精品解析：天津市民族中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷

高一数学期中试卷 一、单选题 1. 复数， 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若的面积为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设复数z满足，则|z|=（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 6. 已知向量，且，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（ ） A. B. C. D. 12. 在中， 是中点，，，， 则 （ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知i是虚数单位，复数______． 14. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 15. 若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值______． 16. 已知等边三角形的边长为2，点满足，则=___________． 17. 的内角的对边分别为，若，则____. 18. 在中，，则的外接圆半径为__________. 19. 已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 20. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 三、解答题（共40分） 21. 已知复数，当取何实数值时，复数z是： （1）纯虚数； （2）； （3）z对应的点位于复平面的第四象限 22. 设的内角所对的边为，且，求： （1）角． （2）若， 的周长为8，求的面积 23. 在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB． （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值 24. 已知，，且与的夹角为． （1）求在上的投影向量； （2）若，求实数的值； （3）求向量与向量夹角的余弦值． 25. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，， （1）求a的值； （2）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中试卷 一、单选题 1. 复数， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，即可得出结论. 【详解】由题意， ， 故选：D. 2. 已知向量，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得，再利用向量垂直的坐标运算，可得，进而可得，，即可求解. 【详解】因为，得到，化简得，所以， 又，所以，得到， 所以，则，， 所以的面积为， 故选：A. 3. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求出，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 【详解】由题意知， 令， 所以复数的共轭复数为， 故选：C 4. 在中，若的面积为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式可得出的值. 【详解】在中，因为，则，故，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，， 由三角形的面积公式可得，可得. 故选：B. 5. 设复数z满足，则|z|=（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算求得，再求其模长即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 6. 已知向量，且，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，即可得答案. 【详解】因，所以， 即. 故选：C 7. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，即， 所以，又，则， 又，则， 所以. 故选：C 8. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由题意根据正弦定理及和差公式可得，由及诱导公式可得，结合为三角形的内角可得，即可得结果. 【详解】， 由正弦定理得， 则，又， 可得， 为三角形的内角， ， 所以一定是等腰三角形. 故选：. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算可得，再根据共轭复数的定义即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 10. 如图，中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得出关于、的表达式. 【详解】在中，，，故， ， 因此. 故选：A. 11. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面几何知识推出为的中点，且，再利用平面向量的线性运算可得出关于、的关系式. 【详解】如下图所示： 因为，则，所以，，， 所以，， 因此，， 故选：D. 12. 在中， 是中点，，，， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先转化向量，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】由余弦定理可知，， ， . 故选：B 二、填空题 13. 已知i是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，即可求得答案． 【详解】复数． 故答案为：. 14. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得且向量不共线，即可求解. 【详解】因为，，则， 又与的夹角为锐角，则，所以，解得， 当时，有，得到，此时，， 同向共线，，故不合题意， 所以实数的取值范围是. 15. 若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， ， 三点共线， ， 16. 已知等边三角形的边长为2，点满足，则=___________． 【答案】3 【解析】 【详解】由可知为中点，所以 17. 的内角的对边分别为，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】 由正弦定理将条件等式化边为角，结合两角和的正弦，即可求解. 【详解】由题设及正弦定理得， 所以.又， 所以，所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查两角和正弦公式的应用，属于基础题. 18. 在中，，则的外接圆半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出边BC长，再利用正弦定理计算作答. 【详解】在中，由余弦定理得：， 所以的外接圆半径. 故答案为： 19. 已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 【答案】 【解析】 【详解】如图，因为，所以， 则， 因为三点共线， 所以，所以. 20. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 【答案】 【解析】 【分析】分别在以及表示出，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为： 三、解答题（共40分） 21. 已知复数，当取何实数值时，复数z是： （1）纯虚数； （2）； （3）z对应的点位于复平面的第四象限 【答案】（1）0； （2）2； （3）0. 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列式计算作答. （2）利用复数相等，列式求解作答. （3）利用复数对应点的位置，列出不等式求解作答. 【小问1详解】 若复数是纯虚数，则，解得， 所以当时，复数z是纯虚数. 【小问2详解】 依题意，，解得， 所以当时，. 【小问3详解】 依题意， ，解得0， 所以当时，z对应的点位于复平面的第四象限. 22. 设的内角所对的边为，且，求： （1）角． （2）若， 的周长为8，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变化可得，进而可得. （2）由余弦定理可得，由三角形面积公式可得. 【小问1详解】 因，由正弦定理得, 得，又+，得， 因为，得； 【小问2详解】 由余弦定理得， 得，得， . 23. 在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB． （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值 【答案】（1）B=60°（2） 【解析】 【详解】（1)由正弦定理得 【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理 24. 已知，，且与的夹角为． （1）求在上的投影向量； （2）若，求实数的值； （3）求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合投影向量的概念与计算公式，准确计算，即可求解； （2）根据，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解； （3）根据题意，求得且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，，且与的夹角为， 所以． 则在上的投影向量为. 【小问2详解】 解：因为，所以， 即，即，解得． 【小问3详解】 解：因为， 且， 设向量与向量的夹角为，则， 即向量与向量夹角的余弦值为． 25. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，， （1）求a的值； （2）求的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）直接由余弦定理即可求解； （2）由二倍角公式得，再结合两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理，，即， 而，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以， 所以， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $