精品解析：2025年江苏省泰州市靖江市中考一模数学试题

2024—2025学年度第二学期适应性考试（一） 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某快递员十二月份送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 4元/单 6元/单 则该快递员十二月份平均每单送餐费是（ ） A. 4.4元 B. 4.6元 C. 4.8元 D. 5元 4. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠着数轴平移到平行四边形的位置．点、表示的数分别为、，则点平移的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中， ， 为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交 于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 由 开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮．据国内产品榜统计显示，这款推理聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数就达22150000．数字22150000用科学记数法表示为______． 8. 分解因式：＝______________． 9. 若一组数据21，14，x，y，9的众数和中位数分别是21和15，则这组数据的平均数为___________． 10. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是 ，则实像 的高是 ________ ． 11. 如图，将绕点顺时针旋转 得到，若 ，则点运动的路径长为______． 12. 如图，在四边形中，， ，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为__． 13. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数（，）图象上，若直线的函数表达式为 ，则 的值为______． 14. 如图，在等边三角形中， 是延长线上一点， 是 上一点，连接 ，．若 ，，，则的长为______． 15. 已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为______． 16. “洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息可得______． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 目前中国超重肥胖人群已超3亿，若不加以干预，预计2030年成人超重肥胖率将达，儿童将达．在2025年全国两会期间，“体重管理年”三年行动成为重要议题．目前，国际上常用身体质量指数“”（Body Mass Index）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位： ；表示身高，单位：）．BMI标准见下表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 健康风险 伴随营养不良，免疫力下降 疾病风险相对较低 需注意饮食和运动，预防代谢病 显著增加心血管疾病，关节负担等 为了了解学生的健康情况，某校随机抽取了40名学生测量身高和体重，计算其BMI值，并将其分成四组，情况如下： 的范围 人数 4 24 2 （1）样本中数值落在超重范围里的频率是______； （2）小明身高，体重为，根据公式判断他的健康状况的类型为______； （3）小华身高，值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减多少千克？（结果精确到） 19. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游，每次出游只能选一条路线． “跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A．临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B．长治线：观音堂、紫庆寺 C．翔州线：尝福寺、应县木塔 D．普中线：平遥镇国寺、平遥双林寺 （1）小米家选A路线的概率是______； （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭从上面四条路线中各选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家恰好选同一条路线的概率． 20. 宇树科技的机器人 完成一项数据处理任务，常规模式下每小时处理的数据量固定．若先用常规模式工作5小时后，切换到加速模式继续工作8小时，刚好完成任务．若加速模式下每小时处理的数据量比常规模式多，求常规模式下单独完成整个任务需要多少小时？ 21. 如图，的中线与中位线相交于点．从a组信息中，选择一个作为条件，从b组信息中选择一个作为结论，并证明． a：①；②； b：③四边形为菱形；④四边形为矩形． 你选择的条件是______；结论是______．（只要填写序号，证明一个即可） 22. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量 ，两座楼之间的距离，他们设计如下方案：无人机在 ，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为 ，此时观测到楼 底部点处的俯角为 ，楼上点 处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点 ，测得点 处俯角为，其中点，，， ， ， ，均在同一竖直平面内．根据以上数据求楼 与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，） ． 23. 如图1，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，点的对应点记作． （1）用无刻度直尺在图1中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______°； （2）用无刻度直尺和圆规在图2中，作出与相切时的位置，此时的长为______． 24. 在平面直角坐标系中，过一点分别向， 轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则该点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”． 【初步理解】 （1），是和谐点的是______； （2）若点是第四象限内的一个“和谐点”，求点的坐标； 【尝试应用】 （3）若双曲线（，）上有且只有一个“和谐点”，求 的值； 【回归本质】 （4）若为第一象限内的和谐点，且横、纵坐标均为整数，求满足条件的点的所有坐标． 25. 综合与实践：图形的旋转． 在矩形中，点为对角线 的中点，连接 ，点 在 上， ，线段的延长线交于点 ．将图1中的绕点顺时针旋转，设点， 的对应点分别为，． 【初步探究】 （1）与的数量关系是______； 【尝试解决】 （2）如图2，当点落在 的延长线上时，连接，判断四边形 的形状，并说明理由； 【拓展提升】 （3）已知， ，求直线与直线垂直时的值． 26. 在平面直角坐标系中，点，的横坐标分别为，（，为常数， ），且在抛物线上，抛物线顶点记为． （1）对称轴方程为______；（用含的代数式表示） （2）过作轴的平行线交该抛物线于点，若，求的值； （3）若点，所在直线经过一、三象限，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期适应性考试（一） 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故该选项符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据负整数指数幂，合并同类项，幂的乘方、完全平方公式分别计算即可判断求解．掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】A. ，正确； B. 与不是同类项，不能合并，不正确； C. ，不正确； D. ，不正确． 故选：A． 3. 某快递员十二月份送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 4元/单 6元/单 则该快递员十二月份平均每单送餐费是（ ） A. 4.4元 B. 4.6元 C. 4.8元 D. 5元 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数公式计算即可． 【详解】解：该快递员十二月份平均每单送餐费是：（元）， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解答本题的关键． 4. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 5. 如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠着数轴平移到平行四边形的位置．点、表示的数分别为、，则点平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键．根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果． 【详解】解：由题图可知，点平移的距离为， 故选C． 6. 如图，在正方形中， ，为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交 于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作点关于的对称点，过点作 于，交于点，连接，，根据折叠的性质可得点在上，推得的最小值为 的长，根据折叠的性质可得为线段的垂直平分线，根据勾股定理可得和的值，根据同位角相等，两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形为菱形，根据菱形的对角线互相平分可得，，求得的值，根据两组对角相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得 的值，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作 于，交于点，连接，，如图： 由折叠的性质知是 的平分线， ∴点在上， ∵， ∴的最小值为 的长， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的应用——最短路径问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 由 开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮．据国内产品榜统计显示，这款推理聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数就达22150000．数字22150000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：数字22150000用科学记数法表示为， 故答案为：． 8. 分解因式：＝______________． 【答案】mn(m－n) 【解析】 【详解】分析:找出多项式中的公因式mn，再进行提取公因式进行分解即可． 详解：m2n-mn2=mn（m-n）． 故答案为mn（m-n）． 点睛：本题考查了提公因式法分解因式，是基础题，准确找出公因式是解题的关键． 9. 若一组数据21，14，x，y，9的众数和中位数分别是21和15，则这组数据的平均数为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据已知条件分析，得出x和y中有一个数为21，再根据中位数得出另一个数，从而求出平均数. 【详解】解：∵一组数据21，14，x，y，9的众数和中位数分别是21和15， 若x=y=21，则该组数据的中位数为：21，不符合题意， 则x和y中有一个数为21，另一个数为15， ∴这组数据的平均数为：（9+14+15+21+21）÷5=16， 故答案为：16. 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数的概念，解题的关键是掌握相应的求法. 10. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是 ，则实像 的高是 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是 ， ∴， ∴ 故答案为：． 11. 如图，将绕点顺时针旋转 得到，若 ，则点运动的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，根据弧长公式即可求出点C经过的路径长． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转 得到， ， ∴点C经过的路径长为：． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，， ，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为__． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，作 于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在 中，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图，连接，作 于点H，则， 分别与扇形相切于点A，E，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在 中，， ， 解得： ． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 13. 如图，正方形的顶点在 轴上，点，点在反比例函数（，）图象上，若直线的函数表达式为 ，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式求出点B的坐标，过点A、C分别作x轴的垂线，利用正方形的性质证明，得到对应边相等，再证明，进而得到，设，则，进而得到点、，代入反比例函数解析式求出的值，从而求出的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，设直线与 轴交于点， 令得：， 解得：， 令得：， 、， 、， ， 四边形是正方形， 、， ， ， ， 在和中， ， ， 、 ， 、， ， ， ， 设，则， 、， 、， 将点、代入得： ， 整理得：， 解得：或 （舍去）， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数、一次函数的图象性质是解题的关键． 14. 如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若 ，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过作于点，由等腰三角形的性质得，设，则，由等边三角形的性质得，则，再由含 角的直角三角形的性质得 ，然后求出 ，即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于点， ， ， 设，则， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 15. 已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求出二次函数的解析式，令 ，则，根据根与系数的关系求出 ，，求出，根据，得出求出m的取值范围即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴， 令 ，则， ∴， ∵，在抛物线上， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 综上分析可知：． 故答案为：． 16. “洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息可得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：如图： 由图可知：， ∴ ，， 如图： 由图可知：， ∴ ， ∴和为6， 如图： ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），15 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解题的关键是掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则． （1）先利用零指数幂和立方根及负整数指数幂的运算法则计算，再计算加减可得； （2）先利用完全平方公式和平方差公式、单项式乘多项式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将的值代入计算． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ， 当时，原式． 18. 目前中国超重肥胖人群已超3亿，若不加以干预，预计2030年成人超重肥胖率将达，儿童将达．在2025年全国两会期间，“体重管理年”三年行动成为重要议题．目前，国际上常用身体质量指数“”（Body Mass Index）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位： ；表示身高，单位：）．BMI标准见下表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 健康风险 伴随营养不良，免疫力下降 疾病风险相对较低 需注意饮食和运动，预防代谢病 显著增加心血管疾病，关节负担等 为了了解学生的健康情况，某校随机抽取了40名学生测量身高和体重，计算其BMI值，并将其分成四组，情况如下： 的范围 人数 4 24 2 （1）样本中数值落在超重范围里的频率是______； （2）小明身高，体重为，根据公式判断他的健康状况的类型为______； （3）小华身高，值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减多少千克？（结果精确到） 【答案】（1）0.25 （2）正常 （3）小华至少减重 【解析】 【分析】本题考查频率的计算以及不等式的计算，根据表格中的数据计算出值是解题的关键． （1）先得出，再利用频率计算公式得出超重范围的频率； （2）根据小明的身高和体重计算出他的值，并判断他的健康状况； （3）设减重后体重为x千克，正常，则，求解不等式，注意所减体重要大于 ． 【小问1详解】 解：已知总人数为40人，由，解得， 所以超重范围的频率为； 故答案为：0.25； 【小问2详解】 小明的， 因为​，所以健康状况类型为正常． 故答案为：正常： 【小问3详解】 设减重后体重为x千克，正常， 则，解得， 小华原体重为，至少减重 ​ ，所减体重要大于 至少减重． 答：他的体重至少需要减千克． 19. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游，每次出游只能选一条路线． “跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A．临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B．长治线：观音堂、紫庆寺 C．翔州线：尝福寺、应县木塔 D．普中线：平遥镇国寺、平遥双林寺 （1）小米家选A路线的概率是______； （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭从上面四条路线中各选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家恰好选同一条路线的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，正确的画出树状图是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：从A、B、C、D路线中选中A的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中两家恰好选择同一条路线的结果有4种 答：小米家和小明家选择同一条路线的概率为． 20. 宇树科技的机器人 完成一项数据处理任务，常规模式下每小时处理的数据量固定．若先用常规模式工作5小时后，切换到加速模式继续工作8小时，刚好完成任务．若加速模式下每小时处理的数据量比常规模式多，求常规模式下单独完成整个任务需要多少小时？ 【答案】常规模式下单独完成整个任务需15小时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设常规模式下单独完成整个任务需 小时，结合“先用常规模式工作5小时后，切换到加速模式继续工作8小时，刚好完成任务．若加速模式下每小时处理的数据量比常规模式多”列出分式方程，即可作答． 【详解】解：设常规模式下单独完成整个任务需 小时， 依题意得， 解得： 经检验： 适合原方程且满足题意． 答：常规模式下单独完成整个任务需15小时． 21. 如图，的中线与中位线相交于点．从a组信息中，选择一个作为条件，从b组信息中选择一个作为结论，并证明． a：①；②； b：③四边形 为菱形；④四边形 为矩形． 你选择的条件是______；结论是______．（只要填写序号，证明一个即可） 【答案】选择的条件是①，结论是④，证明见解析 【解析】 【分析】该题考查了菱形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理知识点，根据题意选择的条件是：①，结论是：④；和选择的条件是：②，结论是：③；分别证明即可． 【详解】解：选择的条件是：①结论是：④； 证明：连接，， 为的中线，为中位线， 为中点，为中点，为中点． ，． 四边形 为平行四边形． 又，则四边形 为矩形． 选择的条件是：②结论是：③； 证明：连接，， 为的中线，为中位线， 为中点，为中点，为中点． ，，． 四边形 为平行四边形． ，为的中线， ∴ ， ∴， ∴则四边形 为菱形． 22. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们设计如下方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为 ，此时观测到楼底部点处的俯角为 ，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，） ． 【答案】楼与之间的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作 ，垂足为点，则，根据题意得出，延长交所在直线于点，则 ，确定，然后利用含30度角的直角三角形的性质及矩形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过点作 ，垂足为点，则． 由题意：，， ． ． 延长交所在直线于点，则 ， ，， ． ． 在中， ，， ． ． ． 根据题意得：四边形为矩形． ． ． 答：楼与之间的距离约为 ． 23. 如图1，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，点的对应点记作． （1）用无刻度直尺在图1中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______°； （2）用无刻度直尺和圆规在图2中，作出与相切时的位置，此时的长为______． 【答案】（1）30 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． （1）当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得， （2）根据过直线上一点作垂线可得圆的切线，过点B作，得出，分两种情况得出的值． 【小问1详解】 解：延长交于点，则点即为所作； 当点C第一次落在⊙O上时，连接， ∵， ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； ∴旋转角为 ， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：当与第一次相切时，如图， 此时由（1）得 ， 过点B作， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∵ ， ∴， ∴， 在中，； 当与第二次相切时，如图， 同理可得，， 在中，； 综上，的值为或． 24. 在平面直角坐标系中，过一点分别向 ， 轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则该点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”． 【初步理解】 （1），是和谐点的是______； （2）若点是第四象限内的一个“和谐点”，求点的坐标； 【尝试应用】 （3）若双曲线（，）上有且只有一个“和谐点”，求的值； 【回归本质】 （4）若为第一象限内的和谐点，且横、纵坐标均为整数，求满足条件的点的所有坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】本题通过新定义“和谐点”和“和谐矩形”，结合坐标系中的几何性质，考查代数方程的建立与求解，涉及二次方程求解和因式分解以及反比例函数理解．本题的核心在于理解“和谐点”的定义，通过建立方程将几何条件转化为代数问题．关键步骤包括周长面积相等方程的建立、参数的求解以及因数分解的枚举．注意各问题的限制条件（如象限、双曲线参数、整数坐标）对解的影响． （1）首先需要理解“和谐点”的定义：即点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，据此进行判定即可； （2）先根据第四象限条件确定坐标符号，进一步建立和谐点方程进行计算即可； （3）先设双曲线上点坐标，根据定义：周长==面积= ，联立方程进行求解即可； （4）设为正整数，满足，进行因式分解得出进一步进行枚举即可． 【详解】解：（1）设点P的坐标为，则矩形周长为，面积为， 代入：周长，面积， 两者相等，故P为和谐点； 代入：周长，面积， ，故Q不是和谐点； 故答案为：； （2）点在第四象限， 故，得， 可得周长， 面积， 由周长=面积得：， 解得：， 故点P坐标为； （3）设和谐点为，则（，）， 根据定义：周长==面积= ， 联立方程： ， 将代入得：， 化简得：， ， ， ； （4）设为正整数，满足： ，化简得：， 4的正整数分解为：， 当得出； 当得出； 当得出； 故或或． 25. 综合与实践：图形的旋转． 在矩形中，点为对角线的中点，连接 ，点在上， ，线段的延长线交于点．将图1中的绕点顺时针旋转，设点，的对应点分别为，． 【初步探究】 （1）与的数量关系是______； 【尝试解决】 （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形 的形状，并说明理由； 【拓展提升】 （3）已知 ， ，求直线与直线垂直时的值． 【答案】 （1） （2）四边形 为菱形，理由如下∶ ∵旋转得到， ∴ ，． ∵四边形为矩形； ∴． ∴ ， ∴ ， ； ∴ ． ∴． ∴． 由 (1) 得 ， ∴ ， ∴四边形 是菱形． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质得和 ，结合直角三角形的性质可证明 ，有 ．结合 即可； （2）由旋转得，结合矩形的性质可证 ，有．由 (1) 得 ，则 ，即可判定四边形 是菱形； （3）在 中求得，结合中点可得 ，当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转．将、和 绕点B顺时针旋转得到、和 ，过点作 于点N，则 ，可得 ，可求得，，即可得 ，求得 ，利用勾股定理即可；将、和 绕点B逆时针旋转得到、和 ，过点作 于点H，则 ，得，，则 ，可求得，利用勾股定理即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形 是矩形； ∴， ∴ ． ∵点O为的中点， ∴ ∵ ， ∴． ∴ ． ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． (2) 略 （3）在 中， ∵ ， ∴ ， ∵点O为的中点， ∴ ， 当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转， 如图，将、和 绕点B顺时针旋转得到、和 ，过点作 于点N， 则 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ， 如图，将、和 绕点B逆时针旋转得到、和 ，过点作 于点H， 则 ， ， ， ， ∴ ， ∴， 故两点间的距离为或 ． 【点睛】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和解直角三角形． 26. 在平面直角坐标系中，点，的横坐标分别为，（，为常数， ），且在抛物线上，抛物线顶点记为． （1）对称轴方程为______；（用含的代数式表示） （2）过作 轴的平行线交该抛物线于点，若，求的值； （3）若点，所在直线经过一、三象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用顶点式得到对称轴方程即可； （2）如图，当 在的同侧时，求解，，，结合，可得，再解方程即可；如图，当 在的异侧时，同理可得：，再解方程即可； （3）由点，的横坐标分别为，（，为常数， ），且在抛物线上，可得，在的右边，当 关于对称轴对称时，，如图，可得，再结合图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线： 【小问2详解】 解：如图，当 在的同侧时， ∵， ∴， 当时， ， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：；经检验符合题意； 如图，当 在的异侧时， 同理可得： ∴， 整理得：， 解得：或； ∵ ， ∴舍去， 综上：或或； 【小问3详解】 解：∵点，的横坐标分别为，（，为常数， ），且在抛物线上， ∴， ∴在的右边， 当 关于对称轴对称时，，如图， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴当点，所在直线经过一、三象限时，如图， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与图形面积，一次函数的性质，本题难度大，属于二次函数的压轴题，熟练的利用数形结合的方法与清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $