） 板块一：分式运算 1.计算： （1）； （2）． 2．计算： (1) (2) 3．计算下列各题： (1)(2) 4.计算： 5．化简： （1）； （2）． 板块二：分式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值。 3．先化简，再求值：，其中为整数且满足不等式组 4．先化简，再求值：，其中满足. 板块三：分式方程 1.解方程：． 2.解方程： (1) (2) 3．解下列方程： (1)(2) 4.解分式方程： （1）；（2）． 板块四：分式方程应用题之销售问题 1.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽的盒数相同． (1) 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (2) 某商家准备用不超过4000元购进猪肉粽和豆沙粽共120盒，那么该商家最多可以购进多少盒猪肉粽？ 2.随着新会陈皮知名度的增大，新会柑的需求量每年在上升．某柑农销售圈枝柑和驳枝柑两个品种的新会柑，由于圈枝柑种植条件高，产量低，圈枝柑每斤售价比驳枝柑售价多8元，销量是驳枝柑的，圈枝柑的销售额是16万元，驳枝柑的销售额是40万元． （1）求两个品种的新会柑每斤售价； （2）某采购商预计用不超过38.4万元的金额购买两个品种的新会柑共4万斤，求最多可购买圈枝柑多少斤． 3.某校为了改善办公条件，计划从厂家购买A、B两种型号电脑．已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多0.1万元，且用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万元购买B种型号电脑的数量相同． (1) 求A、B两种型号电脑每台价格各为多少万元？ (2) 学校预计用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑共20台，其中A种型号电脑至少要购进10台，请问有哪几种购买方案？ 板块五：分式方程应用题之工程问题 1.豆腐文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为1.5万元和1.1万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： (1)甲队单独做这项工程刚好如期完成. (2)乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天. (3)若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成.在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由. 2.长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风景线，它的设计和造型每年都有变化．在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取600吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了20%，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？ 3.为了进一步丰富市民的休闲生活，某区政府决定在漓江沿岸扩建5400米绿道并进行招标，根据招标结果，该工程由甲、乙两个工程队参与建设．已知：甲工程队每天完成的工程量是乙队的1.2倍，甲队单独完成工程比乙队单独完成少用10天． (1) 求乙队每天能完成多少米？ (2) 若甲、乙两个工程队合作20天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求乙工程队还需多少天？ 板块六：分式方程应用题之行程问题 1.一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时． 2.王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 3.某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟． (1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？ (2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 【答案】 解答题专项突破之分式2025-2026学年沪科版 七年级下册（六大板块） 板块一：分式运算 1.计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣ （2） 【解答】解：（1）原式＝﹣； （2）原式＝• ＝． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)1(2) 【详解】（1）解：． （2）解： ． 3．计算下列各题： (1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： 4.计算： 【答案】 解： = = = =； 5．化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】解：（1）； （2）原式． 板块二：分式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】解： 当 上式 2．先化简，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值。 【答案】解：1﹣ ÷ ＝1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝， 当x＝2时，原式＝＝． 3．先化简，再求值：，其中为整数且满足不等式组 【答案】解：原式 ， 解不等式组得， 则不等式组的整数解为3， 当时，原式． 4．先化简，再求值：，其中满足. 【答案】解：原式=÷ =× =× =3x2+9x， ∵x2+3x－1=0， ∴x2+3x=1， ∴原式=3x2+9x=3（x2+3x）=3×1=3. 板块三：分式方程 1.解方程：． 【答案】解：， 去分母，得2x（x+1）﹣（x﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）． 去括号，得2x2+2x﹣x+1＝2x2﹣2． 移项，得2x2+2x﹣x﹣2x2＝﹣2﹣1． 合并同类项，得x＝﹣3． 经检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0． ∴这个方程的解为x＝﹣3． 2.解方程： (2) (2) 【答案】 (1) 解：， 去分母得：2x=3x-6， 解得：x=6， 检验：当x=6时，x（x-2）≠0， ∴x=6是原方程的根； (2) 解：， 去分母得：（x+1）2-4=x2-1， 整理得：2x=2， 解得：x=1， 检验：当x=1时，x2-1=0， ∴x=1是分式方程的增根， ∴原方程无解． 3．解下列方程： (1)(2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【解析】（1）解：去分母得 去括号得 移项并合并同类项得 解得 经检验，是原方程的根， 原分式方程的解是； （2）解：将原方程变形为 去分母得 解得 经检验，不是原方程的根， 原分式方程无解． 4.解分式方程： （1）；（2）． 【答案】解：（1）， ， 3（x﹣3）＝x， 3x﹣9＝x， 2x＝9， x＝4.5， 检验：当x＝4.5时，x（x+3）（x﹣3）≠0， ∴x＝4.5是原分式方程的解； （2）， ， 8+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2）， 8+x2﹣4＝x2+2x， 2x＝4， x＝2， 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴原分式方程无解． 板块四：分式方程应用题之销售问题 1.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽的盒数相同． (1) 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (2) 某商家准备用不超过4000元购进猪肉粽和豆沙粽共120盒，那么该商家最多可以购进多少盒猪肉粽？ 【答案】（1）解：设猪肉粽的进价为每盒x元， 根据题意，得， 解得x=40， 经检验，x=40是原方程的根，且符合题意， 40-10=30（元）， 答：猪肉粽的进价为每盒40元，豆沙粽的进价为每盒30元； （2）解：设该商家购进m盒猪肉粽， 根据题意，得40m+30（120-m）≤4000， 解得m≤40， 答：该商家最多可购进40盒猪肉粽． 2.随着新会陈皮知名度的增大，新会柑的需求量每年在上升．某柑农销售圈枝柑和驳枝柑两个品种的新会柑，由于圈枝柑种植条件高，产量低，圈枝柑每斤售价比驳枝柑售价多8元，销量是驳枝柑的，圈枝柑的销售额是16万元，驳枝柑的销售额是40万元． （1）求两个品种的新会柑每斤售价； （2）某采购商预计用不超过38.4万元的金额购买两个品种的新会柑共4万斤，求最多可购买圈枝柑多少斤． 【答案】解：（1）设驳枝柑每斤售价x元，则圈枝柑每斤售价元． 列方程得：， 解得：． 经检验：是原方程的解． 圈枝柑每斤售价为8+8=16(元)． 答：驳枝柑每斤售价8元，则圈枝柑每斤售价16元． （2）设购买圈枝柑a斤， ， 解得：． 答：最多可购买圈枝柑8000斤． 3.某校为了改善办公条件，计划从厂家购买A、B两种型号电脑．已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多0.1万元，且用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万元购买B种型号电脑的数量相同． (1) 求A、B两种型号电脑每台价格各为多少万元？ (2) 学校预计用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑共20台，其中A种型号电脑至少要购进10台，请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)解：设A种型号电脑每台价格为x万元，则B种型号电脑每台价格（x﹣0.1）万元． 根据题意得： ，解得， 经检验：x＝0.5是原方程的解， x﹣0.1＝0.4， 答：A、B两种型号电脑每台价格分别是0.5万元和0.4万元． (2)解：设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台． 根据题意得：0.5y+0.4（20﹣y）≤9.2， 解得：y≤12， 又∵A种型号电脑至少要购进10台， ∴10≤y≤12，y的整数解为10、11、12， ∴有3种方案． 即：购买A种型号电脑10台、购买B种型号电脑10台； 购买A种型号电脑11台、购买B种型号电脑9台； 购买A种型号电脑12台、购买B种型号电脑8台． 板块五：分式方程应用题之工程问题 1.豆腐文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为1.5万元和1.1万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： (1)甲队单独做这项工程刚好如期完成. (2)乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天. (3)若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成.在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由. 【答案】解：工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用(x+5)天， 根据题意得：，解得x=20， 经检验知x=20是原方程的解，且适合题意， 所以在不耽误工期的情况下，有方案(1)和方案(3)两种方案合乎要求. 但方案(1)需工程款1.5×20=30(万元) 方案(3)需工程款1.5×4+1.1×20=28(万元) 故方案(3)最节省工程款且不误工期. 2.长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风景线，它的设计和造型每年都有变化．在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取600吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了20%，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？ 【答案】解：设公司原计划每天取冰块x吨． 根据题意，得：． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：公司原计划每天取冰块100吨． 3.为了进一步丰富市民的休闲生活，某区政府决定在漓江沿岸扩建5400米绿道并进行招标，根据招标结果，该工程由甲、乙两个工程队参与建设．已知：甲工程队每天完成的工程量是乙队的1.2倍，甲队单独完成工程比乙队单独完成少用10天． (1) 求乙队每天能完成多少米？ (2) 若甲、乙两个工程队合作20天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求乙工程队还需多少天？ 【答案】(1)解：设乙队每天能完成x米， 由题意可得，， 解得：x=90， 经检验，x=90是原方程的解，且符合题意． 答：乙队每天能完成90米； (2)解：设乙工程队还需y天， 由题意可得，， 解得：y=16 ， 答：乙工程队还需16天． 板块六：分式方程应用题之行程问题 1.一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时． 【答案】16千米/时 【详解】设江水的流速为千米/时，根据题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：江水的流速为16千米/时． 2.王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 【答案】(1)48千米/小时 (2)千克 【解析】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时． （2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时）， 则（千克）， 答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量． 3.某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟． (1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？ (2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 【答案】(1)280米/分钟 (2)2100米 【详解】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟, 根据题意得，， 解得，， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟； （2）设这段坡路的下坡路程是y米， ∵上坡的平均速度是，，下坡的平均速度是， ∴根据题意得，， 解得，， ∴， 答：这段坡路的总路程是2100米． 学科网（北京）股份有限公司 $