精品解析：2025年山东省聊城市东昌府区、茌平区等部分学校5月中考数学联考模拟试题

试卷类型：A 山东省二〇二五年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 比小2的数是（ ） A. B. C. 1 D. 5 2. 近十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在以上． 数据亿用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 6. 已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在的圆的圆心C恰好是的内心． 若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点分别在上，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的结果是______ 12. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知．点，对应的刻度分别为，，则线段的长为______ ． 13. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，点D恰好落在线段上．若，，则的长为______． 15. 在综合实践活动中，某小组对从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得……若，则k的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. （1）化简：； （2）解不等式组． 17. 如图，在中，是斜边上的中线，平分． （1）使用直尺和圆规作，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明（1）中得到的四边形是菱形． 18. 如图，一次函数图象与轴，轴分别相交于点，，与反比例函数的图象在第二象限交于点，轴于点，． （1）求，，的值； （2）当时，直接比较，的大小． 19. 【实践课题】测量线路的长度，并进行比较． 【实践工具】测距仪、测角仪等． 【实践过程】如图，小河的两侧开辟了两条锻炼线路，线路①：；线路②：．数学实践小组经过现场勘测，得点在点的正东方向，点在点的正南方向处，点在点正西方向处，点在点的南偏东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，） （1）求的长（精确到）； （2）通过计算说明哪条线路较短． 20. 甲、乙两所学校各选取同样多的学生进行综合素质测试，并将得到的测试成绩（百分制）进行分析整理，测试成绩用 （单位：分）表示，分成六组：， ， ， ， ， ． a．甲学校选取学生的成绩的频数分布直方图如图： b．甲学校选取学生的成绩在 这一组的是： 80， 80， 81， 82， 82， 83， 83， 84， 85， 86， 87， 87，， 87， 88， 89， 89 c．乙学校选取学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上）如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 83 78 根据以上信息，解答下面问题： （1）甲学校选取学生成绩的中位数为______． （2）若85分及以上为优秀，求甲学校选取学生的优秀率． （3）哪个学校选取的学生的综合素质较高？为什么？ 21. 如图，是的直径，是的切线，交于点D，点E是上异于点C，D的一点，连接并延长交于点F，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在中，，，P为内的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到． （1）如图 1，若，，求的度数； （2）若点P为的外心，判别四边形是什么特殊四边形，并说明理由； （3）如图 2，若点D为的中点，连接，当时，求证：． 23. 如图，抛物线经过点和点，与轴相交于点，点，在抛物线上，其横坐标分别，（），连接，． （1）求，的值； （2）当轴时，求直线的函数表达式； （3）设抛物线在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为． 当点在抛物线的顶点左侧时，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 山东省二〇二五年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 比小2数是（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出减法式子，计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 2. 近十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在以上． 数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“中的范围是，是正整数”是解题的关键．正确的确定的值即可． 【详解】解：亿； 故选：B 3. 如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了几何体三视图，根据左视图是从左侧看到的图形即可解答． 【详解】解：左视图是， 故选：D． 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（ ） A B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形判定与性质，角平分线的性质，根据作图可判断出平分，根据角平分线性质得到，从而判断出，得到，利用勾股定理得到，再进一步利用勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：由作图可得，平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 故选：C． 6. 已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的性质，配方法的应用，先由条件可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， 故选：A 7. 如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在的圆的圆心C恰好是的内心． 若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作于点E， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：； 故选：A． 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 9. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与关于的方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．设，由可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得以此即可求解． 【详解】解：设， ∵二次函数的图象过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 令， 根据根与系数的关系知， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点分别在上，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质得，，将绕点顺时针旋转得，则三点共线，证明，得，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转得，则三点共线，如图所示， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的结果是______ 【答案】 【解析】 【分析】先分母有理化，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知．点，对应的刻度分别为，，则线段的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， ∵含角的直角三角尺， ∴， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为 故答案为：． 13. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的定义、根与系数的关系是解题关键． 先根据一元二次方程根的定义可得：，代入可得，根与系数的关系可得，再代入求值即可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，则， ∴ ∵，为是一元二次方程的根， 根据根与系数的关系可得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，点D恰好落在线段上．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．由旋转得，，，，求出，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，，，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 15. 在综合实践活动中，某小组对从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得……若，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字变化规律，当时，从1，2，3⋯⋯8中，取两个数的和大于8，由列举法找到规律可得． 【详解】解：这两个数分别是： ，，，，，，共7种； ，，，，共5种； ，，共3种； 共1种； ∴； 故答案为：16． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. （1）化简：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的基本步骤及分式的混合运算顺序、法则． （1）首先把括号里的式子进行通分，然后进行因式分解，再约分化简即可求解； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 详解】解：（1） ； （2）， 解不等式得： 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 17. 如图，在中，是斜边上的中线，平分． （1）使用直尺和圆规作，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明（1）中得到的四边形是菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，菱形的判定，直角三角形的性质，等边对等角，平行线的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． （1）以点A为圆心，以为半径画弧，再以点C为圆心，以长为半径，在内部画弧，交于点K，然后以点K为圆心，以为半径画弧，交前弧于点P，作射线，交于点F，则即为所求作； （2）根据直角三角形的性质得，可得，再根据角平分线的定义说明，接下来说明四边形是平行四边形，最后根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作； 【小问2详解】 证明：在中，是斜边上的中线， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 18. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，，与反比例函数的图象在第二象限交于点，轴于点，． （1）求，，的值； （2）当时，直接比较，的大小． 【答案】（1），， （2）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一次函数与反比例函数综合，数形结合是解题的关键． （1）证明，求出，，则，，然后根据待定系数法求解即可； （2）根据直线与反比例函数图象交点横坐标，结合图象求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 根据题意，得轴，轴 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 把，代入， 得， ∴， 把代入，得， ∴ 【小问2详解】 解：由图象知：当时，；当时，；当时，． 19. 【实践课题】测量线路的长度，并进行比较． 【实践工具】测距仪、测角仪等． 【实践过程】如图，小河的两侧开辟了两条锻炼线路，线路①：；线路②：．数学实践小组经过现场勘测，得点在点的正东方向，点在点的正南方向处，点在点正西方向处，点在点的南偏东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，） （1）求的长（精确到）； （2）通过计算说明哪条线路较短． 【答案】（1） （2）路径较短，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）过点作交于点，得出四边形为矩形，利用矩形的性质得出有关线段的长度，然后利用锐角三角函数即可求解； （2）根据条件先求出线段长度，然后利用锐角三角函数求出的长度，最后求出两条路径的长度和进行比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， 根据题意得，四边形为矩形，， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ，， ， ， 所以，路径较短． 20. 甲、乙两所学校各选取同样多的学生进行综合素质测试，并将得到的测试成绩（百分制）进行分析整理，测试成绩用 （单位：分）表示，分成六组：， ， ， ， ， ． a．甲学校选取学生的成绩的频数分布直方图如图： b．甲学校选取学生的成绩在 这一组的是： 80， 80， 81， 82， 82， 83， 83， 84， 85， 86， 87， 87，， 87， 88， 89， 89 c．乙学校选取学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上）如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 83 78 根据以上信息，解答下面的问题： （1）甲学校选取学生成绩的中位数为______． （2）若85分及以上为优秀，求甲学校选取学生的优秀率． （3）哪个学校选取的学生的综合素质较高？为什么？ 【答案】（1）81.5 （2） （3）乙学校，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，中位数，运用中位数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出甲学校选取学生人数，再结合中位数的定义进行作答即可， （2）根据85分及以上为优秀，进行列式计算，即可作答． （3）运用中位数作决策，即可作答． 【小问1详解】 解：甲学校选取学生的成绩在 这一组有人， ∴甲学校选取学生人数为（人）， 故中位数排在第25位和26位， 则， ∴中位数是， 故答案为：81.5； 【小问2详解】 解：甲学校选取学生的成绩在这一组有8人 依题意，， 即甲学校选取学生成绩的优秀率为； 【小问3详解】 解：选取的学生的综合素质较高，理由如下： 由（1）得甲学校选取学生成绩的中位数为， 由（2）得甲学校选取学生成绩的优秀率为， ∵ ∴乙学校选取的学生的综合素质较高． 21. 如图，是的直径，是的切线，交于点D，点E是上异于点C，D的一点，连接并延长交于点F，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1.4 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形． （1）先根据切线的性质得，进而得，，再根据等边对等角得，进而得，即可得出结论； （2）连接，由得，再结合（1）的结论得，由勾股定理求得，设，则，则，，进而得关于x的方程，解方程即可． 【小问1详解】 证明：∵是的切线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，， ∵是的直径， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 22. 在中，，，P为内的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到． （1）如图 1，若，，求的度数； （2）若点P为的外心，判别四边形是什么特殊四边形，并说明理由； （3）如图 2，若点D为的中点，连接，当时，求证：． 【答案】（1） （2）菱形，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】对于（1），根据旋转的性质得，，可得，再根据周角可知，进而得，即，可得答案； 对于（2），先根据外心的性质得点P是三边垂直平分线的交点，即可，再根据旋转的性质得，然后根据“四边相等的四边形是菱形”得出答案； 对于（3），延长至E，使，连接，根据旋转可得，根据“边角边”证明，可得，然后说明，接下来根据“边角边”证明，可得答案． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， 则， 即， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由如下：∵点P是的外心， ∴点P是三边垂直平分线的交点， ∴． 由旋转得， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 证明：延长至E，使，连接， 根据旋转可得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，三角形的外心的性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图，抛物线经过点和点，与轴相交于点，点，在抛物线上，其横坐标分别为，（），连接，． （1）求，的值； （2）当轴时，求直线的函数表达式； （3）设抛物线在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为． 当点在抛物线的顶点左侧时，若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解； (2)化为顶点式，求得顶点坐标，进而可求点P，Q的坐标，待定系数法即可求解； (3)分两种情况讨论，①当P，Q都在对称轴的左侧时，②当P，Q在对称轴两侧时，分别求得，，根据建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点， ， 解得； 【小问2详解】 解：， 抛物线即为， 对称轴为直线， 当轴时，点与点关于直线对称， 对于抛物线，当时，， ， ， ∴， 设直线的函数表达式为， 得， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：①如图所示，当P，Q都在对称轴的左侧时， 则， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（舍去）； 当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时， 则，， 即， 对于抛物线，顶点坐标为 则 ，， ， 解得 (舍去)或 （舍去）； 综上所述，当点在抛物线的顶点左侧时，若，的值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$