精品解析：浙江台州市椒江区海山教育联盟2025-2026学年第二学期知识类拓展评估 八年级数学 试题

海山教育联盟2025学年第二学期八年级知识类拓展评估 数学试题卷 温馨提示：1.全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效. 3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破. 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不得分） 1. 以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列式子属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式 【详解】解：A . 满足两个条件，是最简二次根式； B .，被开方数含分母，不是最简二次根式； C .，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D .，被开方数含分母，不是最简二次根式 3. 如图，已知在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形对角相等可得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 4. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式， 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和可得： ， 解得：， ∴该多边形的边数为5， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法，二次根式的除法，二次根式的乘法以及求一个数的算术平方根，根据二次根式的减法法则，二次根式的除法法则，二次根式的乘法法则，以及算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法-“等式两边加上一次项系数一半的平方”可直接进行排除选项． 【详解】解：根据配方法可得：， ， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 7. 如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 8. 某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 10. 关于x的一元二次方程（）有两个相等的实数根，则下列成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】先根据根的判别式推出，则，进而可得原方程为，解得，求出，再根据的符号与的符号关系进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴原方程为， 解得， ∴， 若，则，即，则， 若，则，即，则，故A错误，不符合题意； 若，则，即，则，故C正确，符合题意； 若，则，即，故B、D错误，不符合题意. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 13. 已知是整数，则正整数的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简，根据化简结果即可解答． 【详解】解：是整数，是正整数， 又， 是完全平方数， 最小的正整数的值为． 14. 如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 点在边上， ， 在中，， ． 15. 关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，利用换元思想对比已知方程与待求方程的结构，根据已知方程的解即可得到待求方程的解． 【详解】解：将已知方程整理得 ，其解为． 将待求解方程 变形为 令，则方程变为 ，可得 ， 即或， 解得． 16. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点，，，则对角线的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设点D的坐标为，利用平行四边形对角线中点坐标相同求出，则由勾股定理可得 ，由此利用配方法求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴与的中点坐标相同， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴对角线的最小值为． 三、解答题（本题共有8小题，第17-21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算时阶梯的关键． （1）先根据二次根式的性质及二次根式的除法计算，再进行二次根式的减法运算，即得答案； （2）根据平方差公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解:原式 ； 【小问2详解】 解:原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解： ， ∴或， 解得：， 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． （1）画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． （2）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 【答案】（1）画图见解析， （2）或或 【解析】 【分析】（1）画出绕点C顺时针旋转所得的，即可写出点坐标； （2）画出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，即可写出点D坐标． 【小问1详解】 解：如图，绕点C顺时针旋转所得的，点坐标为． 【小问2详解】 解：如图，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴点D坐标为，，． 20. 如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵ ∴，即 在和中， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 21. 已知关于的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得（负值舍去）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 22. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法，是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法，进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 原式 ． 23. 某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块平方米的校园农场上种植玉米．经试验发现，每平方米种植株时，每株产量是千克；每平方米每增加株，平均每株产量减少千克；每平方米最多种植株．设每平方米增加株． （1）增加后每平方米有______株，单株产量为______千克．（用含的代数式表示） （2）如果这块农场的玉米总产量为千克，则每平方米应种植多少株？ （3）用含的式子表示这块农场玉米的总产量，如果这块农场的玉米总产量达到最大，求出此时的值和最大的总产量． 【答案】（1）； （2）每平方米应种植株 （3），当时，玉米总产量最大为千克 【解析】 【分析】（1）根据题意直接用表示出株数与单株产量即可； （2）按“总产量株数单株产量面积”列方程，结合种植上限筛选出有效解即可； （3）构建总产量的二次函数，根据函数性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：原来每平方米种株，增加株，所以是株； 原来每株产量千克，每增加株减少千克，增加株就减少 千克，所以单株产量为千克； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得：， ∵每平方米最多种植株，即 ， 解得， ∴， 此时每平方米应种植株； 【小问3详解】 解：设总产量为千克，则： ， 由题意可知， ， 解得， 又∵为增加的株数，即， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵函数对称轴为，在范围内， ∴当时，玉米总产量最大为千克． 24. 在平行四边形中，已知，，的面积为，将线段绕点旋转一周，点的对应点为． （1）如图1，当恰好落在上时，过点作的平分线交于点，连接．求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，当旋转角为时，连接，并延长交于点．求线段的长． （3）连接及，当为直角三角形时，求的长度（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可证，根据等角对等边可证，根据平行四边形的性质和旋转的性质可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）过点作于点，根据直角三角形的性质可知，设，则 ，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，根据勾股定理可得，解方程即可求出的长度，从而可得的长度，再根据线段之间的关系求出的长度； （3）根据为直角三角形，分情况讨论即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 由旋转可知， ， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 的面积为， ， ， 旋转角为， ， 由旋转可知， 是等边三角形， ，， ， ， 设，则 ， 在中，， ， 解得：， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时， 如下图所示， 则有，， ，的面积为， ， 在中， ， ， 由旋转可知， ， ； 如下图所示，作点关于的对称点， 则有 ， ； 当 时，如下图所示，作于点，过点作， 由（2）可知， 作点关于的对称点， 在中，， 则有 ，，， 设 ， 则， ，， 在 中，， ， 解得：，（负值，舍去）， ，， ， ， ， 解得：， ， 点是的中点， 是的垂直平分线， ， 当 时，； 当 时，如下图所示，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点， 则， ，的面积为， ， ， ； 综上所述，当或或或时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海山教育联盟2025学年第二学期八年级知识类拓展评估 数学试题卷 温馨提示：1.全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效. 3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破. 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不得分） 1. 以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的一元二次方程（）有两个相等的实数根，则下列成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 13. 已知是整数，则正整数的最小值为______． 14. 如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 15. 关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______． 16. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点，，，则对角线的最小值是______． 三、解答题（本题共有8小题，第17-21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． （1）画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． （2）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 20. 如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的度数． 21. 已知关于的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 22. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 23. 某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块平方米的校园农场上种植玉米．经试验发现，每平方米种植株时，每株产量是千克；每平方米每增加株，平均每株产量减少千克；每平方米最多种植株．设每平方米增加株． （1）增加后每平方米有______株，单株产量为______千克．（用含的代数式表示） （2）如果这块农场的玉米总产量为千克，则每平方米应种植多少株？ （3）用含的式子表示这块农场玉米的总产量，如果这块农场的玉米总产量达到最大，求出此时的值和最大的总产量． 24. 在平行四边形中，已知，，的面积为，将线段绕点旋转一周，点的对应点为． （1）如图1，当恰好落在上时，过点作的平分线交于点，连接．求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，当旋转角为时，连接，并延长交于点．求线段的长． （3）连接及，当为直角三角形时，求的长度（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $