精品解析：2026年山东省聊城市东昌府区中考二模数学试题

2026年山东省聊城市东昌府区中考二模数学试题 亲爱的同学们伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，选择题30分，非选择题90分，共120分．考试时间为120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束后只交回答题卡． 5．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国传统纹样蕴含着丰富的数学对称之美，某文化展馆展示的以下4种经典纹样中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 电子显微镜是研究微观世界的重要工具，它可以观察到非常小的物体．某病毒在电子显微镜下测量其直径约为米，用科学记数法表示该数据为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下面是由一些小正方体组成的几何体，它们的视图相同的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 都不相同 5. 在建筑设计中，具有独特对称性和美观性的多边形，常被用于窗框设计．某建筑公司承接了一项古建装饰工程，需要为一座古建筑制作如图窗框．已知窗框由八块完全相同的木条拼接而成，且拼接后形成的多边形各内角都相等．那么工人在施工时，相邻两块木条所成的夹角应为多少度？（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的口袋中有三个小球，分别标有“”，每个小球除数字不同外其余均相同，每次取出前都先摇匀，从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后从剩下的小球中取出一个小球，记小球上的数字为，将有序数对记为点的坐标，得到的点的坐标在第二象限的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 两条直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等 8. 如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在平面直角坐标系中放置一块含角的直角三角板，其中点的坐标为，点在函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果P、Q两点分别从B、C两点同时出发，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，取得最大面积为； ③时，的面积记为，时，的面积记为，则； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果．） 11. 填空：的平方根是___________． 12. 如图，在一束平行光线中插入一张矩形纸板．如果光线与纸板左下方所成的是，则光线与纸板右上方所成的的度数是__________． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 14. 如图，在中，，，．在边上取一点，使，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点．分别以，为圆心，大于的长为半径作圆弧，交于，两点，连接，交于点，交于点，连接，则的长为__________． 15. 用所学公式计算下面题目： （1）； （2）； （3）； （4）． 用你发现的规律写出下题的结果： __________． 三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 计算，化简、求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在菱形中，与相交于点，垂足为点M，交于点，若，求的长． 18. 2026年“追风少年”杯全国青少年足球邀请赛前，赛事组委会为分析参赛球员的体能储备情况，随机抽取部分参赛球员进行专项体能测试，并将测试结果（体能等级）绘制成如下统计图表： 体能等级 频数 频率 A：体能充沛 60 B：体能良好 180 0.36 C：体能一般 D：体能偏弱 40 0.08 （1）本次抽样调查的样本容量为__________，__________，__________； （2）补全条形统计图； （3）若本次活动共有12500名参赛选手，估计共有多少名参赛选手能达到等级体能充沛？ 19. 某校开展爱国主义教育活动，组织学生走进孔繁森纪念馆，学习并弘扬孔繁森精神．为将所学与实践相结合，该校某数学兴趣小组计划在参观学习之余，实地测量孔繁森塑像的高度，具体测量方案如下： 测量目的 孔繁森塑像的高度（精确到0.1米） 测量工具 平面镜、测角仪、米尺 测量过程 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，小明先在点处安装测角仪，测得塑像顶端的仰角为．再从点处放置平面镜，然后小明从点处沿方向移动到点处，此时视线刚好在平面镜内看到塑像顶端的像，测得眼睛离地面高度． 测量数据 已知米，米，米，米，，． 参考数据 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点M、N，与轴相切于点，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）求图中阴影部分的面积． 22. 【问题情境】：一副三角尺和中，，在数学课上，同学们以小组为单位用这样的一副三角尺进行摆放，将三角尺的直角顶点放在三角尺内部，直角边与交于点，直角边与交于点． 【实验探究】： （1）如图1，一组的同学发现任意改变三角尺的位置，的度数都相等，求出这个度数，并请说明理由； （2）如图2，二组的同学改变三角尺的位置，将直角顶点放在的平分线上，测量发现，请证明此结论； （3）如图3，三组的同学改变三角尺的位置，将直角顶点落在上，若点为边上靠近点的三等分点，并且于点，求． 23. 已知二次函数 （且为常数）． （1）当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若点，在该抛物线上，且，求的取值范围； （2）当时，始终成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省聊城市东昌府区中考二模数学试题 亲爱的同学们伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，选择题30分，非选择题90分，共120分．考试时间为120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束后只交回答题卡． 5．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴可知，，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，． 2. 中国传统纹样蕴含着丰富的数学对称之美，某文化展馆展示的以下4种经典纹样中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意． 3. 电子显微镜是研究微观世界的重要工具，它可以观察到非常小的物体．某病毒在电子显微镜下测量其直径约为米，用科学记数法表示该数据为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 即用科学记数法表示米为米． 4. 下面是由一些小正方体组成的几何体，它们的视图相同的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 都不相同 【答案】C 【解析】 【详解】根据视图的定义，三个几何体的俯视图均为： 5. 在建筑设计中，具有独特对称性和美观性的多边形，常被用于窗框设计．某建筑公司承接了一项古建装饰工程，需要为一座古建筑制作如图窗框．已知窗框由八块完全相同的木条拼接而成，且拼接后形成的多边形各内角都相等．那么工人在施工时，相邻两块木条所成的夹角应为多少度？（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可知窗框为正八边形， ∴相邻两块木条所成的夹角应为． 6. 在一个不透明的口袋中有三个小球，分别标有“”，每个小球除数字不同外其余均相同，每次取出前都先摇匀，从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后从剩下的小球中取出一个小球，记小球上的数字为，将有序数对记为点的坐标，得到的点的坐标在第二象限的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合要求的结果数求出概率即可． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，得到的点坐标在第二象限的是 ，结果有种， ∴概率为． 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 两条直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】C 【解析】 【分析】先写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出正确答案． 【详解】解：A选项，原命题为“等边三角形是锐角三角形”，逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，锐角三角形不一定是等边三角形，逆命题是假命题． B选项，原命题为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”，逆命题为“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，例如但，逆命题是假命题． C选项，原命题为“两条直线平行，内错角相等”，逆命题为“内错角相等，两条直线平行”，这是平行线的判定定理，逆命题是真命题． D选项，原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等的三角形大小不一定相等，不一定全等，逆命题是假命题． 8. 如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 9. 如图所示，在平面直角坐标系中放置一块含角的直角三角板，其中点的坐标为，点在函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则，证明，可得，从而得到点的坐标为，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴． 10. 如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果P、Q两点分别从B、C两点同时出发，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，取得最大面积为； ③时，的面积记为，时，的面积记为，则； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由于点分别在上运动，因此先用t表示后再逐一讨论：当时，显然有，根据对应边成比例列方程即可判断结论①；根据三角形面积公式求出关于t的二次函数关系式，根据函数的性质判断结论②；分别把，代入结论②中的函数关系式即可判断结论③；根据结论②中的函数关系式列方程求解即可判断结论④． 【详解】解：由题意可知，，且t满足． 结论①：若 ，则易知， ， ，解得，故结论①符合题意； 结论②：由题意得， 当时，有最大值 ， 故结论②不符合题意； 结论③： 分别把，代入结论②中的函数关系式，得 ，， 显然有， 即 ，故结论③不符合题意； 结论④：根据题意，得， 解得 或 ． 由条件可知，所以 不合题意，应舍去． 故结论④不符合题意， 综上可知，正确的结论有①． 【点睛】本题考查了相似、二次函数的性质．能用代数式表示运动过程中相关的量，把问题转化为用二次函数的相关知识来解决是解题的关键． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果．） 11. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 12. 如图，在一束平行光线中插入一张矩形纸板．如果光线与纸板左下方所成的是，则光线与纸板右上方所成的的度数是__________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程中．，，． 又∵方程有两个相等的实数根． ∴ ． 展开整理得． 即． 解得． 14. 如图，在中，，，．在边上取一点，使，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点．分别以，为圆心，大于的长为半径作圆弧，交于，两点，连接，交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，由勾股定理可得的长，证明，可得的长，根据作法可知 ，垂直平分，证明 ，可得的长，进而根据即可得解． 【详解】解：在中，，，， ， 如图，过点作交于点， ， ， ， ，即， 解得， 由作法可知， ，垂直平分， ，，，， ，， ， ，即， 解得， ． 15. 用所学公式计算下面题目： （1）； （2）； （3）； （4）． 用你发现的规律写出下题的结果： __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据计算所得结果即可得到规律，进而可求解． 【详解】解： （1）； （2）； （3）； （4）， 根据上述几题的结果可得：， ∴． 三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 计算，化简、求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算立方根，三角函数，乘法，并进行分母有理化，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先根据分式的运算法则化简，再将代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 代入得：原式 17. 如图，在菱形中，与相交于点，垂足为点M，交于点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明 根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴在中，， ． 18. 2026年“追风少年”杯全国青少年足球邀请赛前，赛事组委会为分析参赛球员的体能储备情况，随机抽取部分参赛球员进行专项体能测试，并将测试结果（体能等级）绘制成如下统计图表： 体能等级 频数 频率 A：体能充沛 60 B：体能良好 180 0.36 C：体能一般 D：体能偏弱 40 0.08 （1）本次抽样调查的样本容量为__________，__________，__________； （2）补全条形统计图； （3）若本次活动共有12500名参赛选手，估计共有多少名参赛选手能达到等级体能充沛？ 【答案】（1）500，0.12，0.44 （2）见解析 （3）估计共有1500名参赛选手能达到等级体能充沛 【解析】 【分析】（1）根据B求出样本容量，进而求出a的值，即可求出b的值； （2）求出等级的参赛球员，进而补全条形统计图即可； （3）用总数乘以等级比例即可． 【小问1详解】 解：样本容量为：， ， ； 【小问2详解】 解：等级的参赛球员为：（名） 补全条形统计图如图所示； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计共有1500名参赛选手能达到等级体能充沛． 19. 某校开展爱国主义教育活动，组织学生走进孔繁森纪念馆，学习并弘扬孔繁森精神．为将所学与实践相结合，该校某数学兴趣小组计划在参观学习之余，实地测量孔繁森塑像的高度，具体测量方案如下： 测量目的 孔繁森塑像的高度（精确到0.1米） 测量工具 平面镜、测角仪、米尺 测量过程 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，小明先在点处安装测角仪，测得塑像顶端的仰角为．再从点处放置平面镜，然后小明从点处沿方向移动到点处，此时视线刚好在平面镜内看到塑像顶端的像，测得眼睛离地面高度． 测量数据 已知米，米，米，米，，． 参考数据 【答案】塑像的高度约为5.0米 【解析】 【分析】过点作，交于点，设米，根据三角函数求出长，证明，得到，求出x的值，进而可知的值． 【详解】解：过点作，交于点， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， （米）， 米， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （米）， ∴塑像的高度约为5.0米． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，然后根据B的横坐标求出B的纵坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）先求出C的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 点的横坐标为，且点在反比例函数的图象上， ∴ 点． 将点，代入， 得 解得 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， 点， ． ， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点M、N，与轴相切于点，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标； （2）连接，，，过点P作于点A，证明四边形为矩形，得出，根据垂径定理得出，求出，，得出，从而得出，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，，，过点P作于点A， 根据解析（1）可得：，，， ∵，轴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 22. 【问题情境】：一副三角尺和中，，在数学课上，同学们以小组为单位用这样的一副三角尺进行摆放，将三角尺的直角顶点放在三角尺内部，直角边与交于点，直角边与交于点． 【实验探究】： （1）如图1，一组的同学发现任意改变三角尺的位置，的度数都相等，求出这个度数，并请说明理由； （2）如图2，二组的同学改变三角尺的位置，将直角顶点放在的平分线上，测量发现，请证明此结论； （3）如图3，三组的同学改变三角尺的位置，将直角顶点落在上，若点为边上靠近点的三等分点，并且于点，求． 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形内角和等于360度即可求解； （2）过点作于点Q，R，先证明四边形是正方形，再证明即可； （3）可得四边形为矩形，那么为等腰直角三角形，，设，则，故，，在中，，则，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ； 【小问2详解】 证明：过点作于点Q，R 平分， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ． 【小问3详解】 解： ∴四边形为矩形． ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设， ∵点为的三等分点， ， 在中， ， 同理 ∴ 在中， ∴ ． 23. 已知二次函数 （且为常数）． （1）当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若点，在该抛物线上，且，求的取值范围； （2）当时，始终成立，求的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为；的取值范围为或； （2）的取值范围为且． 【解析】 【分析】（）当时，，然后通过二次函数的性质即可求解； 由知抛物线表达式为，根据二次函数的性质可得对称轴为直线，又抛物线的开口向上且，则点离对称轴更远，即有，然后求出的取值范围即可； （）解：由，则 ，令 ，所以 则其对称轴为，分当时，当时，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴顶点坐标为； 由知，抛物线表达式为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上且， ∴点离对称轴更远， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或 ， ∴的取值范围为或 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， 令 ， ∴ ∴其对称轴为， 当时，时，随的增大而增大， ∵在对称轴右侧， ∴时， ，解得， ∴当时，始终成立， 当时，时，随的增大而减小， ∵在对称轴右侧， ∴ ， 解得：， ∴当时，始终成立， ∴综上可得：的取值范围为且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $