精品解析：河南省商丘市永城市2025年中招一模数学试卷　

永城市2025年第一次中招模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 2. 2025年我国安排3000亿元超长期特别国债支持消费品以旧换新，资金总量比去年增加一倍．数据“3000亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由五个小正方体组成的几何体，若要在图中序号所在的位置上添加一个小正方体，使得添加后该几何体的主视图和左视图均保持不变，则添加的位置应在（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 若 为整数，则表示的是（ ） A. 3个相乘 B. 2个相加 C. 3个相加 D. 5个 相乘 5. 如图， 与 相切于点A，连接并延长，交 于点C，连接 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 某中学开展“绿色校园”能源使用调查活动，如图，同学们统计了一周内校园不同区域的用电量（单位：千瓦时）．若一周内教学楼的用电量为1200千瓦时，则一周内图书馆的用电量为（ ） A. 360千瓦时 B. 480千瓦时 C. 720千瓦时 D. 960千瓦时 8. 如图为四张正面印有神舟载人飞行任务标识的卡片，它们除正面标识之外其他完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面标识分别为“神舟十七号载人飞行任务”和“神舟十九号载人飞行任务”的概率为(　　) A. B. C. D. 9. 按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 1或6 10. 密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出与h的关系图象，如图2所示．根据图象判断，下列说法正确的是（ ） A. 密度越大，深度h越大 B. 若，则 C. 密度均匀增加时，深度h的变化量相同 D. 密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则整数m的值为__________． 12. 不等式组的解集为___________． 13. 已知二次函数的图象上A，B，C三点的坐标分别为．若，则c的值为__________． 14. 如图，在的小正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点A，B，C，P均在格点上，点C在上，则阴影部分的周长为__________． 15. 在中，，点D，E分别是边 ，上的点，．连接，将沿折叠，得到．连接，当时，的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 车厘子含铁量极高，深受消费者喜爱．一般情况下，车厘子果径越大，级别越高，价格也越贵．现将车厘子果径记为x（单位：），车厘子一般分为5个等级：JJJJ；JJJ；JJ；J；XL．某商家为了选购一批车厘子，在A，B两个产业园各随机抽取了20颗进行检测，并统计这部分车厘子的果径，相关数据整理如下： 【收集数据】 A产业园20颗车厘子果径数据如下： 25，25.5，26，26，27，27.5，27.5，28，29，29，29，29，29，30，31，31，31.5，31.5，32，33.5． B产业园20颗车厘子果径数据如下： 24，25，27.5，27.5，28，28.5，28.5，29，29，29.5，29.5，30，30，30.5，31，31，31，32，33，35.5． 【整理数据】两组数据按等级整理，如下表所示： 果径x 产业园 A产业园 2 5 6 5 2 B产业园 2 2 7 6 3 【分析数据】两组数据的统计量如下表所示： 统计量 产业园 平均数 中位数 众数 极品果率（） A产业园 28.9 29 29 B产业园 29.5 b 31 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________． （2）根据以上信息，如果只能在一个产业园购买车厘子，你认为选择哪个产业园更好？请说明理由． 18. 如图，已知矩形 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边 上作出点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若F为边上一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形． 19. 某种平板支架的侧面示意图如图所示，经测量知支撑臂，支撑板，底座固定在桌面EF上，可以分别绕点A，C转动．当时，求点D到桌面的距离．（结果精确到；参考数据：） 20. 如图，点B为反比例函数图象上的一点，过点B分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，C，连接AC，OA，OC，四边形OABC的面积是3． （1）求k的值． （2）点B在反比例函数的图象上移动，当 平分与x轴正半轴的夹角时，求证： 是的平分线． 21. 汉服作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史底蕴和文化内涵．在某网店中，A，B两款汉服备受消费者青睐，某月份A款汉服售出200件，B款汉服售出400件，两款汉服销售总额为108000元．已知每件A款汉服的售价比每件B款汉服售价的2倍少100元． （1）求A，B两款汉服每件的售价． （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂订购A，B两款汉服共2400件，且订购A款汉服的数量不超过B款汉服数量的，已知A款汉服进价为每件120元，B款汉服进价为每件110元，请你设计一种订购方案，使得这批汉服全部售出后获利最大，并求出最大利润． 22. 某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：有一个可上下移动的带弹簧的装置，每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点飞出．某组进行试玩，发现弹珠从A点飞出后的路径是抛物线的一部分，A是抛物线的顶点，弹珠飞出后正好从挡板1的顶部B点经过，此时装置距离水平地面的高度为，挡板1到O点的距离为，挡板1的高度为以点O为原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1．（研究路径时弹珠的直径忽略不计，弹珠碰到挡板顶点视为可通过） （1）求弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式． （2）将弹珠游戏装置作出调整：如图2，在距离O点处新增高度为的挡板2，挡板1与挡板2之间的区域记为I；在距离O点处新增高度为的挡板3，挡板2与挡板3之间的区域记为Ⅱ．若该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，求d的取值范围． 23. 综合与实践 在一次数学活动课上，同学们研究菱形的旋转问题．将菱形 绕点A顺时针旋转，得到菱形． 【观察思考】 （1）如图1，若与交于点H，则线段与线段的数量关系为__________． 【探究证明】 （2）如图2，当点G在菱形 内部时，的平分线与射线交于点P，连接． ①判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，请求出 的度数．（用含的式子表示） 【拓展应用】 （3）如图3，若的平分线所在直线与直线交于点P，连接，直接写出旋转过程中的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永城市2025年第一次中招模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数． 【详解】解：的相反数为﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可． 2. 2025年我国安排3000亿元超长期特别国债支持消费品以旧换新，资金总量比去年增加一倍．数据“3000亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定 的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：3000亿． 故选：C． 3. 如图是由五个小正方体组成的几何体，若要在图中序号所在的位置上添加一个小正方体，使得添加后该几何体的主视图和左视图均保持不变，则添加的位置应在（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，明确左视图是从几何体的左面看到的图形，主视图是从几何体的正面看到的图形是解题的关键．结合每个选项的添加的位置，分析几何体的主视图和左视图的变化，即可作答． 【详解】解：A、若添加的位置在①，则该几何体的主视图不变，左视图变了，故该选项不符合题意； B、若添加的位置在②，则该几何体的主视图和左视图都不变，故该选项符合题意； C、若添加的位置在③，则该几何体的左视图不变，主视图变了，故该选项不符合题意； D、若添加的位置在④，则该几何体的主视图和左视图都变了，故该选项不符合题意； 故选：B 4. 若 为整数，则表示的是（ ） A. 3个相乘 B. 2个相加 C. 3个相加 D. 5个 相乘 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个 相乘． 故选：A． 5. 如图， 与 相切于点A，连接并延长，交 于点C，连接 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据 与 相切于点 ，可知，所以可得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，连接， 与 相切于点 ， ， 又∵， ， 又， ， ， ． 故选：B ． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 某中学开展“绿色校园”能源使用调查活动，如图，同学们统计了一周内校园不同区域的用电量（单位：千瓦时）．若一周内教学楼的用电量为1200千瓦时，则一周内图书馆的用电量为（ ） A. 360千瓦时 B. 480千瓦时 C. 720千瓦时 D. 960千瓦时 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了扇形统计图．先求出总用电量，再用总用电乘以一周内图书馆所占的百分比，即可求解． 【详解】解：（千瓦时） 千瓦时， 即一周内图书馆的用电量为720千瓦时． 故选：C 8. 如图为四张正面印有神舟载人飞行任务标识的卡片，它们除正面标识之外其他完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面标识分别为“神舟十七号载人飞行任务”和“神舟十九号载人飞行任务”的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表法得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面标识分别为“神舟十七号载人飞行任务”和“神舟十九号载人飞行任务”的结果有2种，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：将这四张卡片从左至右依次记为， ，列表如下： 由表格，可知共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面标识分别为“神舟十七号载人飞行任务”和“神舟十九号载人飞行任务”的结果有2种， 概率为， 故选 C. 9. 按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 1或6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解方程的能力，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键． 根据最后输出的结果，对题中的程序框图逆向运算确定出满足题意的x的值即可． 【详解】解：若，则， 若，则 ， 所以满足条件的x的值是1或6， 故选：D 10. 密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出与h的关系图象，如图2所示．根据图象判断，下列说法正确的是（ ） A. 密度越大，深度h越大 B. 若，则 C. 密度均匀增加时，深度h的变化量相同 D. 密度计的刻度线越往上，对应的密度越小 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用．直接观察函数图象，即可求解． 【详解】解：A、观察图象得：密度越大，深度h越小，故本选项错误，不符合题意； B、观察图象得：若，则，故本选项错误，不符合题意； C、观察图象得：密度均匀增加时，深度h的变化量不相同，故本选项错误，不符合题意； D、根据题意得：密度计的刻度线越往上，对应的密度越小，故本选项正确，符合题意； 故选：D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则整数m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．根据题意估算的大小，进一步可以得出答案． 【详解】解：， ， m为正整数，且， ． 故答案为：． 12. 不等式组的解集为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象上A，B，C三点的坐标分别为．若，则c的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质．根据，可得关于对称轴对称，从而得到，再把点B的坐标代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴关于对称轴对称， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入，得： ，解得：． 故答案为：． 14. 如图，在的小正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点A，B，C，P均在格点上，点C在上，则阴影部分的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查三角形外心的性质、勾股定理、弧长公式等知识，先找到所在圆的圆心O，证明是等腰直角三角形，，求出长，的长度，即可得到答案． 【详解】解：找到线段 ， 垂直平分线交点O，即为所在圆的圆心，连接 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴长为， ∵， ∴阴影部分的周长为为， 故答案为： 15. 在中，，点D，E分别是边 ， 上的点，．连接 ，将沿 折叠，得到．连接，当时，的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先求出，得到，由折叠得，，，解直角三角形求出，然后分两种情况讨论，分别解直角三角形求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 由折叠得，， 当时，即 ∴ ∴ ∴ 如图所示，当点在 上方时， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 如图所示，当点在 下方时， ∴ 由折叠得， ∵ ∴ ∴； 综上所述，当时，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，折叠的性质，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，零指数幂，绝对值，负指数幂，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先计算绝对值，零指数幂，负指数幂，然后从左到右计算即可； （2）先对括号内进行通分，然后将除法转化成乘法，最后根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 车厘子含铁量极高，深受消费者喜爱．一般情况下，车厘子果径越大，级别越高，价格也越贵．现将车厘子果径记为x（单位：），车厘子一般分为5个等级：JJJJ；JJJ；JJ；J；XL．某商家为了选购一批车厘子，在A，B两个产业园各随机抽取了20颗进行检测，并统计这部分车厘子的果径，相关数据整理如下： 【收集数据】 A产业园20颗车厘子果径数据如下： 25，25.5，26，26，27，27.5，27.5，28，29，29，29，29，29，30，31，31，31.5，31.5，32，33.5． B产业园20颗车厘子果径数据如下： 24，25，27.5，27.5，28，28.5，28.5，29，29，29.5，29.5，30，30，30.5，31，31，31，32，33，35.5． 【整理数据】两组数据按等级整理，如下表所示： 果径x 产业园 A产业园 2 5 6 5 2 B产业园 2 2 7 6 3 【分析数据】两组数据的统计量如下表所示： 统计量 产业园 平均数 中位数 众数 极品果率（） A产业园 28.9 29 29 B产业园 29.5 b 31 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： __________， __________． （2）根据以上信息，如果只能在一个产业园购买车厘子，你认为选择哪个产业园更好？请说明理由． 【答案】（1）， （2）解：B产业园更好，因为B产业园车厘子数据的平均数，中位数，众数以及极品果率都高于A产业园中极品果的数据． 【解析】 【分析】本题考查了统计表，涉及平均数，中位数，众数的知识点，正确理解题意，理解平均数，中位数，众数的概念是解题的关键． （1）根据极品果率的范围找出A产业园20颗车厘子果径数据符合要求的，再除以总数，即可求解A产业园极品果率；根据中位数的定义求解B产业园20颗车厘子果径数据的中位数即可； （2）根据平均数，中位数，众数以及极品果率分析即可． 【小问1详解】 解：A产业园中极品果有7个， ∴极品果率为， B产业园20颗车厘子果径数据已经从小到大排列，则中位数为第10个和第11个数据的平均数， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 18. 如图，已知矩形 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边 上作出点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若F为边 上一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2） 证明：∵四边形 是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、线段垂直平分线的作图等知识，准确作图是关键． （1）作线段 垂直平分线，在线段 上截取等于线段即可； （2）证明，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某种平板支架的侧面示意图如图所示，经测量知支撑臂，支撑板，底座固定在桌面EF上，可以分别绕点A，C转动．当时，求点D到桌面的距离．（结果精确到；参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点H，过点C作，垂足分别为G，M，则，，然后分别在和中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点H，过点C作，垂足分别为G，M，则，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即点D到桌面的距离为． 20. 如图，点B为反比例函数图象上的一点，过点B分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，C，连接AC，OA，OC，四边形OABC的面积是3． （1）求k的值． （2）点B在反比例函数的图象上移动，当平分与x轴正半轴的夹角时，求证： 是的平分线． 【答案】（1） （2） 证明：过点C作于点H， 由（1）可得，， 设点C的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∴， ∵平分与x轴正半轴的夹角，轴， ∴， ∴， ∵， ∴ 是的平分线． 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、角平分线的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）延长 交 轴于点E，延长交 轴于点D，利用比例系数的几何意义进行解答即可； （2）过点C作于点H，根据角平分线的性质和判定进行证明即可． 【小问1详解】 解：如图，延长 交 轴于点E，延长交 轴于点D， ∵过点B分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，C， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵，,四边形OABC的面积是3． ∴， 解得， 【小问2详解】 略 21. 汉服作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史底蕴和文化内涵．在某网店中，A，B两款汉服备受消费者青睐，某月份A款汉服售出200件，B款汉服售出400件，两款汉服销售总额为108000元．已知每件A款汉服的售价比每件B款汉服售价的2倍少100元． （1）求A，B两款汉服每件的售价． （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂订购A，B两款汉服共2400件，且订购A款汉服的数量不超过B款汉服数量的，已知A款汉服进价为每件120元，B款汉服进价为每件110元，请你设计一种订购方案，使得这批汉服全部售出后获利最大，并求出最大利润． 【答案】（1）A款汉服每件的售价为220元，B款汉服每件的售价为160元 （2）订购A款汉服800件，则订购B款汉服1600件，这批汉服全部售出后获利最大，最大利润为160000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设A款汉服每件的售价为a元，B款汉服每件的售价为b元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设订购A款汉服x件，则订购B款汉服件，根据题意，列出不等式可得，设这批汉服全部售出后获利为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款汉服每件的售价为a元，B款汉服每件的售价为b元，根据题意得： ， 解得：， 答：A款汉服每件的售价为220元，B款汉服每件的售价为160元； 【小问2详解】 解：A款汉服每件的利润为元，B款汉服每件的利润为元， 设订购A款汉服x件，则订购B款汉服件，根据题意得： ， 解得：， 设这批汉服全部售出后获利为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为160000，此时， 即订购A款汉服800件，则订购B款汉服1600件，这批汉服全部售出后获利最大，最大利润为160000元． 22. 某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：有一个可上下移动的带弹簧的装置，每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点飞出．某组进行试玩，发现弹珠从A点飞出后的路径是抛物线的一部分，A是抛物线的顶点，弹珠飞出后正好从挡板1的顶部B点经过，此时装置距离水平地面的高度为，挡板1到O点的距离为，挡板1的高度为以点O为原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1．（研究路径时弹珠的直径忽略不计，弹珠碰到挡板顶点视为可通过） （1）求弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式． （2）将弹珠游戏装置作出调整：如图2，在距离O点处新增高度为的挡板2，挡板1与挡板2之间的区域记为I；在距离O点处新增高度为的挡板3，挡板2与挡板3之间的区域记为Ⅱ．若该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，求d的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解一元二次方程，理清题中的数量关系，掌握待定系数法及二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为，点，可设抛物线的函数表达式为，把点代入求解，即可解题； （2）根据题意得：挡板2顶端的坐标为，挡板3顶端的坐标为，设该弹簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为，分别把点和代入，求出c的值，再根据该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为，点， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：挡板2顶端的坐标为，挡板3顶端的坐标为， 设该弹簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， 把点代入得： ，解得：， ∵该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内， ∴． 23. 综合与实践 在一次数学活动课上，同学们研究菱形的旋转问题．将菱形 绕点A顺时针旋转，得到菱形． 【观察思考】 （1）如图1，若与 交于点H，则线段 与线段的数量关系为__________． 【探究证明】 （2）如图2，当点G在菱形 内部时，的平分线与射线交于点P，连接． ①判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，请求出的度数．（用含的式子表示） 【拓展应用】 （3）如图3，若的平分线所在直线与直线交于点P，连接，直接写出旋转过程中的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大． （1）连接，根据菱形的性质以及旋转的性质，结合等边对等角，再由角度和差计算求证； （2）①证明即可得到；②设，则，由角平分线得到，根据等腰三角形的性质得到，那么由即可求解； （3）根据“定弦定角”确定点 的轨迹，再找出取最大值和最小值的位置，然后通过解直角三角形和圆周角的性质进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下：连接， ∵菱形 绕点A顺时针旋转，得到菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵平分， ∴， 由旋转可得：， 又∵， ∴， ∴， ②设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由②可得， 连接 ，作 的垂直平分线与 交于点，连接，过点作于点， ∴， 以点为圆心作 ， ∵菱形 ，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 点 在 上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点 在对角线 上时，最短，如图： 此时：； 当点 与点 重合时，最大，为，如图： ∴的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $