精品解析：河南商丘市永城市2026年第一次中招模拟试卷 数学

永城市2026年第一次中招模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个实数中，比大的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴  ， ∴A选项不符合题意； ∵ 0大于一切负数， ∴ ， ∴B选项符合题意； ∵， ∴ ， ∴C选项不符合题意； ∵， ∴ ， ∴D选项不符合题意． 2. 如图是一个立体图形的展开图，则这个立体图形是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查常见几何体的展开图形识别，理解并掌握常见几何体的展开图特征是解题关键．根据常见几何体的展开图形特征进行判断即可． 【详解】解：由展开图可知，该图形的侧面展开后是长方形，则该立体图形为柱体， ∵上下两个面为三角形，刚好与3个侧面对应， ∴该立体图形为三棱柱， 故选：D． 3. 北京大学电子学院邱晨光研究员-彭练矛院士团队成功研制出了一种名为“纳米栅超低功耗铁电晶体管”的新器件，它能在极低电压下完成数据存储和读取，成为国际上迄今功耗最低的铁电晶体管，为打造更省电的芯片和智能设备提供了关键条件．研究团队的突破在于他们把晶体管的关键部件——栅极长度缩小至．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角相等得到的度数，根据得到，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 5. 下列各运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 选项 正误 逐项分析 A × 合并同类项， B √ 积的乘方， C × 同底数幂的除法， D × 完全平方公式， 6. 如图是某班同学为希望工程捐款的扇形统计图，由图可知，该班捐款的众数是（ ） A. 5元 B. 10元 C. 35元 D. 15元 【答案】A 【解析】 【详解】解：50元的占比：， ∵ ∴捐款5元的占比最多， ∴捐款的众数为5元． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，，根据菱形的面积公式求出，则，根据勾股定理即可求出菱形的边长． 【详解】解：在菱形中，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴菱形的边长为． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式求出m的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：将方程整理，得． 该方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 结合选项，可知的值可以是3． 9. 如图，在中，，，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形三线合一得到，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 即． ， ，． ∵， ∴， ， ． 10. 在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动速度、运动路程的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示与的函数关系，用二次函数表示与的函数关系，则下列说法不正确的是（ ） A. 弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B. 弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C. 当弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度是 D. 当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，待定系数法等知识． 选项A、B、C可根据一次函数、二次函数图象直接判断，D选项，可先用待定系数法求出二次函数的解析式，即可判断． 【详解】解：由图2，可知运动速度随运动时间的增大而减小，故选项A正确； 由图3，可知弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程越来越小，故选项B错误；由图3，可知弹珠在水平轨道上滚动时，运动时间是， 由图2，可知当时，，故选项C正确； 当弹珠停止滚动时，， 由图2，得此时运动时间是．设， 把和代入， 得， 解得， ． 把代入，得， 故选项D正确． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则代数式的值为________． 【答案】2024 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 13. 造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示， 根据题意画图如下： 由图可知，共有 12 种等可能结果，其中恰好是“指南针”和“印刷术”的有 2 种， 则抽到的两张卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是． 故答案为：． 14. 为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形是充电站的平面示意图，矩形是第一个停车位，矩形是第二个停车位……所有车位长宽相同，按图示并列划定，其中点，……在边上，点，⋯⋯在边上．若，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出，，再求出车库的宽度，求出，求出的纵坐标，求出，进而求出的横坐标，即可解决问题． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ． ∵四边形是矩形， ，， ． ，． ． ， 同理可得， ． 15. 如图，在正方形中，为边上一点（不与端点重合），连接，以点为直角顶点在左侧作等腰直角三角形，其中交于点，交于点．若，为线段的三等分点，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作分别交的延长线于点，交的延长线于点，证明，按照和进行分类讨论，解直角三角形，结合线段之间的和差，即可得的长． 【详解】解：过点作分别交的延长线于点，交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ， ∵是等腰直角三角形，点为直角顶点， ∴，， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴． 分两种情况讨论： 如解图1，当时，则，， ∵ ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 如解图2，当时，则，． ∵ ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 综上可知，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成各题： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某市区开展了科技素养测评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分，并对所有参赛学生的总成绩进行统计分析，所有参赛学生的总成绩均不低于70分，将总成绩（单位：分）分为三个组别：优秀、良好、合格． 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动中本校及所在市区参赛学生测评总成绩的相关数据，并绘制了如下不完整的统计图表． 测评总成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 优良率 阳光中学 88 市区 87 注：总成绩80分及以上为优良． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）阳光中学参赛人数为________，的值为________． （2）请你对比市区测评总成绩，从两个角度对阳光中学参赛学生科技素养测评情况作出评价． （3）每位参赛学生的总成绩是由知识测试成绩和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为86分，求知识测试成绩和实践创新成绩各占的百分比． 【答案】（1）100人， （2）见解析 （3）知识测试成绩所占百分比为，实践创新成绩所占百分比为 【解析】 【分析】（1）利用阳光中学总成绩为优秀的人数除以优良率可得阳光中学参赛人数；再利用阳光中学总成绩为良好和优秀的总人数除以参赛总人数可得的值； （2）从优良率和中位数两个角度进行分析即可； （3）设知识测试成绩所占百分比为，则实践创新成绩所占百分比为，根据她的总成绩为86分建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：阳光中学参赛人数为（人）， ∴总成绩为良好的人数为（人）， ∴阳光中学的优良率． 【小问2详解】 解：从优良率看，阳光中学参赛学生总成绩的优良率高于市区，所以阳光中学参赛学生的科技素养测评情况较好； 从中位数看，阳光中学参赛学生总成绩的中位数大于市区，所以阳光中学参赛学生的科技素养测评情况整体较好． 【小问3详解】 解：设知识测试成绩所占百分比为，则实践创新成绩所占百分比为， 由题意得：， 解得， ∴， 答：知识测试成绩所占百分比为，实践创新成绩所占百分比为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴交于，两点，为的中点，反比例函数（）的图象经过圆心和点． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的长． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的性质得到，求出a的值，进而求出k的值即可； （2）连接，，，，，，根据切线的性质定理得到轴，根据为的中点，得到，即，可知垂直平分线段，则轴，可知，根据点得到，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：点和点是反比例函数（）图象上的两点， ， 解得， ∴． 反比例函数的表达式为（）． 【小问2详解】 解：如图，连接，，，，，． 与轴相切于点， 轴． 为的中点， ． ． 又， 垂直平分线段． 轴． ． ∵， ∴点， ． 的长为． 19. 如图，已知． （1）尺规作图：在边上找一点，在边上找一点，使四边形沿折叠后，点与点重合．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等腰三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交边于点，边于点即可； （2）根据平行四边形的性质得到，则，由折叠的性质可知，即，根据等角对等边即可证明是等腰三角形． 【小问1详解】 解：如解图所示，点，即为所求； 【小问2详解】 解：是等腰三角形． 理由：四边形是平行四边形， ， ． 由折叠，得， ． ． 是等腰三角形． 20. 如图1所示的茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”．某数学小组的同学想利用测角仪和皮尺测量茗阳阁的高度，他们的测量方案如下： 【测量方案】 第一步：如图2，在茗阳阁底部正东方向的点处测得塔顶的仰角为． 第二步：如图3，从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点，且测得点在点南偏东方向上（点，，在同一水平地面上）． 【问题解决】 根据以上信息，求茗阳阁的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】在图3上过点作于点，由题意可知，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，根据等角对等边得到，可知 ，在图2的中，根据三角函数求解即可． 【详解】解：在图3上过点作于点，如解图所示． 由题意，得，， ， 在中，， ． ． 在中，， ． ． 在图2的中，，， ． 答：茗阳阁的高度约为． 21. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价便宜300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材的购买数量，则购买多少台甲型健身器材时费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元 （2）购买10台甲型健身器材时费用最低，最低费用为53000元 【解析】 【分析】（1）设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元，根据“用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购买台甲型健身器材，则购买台乙型健身器材，根据“甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材的购买数量”求出，设采购费用为元，根据题意求出函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元． 由题意，可得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 此时． 答：甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元． 【小问2详解】 解：设购买台甲型健身器材，则购买台乙型健身器材． 由题意，可得， 解得． 设采购费用为元． 由题意，可得． ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值，最小值为（元）． 此时． 答：购买10台甲型健身器材时费用最低，最低费用为53000元． 22. 【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 （1）求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． （2）如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意，得点的坐标为，点的坐标为，设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为，根据求出，即可求出函数解析式； （2）①根据题意可知点的横坐标为，将代入函数解析式求出点的纵坐标，减去灯笼的长即可； ②先判断出悬挂灯笼影响进车，令，求出此时x的值，再用原灯笼悬挂点到最高点的水平距离减去x的值即可． 【小问1详解】 解：∵，为的中点， ∴ 由题意，得点的坐标为，点的坐标为． 设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得． 大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：①灯笼悬挂点到最高点的水平距离为， 点的横坐标为． 当时，． ． 灯笼底端到地面的距离约为． ②由①得灯笼底端到地面的距离为，且， 悬挂灯笼影响进车． 令，得，解得（负值已舍去）． ． 需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离约为． 23. 【初步探究】 （1）如图1，已知，平分，点在射线上，点在射线上，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长，交射线于点．试探究，，三条线段之间的数量关系． 下面是小东同学给出的不完整解答过程，请补充完整： 解：，平分，． 如图2，过点作，交边于点，则，，． 由旋转，得，． ________，（________），． 易知，即．． 【类比探究】 （2）如图3，已知，平分，点在射线上，点在射线上，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交射线于点．判断（1）中线段，，之间的数量关系是否仍然成立？并请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，平分，点在边上，且，点在线段上，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交射线于点，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）不成立，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定条件构造，在中，， ，从而可得出； （2）类比（1）的解答过程，构造，在等腰三角形中，，利用三角函数的知识推出，从而可得出； （3）根据直角三角形的性质得到，再分和两种情况并利用等量关系分别求的长． 【小问1详解】 解：，平分， ． 如图2，过点作，交边于点，则，， ． 由旋转，得， ． ， （）， ． 易知，即． ． 【小问2详解】 解：不成立，理由如下： 平分，， ． 如解图1，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，使点落在上，则， ． 易知， ． ． ． 作于点，则， 在中，，即， ， ，， ，即． ． 【小问3详解】 解：的长为或． ，． ，， ．． 分两种情况：①如解图2，当时， ． ． 由（2）可知，， ，即． ②如解图3，当时， 在中，，，平分， , 在中，，即， ， ． ． ． ． 由（2）可知，， ，即． 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永城市2026年第一次中招模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个实数中，比大的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图是一个立体图形的展开图，则这个立体图形是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 三棱柱 3. 北京大学电子学院邱晨光研究员-彭练矛院士团队成功研制出了一种名为“纳米栅超低功耗铁电晶体管”的新器件，它能在极低电压下完成数据存储和读取，成为国际上迄今功耗最低的铁电晶体管，为打造更省电的芯片和智能设备提供了关键条件．研究团队的突破在于他们把晶体管的关键部件——栅极长度缩小至 ．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某班同学为希望工程捐款的扇形统计图，由图可知，该班捐款的众数是（ ） A. 5元 B. 10元 C. 35元 D. 15元 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 如图，在中，，，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动速度、运动路程的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示与的函数关系，用二次函数表示与的函数关系，则下列说法不正确的是（ ） A. 弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B. 弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C. 当弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度是 D. 当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则代数式的值为________． 12. 不等式组的解集是______． 13. 造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是________ 14. 为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形是充电站的平面示意图，矩形是第一个停车位，矩形是第二个停车位……所有车位长宽相同，按图示并列划定，其中点，……在边上，点，⋯⋯在边上．若，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 15. 如图，在正方形中，为边上一点（不与端点重合），连接，以点为直角顶点在左侧作等腰直角三角形，其中交于点，交于点．若，为线段的三等分点，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成各题： （1）计算：． （2）化简：． 17. 为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某市区开展了科技素养测评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分，并对所有参赛学生的总成绩进行统计分析，所有参赛学生的总成绩均不低于70分，将总成绩（单位：分）分为三个组别：优秀、良好、合格． 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动中本校及所在市区参赛学生测评总成绩的相关数据，并绘制了如下不完整的统计图表． 测评总成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 优良率 阳光中学 88 市区 87 注：总成绩80分及以上为优良． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）阳光中学参赛人数为________，的值为________． （2）请你对比市区测评总成绩，从两个角度对阳光中学参赛学生科技素养测评情况作出评价． （3）每位参赛学生的总成绩是由知识测试成绩和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为86分，求知识测试成绩和实践创新成绩各占的百分比． 18. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴交于，两点，为的中点，反比例函数（）的图象经过圆心和点． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的长． 19. 如图，已知． （1）尺规作图：在边上找一点，在边上找一点，使四边形沿折叠后，点与点重合．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上连接，判断的形状，并说明理由． 20. 如图1所示的茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”．某数学小组的同学想利用测角仪和皮尺测量茗阳阁的高度，他们的测量方案如下： 【测量方案】 第一步：如图2，在茗阳阁底部正东方向的点处测得塔顶的仰角为． 第二步：如图3，从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点，且测得点在点南偏东方向上（点，，在同一水平地面上）． 【问题解决】 根据以上信息，求茗阳阁的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 21. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价便宜300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材的购买数量，则购买多少台甲型健身器材时费用最低？最低费用是多少元？ 22. 【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 （1）求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． （2）如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 23. 【初步探究】 （1）如图1，已知，平分，点在射线上，点在射线上，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长，交射线于点．试探究，，三条线段之间的数量关系． 下面是小东同学给出的不完整解答过程，请补充完整： 解：，平分，． 如图2，过点作，交边于点，则，，． 由旋转，得，． ________，（________），． 易知，即．． 【类比探究】 （2）如图3，已知，平分，点在射线上，点在射线上，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交射线于点．判断（1）中线段，，之间的数量关系是否仍然成立？并请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，平分，点在边上，且，点在线段上，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交射线于点，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $