辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A A C B AD AD 题号 11 答案 ACD 1.A 【分析】结合共轭复数的概念，根据复数的运算法则计算即可. 【e1一侣7号2}，所：-所以贺分2 2.C 【详解】sin(a-B)sin(au+B)=(sin a cos B-cosasin B)(sina cos B+cosasin B) sin2 acos2B-cos2 asin2B=1-cos2a cos2 B-cos2 a [-cos2B cos2 B-cos2 a 因为sin(a-B)sin(a+B)= 2W2 3 所以cosa-cos'e=-2y 3 3.C 【分析】根据题意求出点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数解析式为 么：m名一岩司：2，钻合运项依次门断即可 【详解】设点P距离水面的高度为h(米)与时间t(秒)之间的函数解析式为 h=Asin(at+)+B, A>0,w>0,9< 2 由题意，hnr=6,hn=-2, [A+B=6 [A=4 所以 仁A+B=-2解得8=2 因为T=2弧=60，所以0=2弧-亚 T30 则h=4sin 元t+φ+2， 30 当t=0时，h=0,所以4sinp+2=0,则sinp=-】 又5，则9=-石 6 答案第1页，共12页 兀 综上，h=4sin 兀 301-6 +2,故A正确： 令h=4sin30 ,得t=20秒，故B正确： 当t=95秒时，h=4sin x95- 30 +2=4sin3叶22米，故C错误： 6 当t=50秒时，h=4sin ×50-+2=4sin3”+2=-2米，故D正确 30 6 2 4.A 【详解】由a∥b知4cos=3sin2a,即coSa(4-6sin)=0,得cosu=0或sin= 1 故c0s2c=2c0s2au-1=-1或c0s2a=1-2 sin'a= 9 5.D 【详解】由二倍角的余弦公式可得：-cosC+1=-1+cosC+1=1-cosC 2 2 2 所以c0 s4cosB=-coSC+ 1=1-c0sC 2 2cosAcosB=1-cosC =1+cos(A+B)=1+cos AcosB-sinAsinB, 所以cos AcosB+sinAsinB=cos(A-B)=1, 因为0<A<兀0<B<π，则-π<-B<0,-元<A-B<π， 所以由cos(A-B)=1可得：A-B=0,所以A=B, 6.C 【分析】首先根据诱导公式化为同名三角函数，再根据变换规律求解. 将y=3sn宁的图象上所有的点横坐标变为原来的号（纵坐标不变)，变为y=3snx, 再向左平移写个单位，得到函数y=3sm（+日到-3co(母 7.C 【分析】利用正弦定理将角化为边，得到三角形三条边的比的关系，结合周长16，分别求 出三条边长，代入海伦公式求出三角形面积. 【详解】e4BC中，sinA:sinB:sinC=3:6:7,由正弦定理可得a:b:c=3:6:7, 答案第2页，共12页 又ABC周长为16，即a+b+c=16, .a=3,b=6,c=7,p=8,.e4BC的面积S=√8x5x2x1=45 8.B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到PCPD=P-4,结合PE的最值得到答案 【详解】取CD的中点E,连接PE, PC+PD-2PE,PC-PD=DC=2DE, 两式分别平方再相减得P℃PD=P亚2-D正”=P-4, 设AB中点为O,连接OE交圆弧于点H,则当P与H重合时，PE最小，最小值为2， 当P与A或B重合时，PE最大，最大值为√4？+22=2√5， 所以Pc.PD∈2-4，(25-4=[0,16] D H B 9.AD AB AC 【分析】对A,由向量的意义可知 表示在∠BAC的角平分线上的向量，再结合 向量的数量积的性质可得；对B,由条件可得D为eABC的重心；对C,由DA.DB=DB.DC 得DB⊥AC,同理可得DC⊥AB,DA⊥BC,进而可得D为eABC的垂心：对D,由正弦 定理可得D=22,进而可得结果 k AB 【详解】A,因为AB 是与AB同方向的单位向量 AC 是与AC同方向的单位向量， AB AC 所以 AB AC 表示在∠BAC的角平分线上的向量，如图： 答案第3页，共12页 AB .AC 又因为 BC=0,所以∠BAC的角平分线与BC垂直， AB 所以AB=AC,故ABC为等腰三角形，所以A正确： B,设M是BC的中点，则DM是三角形DBC的中线，所以DB+DC=2DM, 因为DA+DB+DC=0,所以2DM=AD,得A,D,M三点共线，且D是中线AM上靠近M 的三等分点， 所以D为ABC重心，故B错误；如图： B C,因为DADB=DB.DC,所以DB·(DA-DC)=0,即DB.CA=0,所以DB⊥AC 同理DB.DC=DC.DA,得DC⊥AB;DA.DB=DC.DA,得DA⊥BC, 所以D为eABC的垂心，故C错误： D,由正弦定理： AB AC sinC sin B =2R,所以AB sin B=ACsin c=2 Rsin Bsin C, Bsin B=AC sin C=2Rsin BsinC, 由AD=1 AB AC AB sin B AC sinc 所以AD与中线向量AM共线，即点D的轨迹经过ABC的重心，故D正确. 10.AD 【详解】设=a+bi,-2=c+di(a,b,c,d∈R), 选项A:计算得=(a-b)+2abi,若zeR,则虚部2ab=0,即a=0或b=0; 若b=0,则=a∈R；若a=0,则=bi,当b≠0时为纯虚数， 答案第4页，共12页 当b=0时z=0∈R,故3为实数或纯虚数，正确； 选项B:举反例：-=1,2=i,1+i1-=√2，但=i≠0，错误； 选项C:举反例：1=1+i,52=1-i,32=2名P,但≠3，错误： 选项D:z·z2=(a+bi)(c+dh)=ac+adh+bci+bdi2=(ac-bd+(ad+bc)i. =(ac-bd)-(ad+b)i, ,52的共轭分别为名=a-bi,3,=c-h,两者相乘得： 三=(a-bic-d=ac-ad-bci+bd=(ac-bad-(ad+bc)i=5,正确. 11.ACD 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项，由大边对大角与余弦函数的单 调性可得：在锐角e4BC中，得到A+B>匹与正弦定理即可判断C的正误；根据题意，可 2 得asin B<b<a,求出b的范围，可判断D的正误； 【详解】选项A,因为bcosA=a0sB,即b(⑥+c2-a)a+c2-b') 2bc 2ac 所以有b2+c2-a2=d2+c2-b2整理可得d2=b2,所以a=b, 故ABC为等腰三角形，故A正确： 选项B,由大边对大角，a>b→A>B,由余弦函数y=C0sx在(O,D)上单调递减， 故coSA<cosB,故B错误； 选项C:若1BC为能角三角形，所以A+B>买所以牙A牙-B>0, 由正弦函数)y=mx在0)单调道增，则面A>sn任8=cos8,放c正确： 选项D:因为B-子，a=25,如图，因为®4BC有两解，所以asB<b<a, 25sim<b<25,解得3<b<2W3,故D正确： 3 e 6 b asinB B A 答案第5页，共12页 2- 【分析】先应用二倍角正弦公式计算化简得出an0=2,再应用二倍角正切公式计算求解. 【详解】因为2c0s0+sin20 1+sin203 2 所以 (sin+cos0)2 (sine+cos0) 0+cos03,所以sin0=2cos0,所以 2cos20+2sinecose 2cos@(sine+cose) 2c0s0 tan=2, 则tan28= m汤 2tan0 4 13.19 【详解】由a-=万，则a-矿=d+-2a.6=7, 因为d=2,5=3,所以7=4+9-2a.6,解得a.6=3, 于是a+=+b2+2a.6=4+9+6=19,故a+b=19 14.55 【详解】在ACD中，由余弦定理得CD2=AD+AC2-2AD·AC cos120° 1 =3+62-2x3x6263, 所以CD=3√7，在Rt△BCD中， BC=CDtan30=3N7×Y52, 3 CD 在ACD中，由正弦定理得 AD sin∠DAC sin∠ACD 所以sim∠ACD=AD CDsin120°= 3521 3√万214 所以cos∠ACB=cos(90°+∠ACD)）尸-sin∠ACD=- √21 14 在ABC中，AB2=AC2+BC2-2·AC.BC.c0S∠ACB =62+21-2×6×V21× V21 =75,故AB=55. 14 15.(1)1 (2)p=4,q=13 【分析】(1)若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m 的值： 答案第6页，共12页 (2)根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p, q的值. m2+-2=0 【详解】(1)因为复数z=(m2+m-2)+(4-m2)i是纯虚数，所以 4-m2≠0 由m+m-2=(-1)(m+2)=0,解得m=1或m=-2 当m=1时，4-m2=3≠0，符合要求： 当m=-2时，4-2=0，不符合要求，舍去， 所以m的值为1： (2)当m=-1时，复数==-2+3i, 由题意知复数二=-2+3i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根. 因为方程x2+px+q=0的系数P,q为实数， 所以方程的另外一个根是z的共轭复数三=-2-3i。 所以由韦达定理可得 (-2+3i1)+(-2-3i)=-p (-2+3i)(-2-3i)=q 解得/P4 9=13 16.(1)π： +m2亚+mkZ 6 eg)-2mx到： 2W5+V6 6 【分析】(1)先根据向量数量积的坐标运算公式计算得到∫(x)的表达式，利用三角恒等变 换公式对∫(x)进行化简，利用正弦函数的周期公式求最小正周期；再根据正弦函数的单调 减区间的求解方法，结合复合函数单调性规律，求出∫(x)的单调减区间； (2)根据平移规则求出g(x)的解析式，利用角的拆分，结合两角差的余弦公式进行求解 【详解】(1)f(x)=m.i=(cosx+sir)(cosr-sirH2 Bsin cosx =coex-9nx+25sinc6oax=6oe2x+5sn2x=2sn2x+8), 数f(的最小正周期为？受 答案第7页，共12页 令号2≤2x+君亚2eZ,解得+m≤x≤2keZ, 6 Γ2 6 故f(x)的单调减区间为 C2》函数f(的图象向右平移个单位得到函数g()的图象。 即=2m2x到=2m2x g9即a29m24 收m2年)m（2号)m24号o导n2年号旺 625迈 3232 =-23+V6 6 1.①=10-0m60j0o0-60cs0)0≤0s引： (2)长方形停车场PQCR面积的最大值为4000、最小值为3315. 【分析】(1)用O表示PR,PQ即可由S=PRPQ得解： (2)先由(1)得到停车场POCR的面积S与0的函数关系式，令t=sin0+cos0,结合 sinB+cos0与sin0cos0的关系式，将面积转化成关于t的一元二次函数即可由二次函数性 质求解 【详解】(1)由题可得PR=100-APsin6=100-60sin6,P0=100-APcos6=100-60cos6且 0≤0s 21 所以停车场POCR的面积5=PRP0=(100-60sin0)100-60cos6)0≤≤ (2)由(1)长方形停车场PQCR面积 s=PR:PQ=(100-60sin0)(100-60cos8)=10000-6000(sin0+cos8)+3600sin0cos日， t=sin+cos,2=(sin0+cos0)=1+2sin0cos0, 所以2sin0cos6=tP-1, 答案第8页，共12页 所以5=1000-600m+1800(t-1）=18002-600i+8200=1800t-3 +3200, 因为1=m0+cm0-5m0:0+吞[语所以ue1同， 又西数=180〔-+320为v]上的版数 所以当t=1时有5x=4000,当t=√2时有 5mn=1800 +3200=3600-6000W2+5000+3200=11800-6000W2≈3315. 18.(1)2 1 11 2(a+e+4ac4 【分析】(1)先利用正弦定理化角为边，然后结合余弦定理可求得b的值： (2)利用面积公式建立关于边和角的等式，结合二倍角公式与余弦定理建立关于α，c的 等式，整理后可得结果. 【详解】（1)由2(csinAcosB+sinB)=asiA+csinC, 结合正弦定理得2(cac0sB+b)=2+c2, 整理得2b=ad2+c2-2 accosB, 由余弦定理得2b=b2, 解得b=2. (2)如图，由题意得SBc=S公sD+SBcD, 即吃amic-Dom4+片0am 2 因为BD=1,mC≠0，m∠ABC-2sn∠BCn∠A1c -cos 2 2 2 代入化简：得2 cs∠1BC=ae,即10ARC-a÷c 2 2 2ac 由余弦定理得cos∠ABC=+c2-4 ,又因cos∠ABC=2cos4BC-1, 2ac 2 -1=a2+c24 、则2cos324,BC-1=24c)2 2ac 2ac 答案第9页，共12页 整理可得(a+c)2+4ac=ac(a+c), ,1+4 两边同除以ac(a+c,得正+a+可l, 1 即 11 a+c)2'4ac4· B (2)6: (3)(i)(2+2W3,6:(i)[2,+w) 【分析】(1)正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解： (2)余弦定理结合三角形面积公式求出b+c即可； (3)()利用正弦定理把周长表示成关于B的函数求解即可；()利用对称性结合均值不等 式求解 【详解】(1)由正弦定理acos C+√5 asin C-b-c=0, 可变成sin AcosC+√3 sin Asin C-sinB-sinC=0, sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C 则√3 sin Asin C-cosAsinC-sinC=0,又Ce(0,x),sinC>0, 则5m4m41即4)分又40列.则4音司） 从面4名石所以4=行 (2)由®1BC的面积为Sc=be sin=5,得bc=4, 又由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA,得b2+c2-bc=4,从而b2+c2=4+bc=8, 从而(b+c)2=b2+c2+2bc=8+8=16,得b+c=4(负值舍去) 从而ABC的周长C△ABc=a+b+c=6. 答案第10页，共12页 b c=a=243 (3)(i)由正弦定理sinBsinC sinA 3,从而 a+b+c=2+ 43 3 3 由ABC为锐角三角形，得 ,解得<B< 6 2 0< 3 6 即e4BC的周长的取值范围(2√5+2,6 (ii)O为eABC的外心，由AO=mAB+nAC(m,n∈R), AO.AB=(mAB+nAC.AB=mAB+nAC.AB(m,nER) 得气=mc2+nbe4,即c2=2me2+bc,从而0-2mc=b(mne 也有AO.AC=AB+nAC)AC=mAB.AC+nAC(,n∈R), 6 2 -=bc cosA-+b2，即b=2b2+mbc,从而(1-2nb=c(m,n∈R), 从而可得.，”-1-2 ,即有n=(1-2m)1-2n), c 1-2n n m>0 1「n>0 由1BC为锐角三角形，得{1-2m>0'得0< 21-2m>0得0<n< 化简得1+3m=2(m+n),从而有m+n= +之2m,钓0cms分从而0<m≤号 2 1+3mm门 业+2=m2+n2_(（+n2-2n 2 11+6+9mm-2 2= n m mn m 1 考查函数F(x)=二+9x, 0片)传9民- 111, 0<写<号<)从而5-5<0,95<9x号) 答案第11页，共12页 F(G)-F(5)=(5- 9x53-1 >0,即F(x)>F(x) 从而F(y)=1+9x单调递减， 则+”=11 6+9mm-22人9+6+12=2，当且仅当m=n时取等 n m 4 n +”的取值范围为[2，+0)： n 答案第12页，共12页沈阳市回民中学2028届高一下学期期中考试试题 数学 试卷满分：150分；考试时间：120分钟 一.单选题（每题5分，共计40分） 1.已知复数z满足z(2+i)=3+i,则zz=（) A.2 B.3 C.5 D.7 2.若m(a-A)sin(a+B-25,则csa-cogB=（) 3 A青 B月 C.-2 3 D.22 3 3.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心0距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针 转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P)开始计时，则下列说法错误的是 () ------ A.点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数解析式为h=4sin - 30 +2 B.点P第一次到达最高点需要20秒 C.当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 4.已知向量a=(4,sin2a),b=(3,cosa),若a∥i,则cos2a=() A.-1或写 B.1或-写 C.-1或22 D.1或-22 5.在a1BC中，若cooB=-cos2号+1，则△BC一定是() A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D、等腰三角形 6.要得到函数y=3c0-星到的图象，只需将y=3s加x的图象上所有的点（) A.横坐标变为原来的)（纵坐标不变），再向右平移”个单位 B.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移”个单位 C.横坐标变为原来的)（纵坐标不变），再向左平移”个单位长度 D.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移”个单位长度 7.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角形面积s的公式，表达式为： 了心-o00-00-可，P=29中，它的特点是形式漂亮，便于记忆.现在有周长为 16的△ABC满足sinA:sinB:sinC=3:6:7,则△ABC的面积为() A.85 B.4V万 C.45 D.12 8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界)，则PCPD的取值范围为() D A.(0,16 B.[0,16] C.(0,4) D.[0,4] 二.多选题（每题6分，按选项平均给分，多选不得分，共计18分） 9已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（) AC A.若 AB AB BC=0,则△ABC为等腰三角形 B.DA+DB+DC=0,则D为△ABC内心 C.若DADB=DB.DC=DC.DA,则D为△ABC的外心 D.若AD=入 AB AC ABIsin BACsinC (2∈R),则点D的轨迹经过△ABC的重心 10.下列关于复数，22的说法正确的是（). A.若z∈R,则z为实数或纯虚数 B.若名+z2=名-2，则名22=0 C.若222=名，则名，=2 D.31z2=Z122 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c则() A.若bcos A=acos B,则△ABC为等腰三角形 B.若a>b,则cosA>cosB C.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 D.若B=行，Q=25,且△ABC有两解，则b的取值范围是3,2月) 三.填空题（每题5分，共计15分） 12.已知。 1+sin203 os0+sin20=2,tan20=_ 13.已知同=2，=3，a-=万，则a+等于 4.如图，某湖泊沿岸有A,B,C,D四个镇，已知A镇与D镇之间的距离为3，A镇与C镇 之间的距离为6km,测得∠DAC=120°，∠BCD=90°，∠BDC=30°，则A,B两镇之间的 距离为 km. B镇 D镇 C镇 A镇 四.计算题(15题13分，16-17每题15分；18-19每题17分；共计77分) 15.已知复数z=(m2+m-2)+(4-m2)i,meR,i是虚数单位. (少若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当m=-1时，复数z是关于x的方程x2+px+g=0的一个根，求实数p,q的值. 16向量m=(cosx+sinx,V5sinx,i=(cosx-sinx,2cosx),函数f(x)=m.i. (①)求f(x)的最小正周期和单调减区间； 2)函数f(x)的图象向右平移二个单位得到函数g(x)的图象，求gx)的解析式，若 [晋，且6)-25，求o2x)的值， 17.随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大.如图，ABCD是一块边长为100 米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为60米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分 都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC和CD上的长方形停车场POCR. D L1 B (1)设∠PAB=O,试写出停车场P2CR的面积S与0的函数关系式： (2)求长方形停车场P2CR面积的最大值和最小值（数据精确到个位）.（注：√2≈1.4142） 18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 2(csinAcosB+sinB)=asinA+csinC. (I)求b; 1 ②设角B的平分线交4C于点D,且BD=1,求a+eP+。的值 19.已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acosC+√5 asinC-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为√5，求△ABC的周长； 3)若a=2,△ABC为锐角三角形，且0为△ABC的外心，满足AO=mAB+nAC(m,n∈R), (i)求△ABC的周长的取值范围； (ⅱ)求”+”的取值范围； n m