精品解析：天津市南开大学附属中学2025-2026学年高一年级下学期5月期中考试数学试题

南开大学附中25-26学年度下学期期中检测 高一数学学科试卷 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设i为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求得. 【详解】， 所以. 故选：A. 2. 在中，是角的对边，，则角的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理计算，结合三角形内角范围即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得，则， 因，则的值为或. 故选：D. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 4. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则 确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 5. 若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍 A. 9 B. 27 C. 81 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比的立方. 【详解】设扩大后球半径分别为，而球原来的半径为， 由表面积之比为，得， 则体积之比为. 故选：B. 6. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错； 选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量两平面垂直， 即为它们的法向量垂直，则，B正确； 选项C，若，且，则或，C错； 选项D，若，则可能有，也可能相交，D错. 故选：B． 7. 若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆锥的底面半径与高，设棱柱的底面对角线长的一半为，高为h，根据比例式得出，h的关系，可求的值，根据柱体的体积公式可得答案． 【详解】设圆锥底面半径为，因为母线长为, 则半圆弧长底面周长， 所以，圆锥的高为 如图，设，则，设，则， 因为， ∴， 所以， ∴，， 故选：C． 8. 四边形是边长为的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设点，其中， 所以，，， 所以，， 因为函数在区间上单调递减， 当时，取最小值. 故选：B. 9. 在中，，，分别是角，，的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ①若，则是等腰三角形； ②若，则是等腰三角形； ③若，则一定是锐角三角形； ④在中，，，若有一个解，则的取值范围是或. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理推理判断①③；利用正弦定理边化角推理判断②；利用正弦定理求出范围判断④即可. 【详解】对于①，，是等腰三角形，①正确； 对于②，由，得，即， 而，则或，即或， 是等腰三角形或直角三角形，②错误； 对于③，由，得，则为锐角， 而之一可以不是锐角，如，则不一定是锐角三角形，③错误； 对于④，，由有一个解，得 或，因此或，④正确. 10. 若非零向量与满足且，则为（ ）． A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由得的平分线垂直于得，利用向量夹角公式得，得即可求解. 【详解】由，所以的平分线垂直于，所以， 又，即，所以为等边三角形． 故选：D． 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则复数的虚部为_________ 【答案】 【解析】 【分析】设，利用复数的乘法运算即可求解. 【详解】设， 由， 则， 即， 即，解得或， 所以或. 则复数的虚部为. 故答案为：. 12. 已知在上的投影向量为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义及平面向量的数量积公式计算即可. 【详解】设与的夹角为， . 故答案为： 13. 一圆台的母线长为，两底面的面积分别为和，则此圆台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得上下底面的半径，结合几何体特征，可求得圆台的高，进而可求得圆台的体积. 【详解】由已知可得，上底面半径，下底面半径，又因为母线长， 所以， 即圆台的高为， 所以圆台的体积为 . 故答案为：. 14. 如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】底面正方形的对角线即球的直径，利用直三棱柱的性质及勾股定理可以求得的面积，从而求体积. 【详解】如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径， 则， 取的中点，连接 易知：底面中∥，， 则面，即为直角三角形，由勾股定理可得：，故 所以 故答案为： 15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设BD与AE的交点为O，结合比例关系可求出，得出，则可代换为，结合三点共线性质得，原式代换为，再结合基本不等式即可求解 【详解】如图， 设BD与AE的交点为O，则由，得，所以，所以.由点O，F，B共线，得，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量三点共线性质的应用，基本不等式求最值，属于中档题 三、解答题（共5道题，16-18每题10分，19题12分，20题13分共55分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. （1）求的值； （2）求的值； （3）若复数满足，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得，即可求解； （2）利用虚数单位的性质，即可求解； （3）设，根据条件，利用复数的几何意义和圆的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 则，解得，所以的值为. 【小问2详解】 由（1）知，又， 则， 所以. 【小问3详解】 设，由（1）知， 又，即，所以，即， 所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又，其表示点到点的距离， 又，所以的最大值为. 17. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 18. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的判定进行证明. 【小问1详解】 显然平面，于是. 【小问2详解】 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； 【小问3详解】 为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 19. 已知向量满足，且与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值； （3）若向量与平行，求实数的值. 【答案】（1）7 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的运算结合模长的运算可得； （2）利用垂直的向量表示和数量积的运算律可得； （3）利用向量共线的条件列方程组可得. 【小问1详解】 由题意可得， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 解得. 【小问3详解】 因为向量与平行， 所以存在实数使得， 所以，即解得或. 20. 在平行六面体中，,． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论. 详解： 证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1． 因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C． （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形． 又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1⊥A1B． 又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC． 又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC． 因为AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC． 点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开大学附中25-26学年度下学期期中检测 高一数学学科试卷 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设i为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 在中，是角的对边，，则角的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍 A. 9 B. 27 C. 81 D. 729 6. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 四边形是边长为的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，分别是角，，的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ①若，则是等腰三角形； ②若，则是等腰三角形； ③若，则一定是锐角三角形； ④在中，，，若有一个解，则的取值范围是或. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 若非零向量与满足且，则为（ ）． A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则复数的虚部为_________ 12. 已知在上的投影向量为，则的值为__________. 13. 一圆台的母线长为，两底面的面积分别为和，则此圆台的体积为______. 14. 如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________. 15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若，则的最大值为___________. 三、解答题（共5道题，16-18每题10分，19题12分，20题13分共55分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. （1）求的值； （2）求的值； （3）若复数满足，求的最大值. 17. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 19. 已知向量满足，且与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值； （3）若向量与平行，求实数的值. 20. 在平行六面体中，,． 求证：（1）； （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $