精品解析：浙江杭州外国语学校2025--2026学年下学期八年级期中考试数学试卷

杭州外国语学校2025-2初二年级期中考试数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本试卷分试题卷和答题卷两部分． 3．作图时，请使用2B铅笔，确定后用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除运算法则，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：、与不是同类二次根式，无法合并，，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算正确，符合题意． 3. 六边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵边形的内角和公式为，六边形的边数． ∴六边形的内角和为． 4. 估算的值在（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 6与7之间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算的取值范围，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， 即． 5. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求得，继而根据旋转的性质即可求得答案 【详解】解：，， ， 是由旋转得到， 旋转角为． 6. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 7. 已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】将新方程中的看作整体，对应原方程的未知数，再分别解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：令则新方程可化为， 原方程的解为，， ∴的解是或， 即或， 当时，整理得， 此方程无实数解； 当时，整理得， 因式分解得， 解得，， 因此新方程的实数解为，． 8. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的面积以及中位线的性质，可求出、的长度，再结合勾股定理得出的长度，即可得出结果． 【详解】解：∵点，分别是边，的中点，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 9. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，，则下列结论中：①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，易得是的垂直平分线，证明，得到，，从而得到，根据，则，根据点是的中点，证明，得到，，易证，得到，，进而得到，即可求出即可判断①②；由，得到，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是菱形；即可判断③；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，，等量代换，即可判断④． 【详解】解：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，，故②正确； ， ， ，， ， ， 是等边三角形，故①正确； ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形；故③正确； ， ， ，， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形判定和性质． 10. 对于一元二次方程，下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式的应用，解题的关键是熟练运用一元二次方程的相关概念，对每个说法逐一进行验证． 将代入方程验证①；利用的判别式推导的判别式，验证②；将代入方程，分析的特殊情况，验证③；将代入判别式，判断符号，验证④． 【详解】解：①当时，， ， ， 即方程有一根为，故①正确． ②方程有两个不相等的实数根，则， 对于方程，， ，， ， 故方程必有两个不相等的实数根，②正确． ③当是方程的根时，， 即， 若，则不一定成立，故③错误． ④， ， ∵，且． 若，则必有且，可得，与题设矛盾， ∴恒成立． 故方程有两个不相等的实数根，④正确． 综上，①②④正确， 故选：． 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出关于x的不等式，求解后取交集得到x的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式被开方数非负和分式分母不为零，可得 解不等式，得， 解不等式，得且， 取两个解集的交集，得且． 12. 在平行四边形中，，则的度数是__________． 【答案】115度## 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质，可得，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据新定义运算规则列出关于的方程，解方程后计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据定义可得， 整理可得：， ∴， ∴． 14. 如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的和平鸽，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：正方形的总面积为  七巧板各块面积占原正方形的比例固定，各块面积分别为： 个大等腰直角三角形，每个面积为； 个中等等腰直角三角形，面积为； 个小等腰直角三角形，每个面积为； 个正方形面积为； 个平行四边形面积为， 总和为，符合总面积 观察图，阴影部分共块：个小三角形个中等三角形个大三角形， 因此阴影面积和为： 15. 已知，当分别取自然数时，所对应值的总和是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，将的表达式化简为绝对值形式，再根据的取值范围分别计算值，最后求和． 【详解】解：， 当时，，， 当时，，， 取自然数， 当时，， 当时，，共有个值， 值的总和是， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，，点在其外角的平分线上，以为边作矩形，点恰好落在边上，边与交于点，连接，．若，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，，由矩形的性质得到，由正方形的性质得到，由角平分线的定义得到均为等腰直角三角形，可以算出的值，再证明四边形是矩形，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形，， ∴，． 在中， 由勾股定理得， ， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴． 在中， 由勾股定理得，， 即，解得， 在中， 由勾股定理得，， 即，解得． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， 在中， 由勾股定理得，． 三．解答题（本大题共8小题，72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） 10； （2） 【解析】 【分析】（1）先进行二次根式乘除运算，再进行二次根式加减运算即可． （2）根据二次根式乘法法则进行运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：移项，得， 因式分解，得， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：移项，得， ， ， ∴， ∴，． 19. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中找到格点，连接、，使，； （2）如图②，过点作线段且，点是线段上一点，过点作直线平分四边形的面积，交于点． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格特点和勾股定理找到格点，再连接、即可； （2）结合网格，先找出格点，使得，再连接，然后过点和的交点作直线，交于点即可． 【小问1详解】 解：，． 则在图①中找到格点，连接、，如图所示： 【小问2详解】 解：在图②中，过点作线段且，过点作直线平分四边形的面积，交于点，如图所示： 20. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于c的不等式求解即可得到c的取值范围； （2）根据方程根的定义，得到a、b满足的关系式，代入y的表达式化简，再结合c的取值范围即可求出y的取值范围． 【小问1详解】 解∶∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 整理得， 解得． 【小问2详解】 解：∵关于的方程有两个实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即的取值范围为． 21. 如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； 【小问2详解】 解：连结， 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 22. 为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． （1）求该文创产品平均每次降价的百分率； （2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”， ①若要求每天销售额为4590元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额； ②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动．计划每天销售额达5000元．你认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由． 【答案】（1）该文创产品平均每次降价的百分率为 （2）①每件应降价36元；②我认为小杭同学不能实现目标，理由见详解 【解析】 【分析】（1）设该文创产品平均每次降价的百分率为x，由题意可得方程为，进而求解即可； （2）①设每件应降价m元，根据题意可得方程，然后进行求解即可；②设每件应降价t元，由题意易得，然后根据根的判别式可进行求解． 【小问1详解】 解：设该文创产品平均每次降价的百分率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：该文创产品平均每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：①设每件应降价m元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵为回馈顾客并减少库存， ∴； 答：每件应降价36元． ②设每件应降价t元，由题意得： ， 整理得：， ∴， ∴原方程无解， ∴我认为小杭同学不能实现目标． 23. 已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： （1）若，则它的导出多项式_____； （2）设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，，是关于的方程的两根，且，试求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①由题意易得，则有，然后进行求解即可； ②由题意易得，则有，然后根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 解：根据导出多项式的定义可知：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②由是关于的二次多项式，可知：，即， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵，是关于的方程的两根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵， ∴， 解得：． 24. 如图，正方形，点、分别在、上． （1）如图1，当时， ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：． （2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①如图：过点D作交的延长线于点F，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证明结论；②如图：在上截取，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图，过点D作交于点N，则四边形是平行四边形，作，交延长线于M，利用证明，设，则，再运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：①如图：过点D作交的延长线于点F， ∵四边形是正方形， ，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴． ②如图：在上截取，则是等腰直角三角形，， ∴ 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ，即． 【小问2详解】 解：如图，过点D作交于点N，则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 如图：作，交延长线于M， 在和中， ， ∴， ，， ∵，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ，解得：， ． 第1页/共1页 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B. C. D. 3. 六边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 4. 估算的值在（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 6与7之间 5. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，，则下列结论中：①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 对于一元二次方程，下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______________． 12. 在平行四边形中，，则的度数是__________． 13. 对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 14. 如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的和平鸽，则图中阴影部分的面积为______． 15. 已知，当分别取自然数时，所对应值的总和是___________ 16. 如图，在正方形中，，点在其外角的平分线上，以为边作矩形，点恰好落在边上，边与交于点，连接，．若，则的长为____． 三．解答题（本大题共8小题，72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中找到格点，连接、，使，； （2）如图②，过点作线段且，点是线段上一点，过点作直线平分四边形的面积，交于点． 20. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，试求的取值范围． 21. 如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，四边形的面积是30，求的长． 22. 为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． （1）求该文创产品平均每次降价的百分率； （2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”， ①若要求每天销售额为4590元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额； ②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动．计划每天销售额达5000元．你认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由． 23. 已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： （1）若，则它的导出多项式_____； （2）设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，，是关于的方程的两根，且，试求的值． 24. 如图，正方形，点、分别在、上． （1）如图1，当时， ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：． （2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $