精品解析：广东省揭阳市榕城区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中质检 八年级数学科试卷（A） 一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个等腰三角形腰长为6，则这个等腰三角形的周长不可能是（　　） A. 13 B. 18 C. 23 D. 26 3. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点M到达点处，则点N到达的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，的垂直平分线分别交边，于点，，连接．若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式组无解，那么的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 小林一家五口去餐馆用餐，平均每人消费60元，爸爸去结账时，服务员告诉他有两种方式：方式一是美团，有58元抵100的抵用券，每桌限用2张，其余部分另外支付；方式二是享受八折优惠．哪种方式支付更划算呢？（ ）． A. 方式一 B. 方式二 C. 两种方式价格相同 D. 无法确定 8. 如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点、分别为、上的点，且．将绕点逆时针旋转至点、、在同一条直线上，连接、．下列结论：①的旋转角为120°；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ②③ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知等腰三角形一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是_________． 12. 如图，将绕点A逆时针方向旋转到位置，点B落在边上的点D处，若，，则_____． 13. 已知直线与直线交点坐标为，则关于的不等式的解集是__________． 14. 如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度按的路径运动，设运动时间为秒．当______时，恰好平分． 15. 如图，在中，，平分，于点，连接，若的面积为，则的面积为____． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解不等式组：，并求出它的整数解． 17. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点． （1）请画出平移后的． （2）连接，，则这两条线段之间的关系是__________．（数量关系和位置关系） （3）求面积． 18. 如图，在中，，，D为上一点，且D到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点D的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若，，求的长． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 20. 已知关于、的方程满足方程组． （1）若、均为非负数，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最大值和最小值． 21. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接，． （1）求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 23. 请阅读材料并填空： 如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长．李明同学的思路是： 将绕点逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接． （1）根据李明同学的思路，进一步思考后可求和等边的边长，请写出求解的过程． （2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中质检 八年级数学科试卷（A） 一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，轴对称图形是关于某条直线折叠后，两边重合的图形；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可得到答案．熟记轴对称图形、中心对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、选项中的图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形但是中心对称图形，不符合题意； C、选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、选项中的图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 一个等腰三角形腰长为6，则这个等腰三角形的周长不可能是（　　） A. 13 B. 18 C. 23 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，设底边长为，可得，可得这个等腰三角形的周长的范围为：；再进一步求解即可． 【详解】解：∵一个等腰三角形腰长为6，设底边长为， ∴， ∴这个等腰三角形的周长的范围为：； ∴这个等腰三角形的周长不可能为， 故选：D 3. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在第二象限，得到，求出解集并表示在数轴上，即可得到答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 将解集表示在数轴上为， 故选：A． 【点睛】此题考查了直角坐标系中点坐标的特点，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，综合掌握各知识点是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点M到达点处，则点N到达的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键；因此此题可根据点的坐标平移“左减右加，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由点经过平移后到达点处，可知平移方式为向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度；所以点经过这样的平移后到达的点的坐标是； 故选A． 5. 如图，在中，的垂直平分线分别交边，于点，，连接．若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据垂直平分可得，，结合的周长为即可求解． 【详解】解：垂直平分，， ，， 的周长为， ， ， ， 的周长为， 故选：A． 6. 关于的不等式组无解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的解集，由不等式组无解可得与的大小关系，即可求解． 【详解】解：∵的不等式组无解， ∴， 故选：D． 7. 小林一家五口去餐馆用餐，平均每人消费60元，爸爸去结账时，服务员告诉他有两种方式：方式一是美团，有58元抵100的抵用券，每桌限用2张，其余部分另外支付；方式二是享受八折优惠．哪种方式支付更划算呢？（ ）． A. 方式一 B. 方式二 C. 两种方式价格相同 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，求出按两种支付方式支付所需费用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：按方式一支付所需费用为（元）； 按方式二支付所需费用（元）． ∵， ∴按方式一支付更划算． 故选：A． 8. 如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．先求出，根据，得，，则，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解，解不等式等知识，观察两不等式的特点，运用整体思想得出，然后求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴关于x的不等式满足， 解得， 故选：A． 10. 如图，在中，，，点、分别为、上的点，且．将绕点逆时针旋转至点、、在同一条直线上，连接、．下列结论：①的旋转角为120°；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ②③ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，进而可证△ADB≌△AEC，然后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得∠BAD=∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴∠BAD=∠CAE=60°， ∴的旋转角为60°；故①错误； ∵， ∴， ∴AD=AE， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵，∠BAD=∠CAE=60°， ∴，故④正确； ∴正确的有②③④； 故选B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分这个内角是顶角和底角两种情况，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当这个内角是顶角时，则顶角的度数是， 当这个内角是底角时，则顶角的度数是， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是． 12. 如图，将绕点A逆时针方向旋转到的位置，点B落在边上的点D处，若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题重点考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转得，，而点B落在边上的点D处，由，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵点B落在边上的点D处， ∴， 故答案为：2． 13. 已知直线与直线的交点坐标为，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】x＜-1 【解析】 【分析】根据图像，数形结合，当一次函数的图像在一次函数图像的上方时，可得的解集． 【详解】解：过点A作AB⊥x轴交x轴于点B，如图所示： ∵在直线AB的左边，一次函数的图像在的上方 ∴x＜-1时， 故答案为：x＜-1． 【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，能够准确的画出图形以及数形结合写出范围是解决本题的关键． 14. 如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度按的路径运动，设运动时间为秒．当______时，恰好平分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），结合勾股定理建立方程求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再根据角平分线的性质，过点作于，得到，然后通过全等三角形或面积法等建立关于的方程，求解得出的值． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ． 过点作于， ∵ 平分，，， ∴ ，设（在上运动阶段 ），则， ． ∵， ∴ ∴ ， ∴ ． 在中，由勾股定理得， 即， 展开得， 移项化简得， 解得 ． 故答案为： ． 15. 如图，在中，，平分，于点，连接，若的面积为，则的面积为____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AP=PD，得出S△ABP=S△DBP，S△ACP=S△DCP，推出S△PBC= S△ABC，代入求出即可． 【详解】如图，延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABC ∴∠ABP=∠DBP，且BP=BP，∠APB=∠DPB ∴△ABP≌△DBP（ASA） ∴AP=PD， ∴S△ABP=S△BPD，S△APC=S△CDP， ∴S△PBC=S△ABC=2 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，解题关键在于掌握等底等高的三角形的面积相等． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解不等式组：，并求出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解为，，，． 【解析】 【分析】分别解不等式①②，在数轴上表示出不等式的及解集，进而根据公共部分求得解集，求得整数解，即可求解． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 解集表示在数轴上，如图所示： 则不等式组的整数解为，，，． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键． 17. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点． （1）请画出平移后的． （2）连接，，则这两条线段之间的关系是__________．（数量关系和位置关系） （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握“平移后，各组对应点的线段互相平行且相等”是解题关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质即可得，； （3）利用补形法结合三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求． 【小问2详解】 解：如图， 由平移的性质可得：，． 故答案：，． 【小问3详解】 解：． 的面积为． 18. 如图，在中，，，D为上一点，且D到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点D的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线尺规作图，线段垂直平分线的判定定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）D到A，B两点的距离相等，则点D在线段的垂直平分线上，据此作图即可； （2）设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∵D到A，B两点的距离相等， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题； （2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】证明：（1）平分，， ， ，； 在和中， ， ， ； （2）平分，， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 平分，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 20. 已知关于、方程满足方程组． （1）若、均为非负数，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为9，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， 解得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 21. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接，． （1）求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得到线段和角的等量关系，结合等边三角形的内角性质，推出的形状，进而得出的度数． （2）依据旋转性质得到的度数，再结合（1）中的度数，计算出的度数，从而判断位置关系． 本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转前后线段和角的对应关系，以及等边三角形的判定条件是解题的关键． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得，，， ，即， 三角形是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ； 【小问2详解】 解：与的位置关系是：，理由如下： 由（1）知， 将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到， ， ， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】（1）应选用A种食品4包，B种食品2包 （2）应选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设选用A种食品x包，种食品y包，根据“恰好摄入热量和蛋白质”列方程组，即可求解； （2）设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，种食品y包， 由题意可知，， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设应选用A种食品a包，B种食品包， 由题意可知，． 解得：． 当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为， 脂肪含量随a的增大而减小． ∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少． B种食品:（包）． 答：应选用A种食品3包，B种食品4包． 23. 请阅读材料并填空： 如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长．李明同学的思路是： 将绕点逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接． （1）根据李明同学的思路，进一步思考后可求和等边的边长，请写出求解的过程． （2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2），正方形边长为 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质，将旋转构造新三角形，结合等边三角形、直角三角形的判定及性质，通过角度计算和勾股定理求解． （2）借鉴（1）的旋转思路，将旋转，利用旋转性质、等腰直角三角形、直角三角形的判定及性质，结合角度计算和勾股定理得出结果． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转60°得出， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， ，， 由勾股定理得：， ， 由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：将绕点逆时针旋转90°得到， 与（1）类似：可得：，， ，， ， ， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， 过点作，交的延长线于点； ， ， ； 在中，由勾股定理，得； ，正方形边长为． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转性质、等边三角形与正方形的性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转构造全等三角形的方法，灵活运用特殊三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $