精品解析：江苏靖江市2025～2026学年度适应性考试(一) 九年级数学

2025～2026学年度适应性考试（一） 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列四个数中，比小的无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，且是无理数，是有理数， 故选：A 3. 下列代数式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． 4. 在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键． 根据题意，结合众数的意义，即可求解． 【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数， 故选：D． 5. 如图，，点F在上且平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，根据对顶角相等得出，根据得出，，结合平分即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 6. 一次函数（k、b为常数，k≠0）的图象与二次函数（a为常数，）的图象有两个交点．设两个交点的横坐标分别为、，下列结论不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】联立两函数解析式得到 ，由根与系数的关系得到，再根据对应选项中a、b的符号判断的值即可得到答案． 【详解】解：联立两个函数解析式得 ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴， A、当，时，，则，原结论正确，不符合题意； B、当，时，，则，原结论正确，不符合题意； C、当，时，，则，原结论正确，不符合题意； D、当，时，例如取，则此时，原结论错误，符合题意； 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案填写在答题卡上） 7. 2026年4月初，全国多地中小学进入春假，春假期间上海科技馆客流量大幅增长，4月1日参观人数达15000人次，较前一日增长12%，且4月3日至6日的门票均已售罄．数字15000用科学记数法记为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需要根据科学记数法的定义确定和的值. 【详解】科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 将原数变形为，小数点向左移动了位，因此，. 可得. 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】x≥﹣3 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可． 【详解】解：由题意可得2x+6≥0， 解得：x≥﹣3， 故答案为：x≥﹣3． 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义被开方数非负性是解题关键． 9. 在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 正八边形的一个内角的度数是____ 度． 【答案】135 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可. 【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°， 每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°， 故答案为135. 11. 已知圆锥的侧面积为10π cm2，母线长为5 cm，则该圆锥的底面半径为_________cm． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式：S侧=πrl解答即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r，由题意得：，解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，属于基础题型，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解此题的关键． 12. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲． 13. 设关于x的方程的两根分别是、，则代数式的值为______． 【答案】2027 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将原式变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ， ． 14. 一次函数（k为常数，）的图像，与圆心为、半径为1的圆相切，则切点的纵坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得一次函数经过定点，设，是以T为圆心，半径为1的圆，设一次函数与相切于点A，连接，，过点A作于点C，解直角三角形可得，则可求出，可证明轴，据此可求出点A的纵坐标；同理求出一次函数与相切于点B时，点B的纵坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时， ， ∴一次函数经过定点， 如图所示，设，是以T为圆心，半径为1的圆， 设一次函数与相切于点A，连接，，过点A作于点C， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴轴， ∴点A的纵坐标为； 如图所示，当一次函数与相切于点B时，同理可得点B的纵坐标为， 综上所述，一次函数与圆心为、半径为1的圆相切时，切点的纵坐标为或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形均为正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上（点C在点E的左侧），点D在边上，点B、F落在反比例函数（k为常数，）第一象限的图像上，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像的几何意义、勾股定理、正方形的性质以及一元二次方程的计算，是函数与几何的综合应用；先根据反比例函数的几何意义求得的值，再利用正方形四条边都相等的性质设边长，再次利用反比例函数的几何意义建立方程，求得小正方形的边长，得到和的长度，最后用勾股定理求解的长度． 【详解】解：根据反比例函数图像的几何意义可得：， 四边形是正方形，且， ， ， ， 四边形是正方形， 设， ， 即， 解得（舍负）， ，， 在中，， ． 16. 如图，在四边形中，P、Q分别为、上的动点，点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，过点D作，垂足为点G，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，利用平行和与的比值得到必过的交点，所以为定长，因为 ，得到，定角对定长，点的运动轨迹是以为直径的圆，从而求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∵点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动， 设运动时间为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段必过点， ∵， ∴， ∵，所对的边为定长， ∴点的运动轨迹是以为直径的圆， 点到圆上的最大长度要过圆心， ∴与重合时，取得最大值， ∵， ∴， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似与隐圆的综合题，解题的关键是利用已知条件找出动点的运动轨迹，从而解出答案． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质，二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）先去分母将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 原方程化为： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18. “五一”即将来临，小明和小丽每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加社会实践活动． （1）小明选到乙社区的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法，求小明和小丽到同一社区参加社会实践活动的概率？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接得到答案； （2）根据题意画出树状图，确定所有等可能的结果数以及小明和小丽选到同一社区的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加社会实践活动． ∴小明选到乙社区的概率是 【小问2详解】 解：树状图如下， 共有种等可能的结果，其中小明和小丽选到同一社区参加社会实践活动的结果有种， ∴小明和小丽到同一社区参加社会实践活动的概率为 ， 故答案为：． 19. 2026年政府工作报告明确提出，要培育发展具身智能、脑机接口等未来产业，其中，人形机器人作为典型代表，正从“会表演”加速向“能干活”的实用阶段迈进．某校举行了以人形机器人为主题的知识竞赛，每人5道题，参加竞赛的每位学生至少答对1道题，校团委随机抽查了50名学生答对题数的情况，绘制出如下尚不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）补全条形统计图并填空：所抽取学生答对题数的中位数为 道； （2）求所抽取学生答对题数的平均数； （3）学校决定对本次竞赛答对5道题的学生进行奖励，若该校共有1000名学生参加此次知识竞赛，估计获得奖励的学生人数． 【答案】（1）见解析；3.5 （2）3.34道 （3）200人 【解析】 【分析】（1）先求得答对5道题的人数，即可补全条形统计图；根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：答对题数为5的人数是： ， 条形图如图所示： ， 排序后，第25个数据是3，第25个数据是4， 故抽取学生答对题数的中位数为道； 【小问2详解】 解：（道）． 答：所抽取学生答对题数的平均数是3.34道． 【小问3详解】 （人）． 答：获得奖励的学生人数是200人． 20. 如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由题得，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论． 【详解】证明：， ． ． ， ． 平分， ． ． 在和中，， ． 21. 交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图为该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离，测速仪C和E之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）． （1）求A，B两点之间的距离（结果精确到）； （2）若该隧道限速，小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】（1）A，B两点之间的距离为840m； （2）未超速，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）先证明四边形CDFE是矩形，得到，再利用三角函数，分别求出求得AD和BF的长，然后根据进行求解，即可得到答案； （2）根据题意，求出小汽车的行驶速度，与隧道限速进行比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 即A，B两点之间的距离为； 【小问2详解】 未超速，理由如下： 由题意可知，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为，该隧道限速， 小汽车的速度为， 小汽车从点A行驶到点B未超速． 22. 【材料阅读】 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程． 如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根． 再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解． 【学以致用】 （1）求方程的根； （2）求方程的根． 【答案】（1）或或 （2） 【解析】 【分析】根据转化的新思路，（1）将方程转化为一元二次方程即可求解；（2）将方程两边平方后转化为一元二次方程求解，并检验增根． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴或， 即或 ， 即或或， 解得或或． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴， 经检验：是原方程的解，是增根， ∴． 23. 为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元． （1）当时，求与的函数关系式； （2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？ 【答案】（1）当时，； （2）甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元． 【解析】 【分析】（1）设，把，代入，可得、，即可求解； （2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，总费用为元，根据二次函数的图象和性质即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设， 把，代入， 得， 解得， ∴当时，． 【小问2详解】 解：设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，总费用为元． ∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍， ∴， 解得 ． 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，最小为（元）， 当 时，， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，且， ∴时，取最小值，最小为（元）， ∵ ， ∴当时，取最小值，最小为元， 此时，． 答：甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元． 24. 已知，二次函数（a、b为常数，）的图像过点、． （1）直接填空： ； （2）若二次函数的最大值为，求该函数的表达式； （3）设点、分别在二次函数和的图像上，且．若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数的对称轴、顶点坐标和无关型的求解等知识点， （1）根据二次函数求得对称轴为直线，结合点和得即可； （2）由（1）得，则函数的表达式为，进一步求得顶点坐标，结合最大值得到，且．解得即可； （3）根据题意得和，可得，化简后得到，代入得到，结合无关型列出求得a和b即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为直线． ∵点，在该函数的图象上， ∴． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴． ∴该函数的表达式为 ． ∴函数图象的顶点坐标为． ∵函数的最大值为， ∴，且．解得，或（舍去）． ∴该二次函数的表达式为． 【小问3详解】 解：由题意知，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∵是一个与无关的定值， ∴． ∴． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． ∴，． 25. 如图，在正方形中，为边上一点，连接． （1）仅用圆规在边上作点，使得经过点、的直线与垂直；（圆规只限使用两次，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接交于点，以为直径的与交于点，连接． ①依据题意、补全图形，并判断的度数是否会发生变化？若不变，求出的度数；若发生变化，说明理由； ②若，，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①图形见解析，的度数不会发生变化，； ② 【解析】 【分析】（1）先以为圆心，以的长为半径画弧与相交于一点，得到一个等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质，作等腰三角形底边的垂直平分线即可得到点； （2）①由正方形的性质证明，再证明四边形是矩形，为等腰直角三角形，即可求解； ②连接，设，先用勾股定理求出，再求出即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：①如图，连接交于点，以为直径的与交于点，连接，， 由（1）得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； ②如图，连接， 设， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得，， 即，解得， ∴． 由①得， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能够作出适合的辅助线是解题的关键． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值； （3）如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于定值k，列出等式求出a的值，再代入点坐标求出k的值即可． （2）设出点C坐标，通过作垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明两组三角形相似，借助相似三角形对应边成比例求出相关线段比值，再结合直角三角形三边关系，依据正弦定义求出三角函数值． （3）构造等腰直角三角形，证明与互相垂直，利用勾股定理求出两条线段长度；建立对应线段关系求出直线关系式，结合反比例函数旋转后乘积不变的性质列出等式，联立求解得到对应线段长；最后利用三角形面积差求出所求三角形面积． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）的图象经过点和点， ∴ ． ∴． ∴点． 把点代入（）得， ∴． 【小问2详解】 ∵点C为反比例函数的图象上第二象限的点， ∴设．过C作轴于M，过A作轴于N． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴（正值舍去）． ∴， ∵ 设，，则 ． ∴． 【小问3详解】 解：过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ． 过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ． ， ． 由勾股定理得 ， ． ，以、为两个互相垂直方向，设平面内一点沿着方向对应的线段长为，沿着方向对应的线段长为， 则点可看作，点可看作． 设直线对应的关系式为， 把，代入得 ， 解得， 直线对应的关系式为． ∵反比例函数的图象关于象限角平分线对称，绕原点逆时针旋转后，图象上点满足的乘积定值几何性质不变，因此曲线上任意一点在互相垂直的 方向上对应的线段长度乘积仍为6． 可得关系式． 联立， 将代入中， 得， 整理得， 解得，． 当时，，当时，． ， ∴沿方向的线段长度就是点到直线的垂直距离，即点、到直线的距离分别为和， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度适应性考试（一） 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，比小的无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列代数式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 5. 如图，，点F在上且平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数（k、b为常数，k≠0）的图象与二次函数（a为常数，）的图象有两个交点．设两个交点的横坐标分别为、，下列结论不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案填写在答题卡上） 7. 2026年4月初，全国多地中小学进入春假，春假期间上海科技馆客流量大幅增长，4月1日参观人数达15000人次，较前一日增长12%，且4月3日至6日的门票均已售罄．数字15000用科学记数法记为________． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 9. 在实数范围内分解因式：__________． 10. 正八边形的一个内角的度数是____ 度． 11. 已知圆锥的侧面积为10π cm2，母线长为5 cm，则该圆锥的底面半径为_________cm． 12. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 13. 设关于x的方程的两根分别是、，则代数式的值为______． 14. 一次函数（k为常数，）的图像，与圆心为、半径为1的圆相切，则切点的纵坐标为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形均为正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上（点C在点E的左侧），点D在边上，点B、F落在反比例函数（k为常数，）第一象限的图像上，若，则的长为_______． 16. 如图，在四边形中，P、Q分别为、上的动点，点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，过点D作，垂足为点G，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解方程 （1）； （2）． 18. “五一”即将来临，小明和小丽每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加社会实践活动． （1）小明选到乙社区的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法，求小明和小丽到同一社区参加社会实践活动的概率？ 19. 2026年政府工作报告明确提出，要培育发展具身智能、脑机接口等未来产业，其中，人形机器人作为典型代表，正从“会表演”加速向“能干活”的实用阶段迈进．某校举行了以人形机器人为主题的知识竞赛，每人5道题，参加竞赛的每位学生至少答对1道题，校团委随机抽查了50名学生答对题数的情况，绘制出如下尚不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）补全条形统计图并填空：所抽取学生答对题数的中位数为 道； （2）求所抽取学生答对题数的平均数； （3）学校决定对本次竞赛答对5道题的学生进行奖励，若该校共有1000名学生参加此次知识竞赛，估计获得奖励的学生人数． 20. 如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 21. 交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图为该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离，测速仪C和E之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）． （1）求A，B两点之间的距离（结果精确到）； （2）若该隧道限速，小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，） 22. 【材料阅读】 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程． 如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根． 再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解． 【学以致用】 （1）求方程的根； （2）求方程的根． 23. 为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元． （1）当时，求与的函数关系式； （2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？ 24. 已知，二次函数（a、b为常数，）的图像过点、． （1）直接填空： ； （2）若二次函数的最大值为，求该函数的表达式； （3）设点、分别在二次函数和的图像上，且．若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 25. 如图，在正方形中，为边上一点，连接． （1）仅用圆规在边上作点，使得经过点、的直线与垂直；（圆规只限使用两次，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接交于点，以为直径的与交于点，连接． ①依据题意、补全图形，并判断的度数是否会发生变化？若不变，求出的度数；若发生变化，说明理由； ②若，，连接，求的长． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值； （3）如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $