辽宁鞍山市第三中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 高一下期期中数学卷聚焦三角函数、向量、解三角形核心内容，通过扇形几何（17题）、景区路径（19题）等情境设计，凸显数学眼光观察现实、数学思维推理的考查，层次覆盖基础概念到综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|三角函数定义、向量垂直、图像平移|基础概念辨析，如终边求三角函数值| |多选题|3/18|解三角形性质、函数奇偶性周期|多维度辨析，如三角形中线与外接圆| |填空题|3/15|函数单调区间、三角求值、向量模范围|简洁考查运算，如三角函数单调区间| |解答题|5/77|三角恒等变换、解三角形应用、向量投影、扇形几何、实际路径问题|综合应用，如景区路径模型（19题）体现数学语言表达现实，扇形周长面积（17题）考查数学思维推理|

2025级高一年级下学期期中考试 数学试题答案 一.单选题： 1 2 3 6 7 8 A B A B B D 二多选题： 9 10 11 BC BC BCD 三填空题： 12 13.5 14.[3,25 15.解（①）因为sing-cos a 10 3 2 一两边同时平方，得snQ又，<a<π，所型 25 2 cosa =-v1-sin2 a = .5分 5 ②因为5<u<元 T<B<π，所以-T<a-B< 7分 又由sin(a-B)=-4得cosa-B)= .9分， 所以cosB=cos[a-(a-B)] 10分 =cosa cos(a-B)+sina sin(a-B)-- 4 25 13分 16.(1)万：(2)5 解：~2 asin B=√5b,∴2 sin Asin B=√5sinB 1分 sin 4=3 2分 2 .A=60°或120° - 3分 (1)‘S。ABc= x2n 3V5 ,b=3」 5分 2 a=22+32-2×2×3cos60°，→a=V7 7分 答案第3页，共4页 26-db*a-c,→d=-2=+c-2次s1 -8分 3 3 →2 bcosA= c,→c0sA=3C>0,4=60°，b=3c 11分 4b 2 ,sinB=sin(120°-C=sinc,→sinc-5 b=3 3 cosC- 14分， 2 tanc= 15分 2 17.(1)S=sin 20+sin 2π -20 0<0< (2)当9为亚时，面积S有最大值，最大值为 6 【详解】(1)因为AB⊥0P, 所以在Rta0AB中，AB=OAsin0=2sin0,OB=OAcos0=2cos6, .1分 .x2sin0 cos0-sin20. 2分 因为AC⊥00，∠P00=于，所以∠A0C--0: 3 同腾：8ow=2s[号-0m号-0jsm径-20： 3分 从而S关于θ的解析式为 S=S480+S.co=sin 20+sin 2-28,0<0< 4分 3 S=sin 20+sin 3 -2 ）=sn20+sin2红cos20-c0s2年sin20 urs9忆so+立so00zus9zso0+gzsg0so0 2 6 =5sm20+,0<0<号 .6分 1=08+1B+4C+0c=os0+a0+m号-0-eor号9月 8分 -sin+co 1 2 sin0+ in0+3cos0+5 cos0 9分 目9}mo层9mo-9 ww.og.on }9}m8+5cw0j-m0+号》0s号 11分 答案第4页，共4页 2》由Ds=5sm20+} 因为0<0<5，所以交<20+工<5π -13分 3 6 66 故当20+灭=石，即0=亚时S有最大值，最大值为5.--1 6=2 5分 6 答：当日为亚时，面积S有最大值，最大值为、√5· a.b 18.(1)向量b在向量a上的投影向量为 -a -2分， ab 1 由题意：向量b在向量a上的投影向量为2a,得团一2' 3分， 又因为a=32+42=25- 故4b=25, 所以a·b=3k+4= 25 5分 所以k=1口 -6分 6 3k+4>0 (2)若向量a与b的夹角为锐角，等价于a·b>0且a与b不共线；即 --8分 4k≠3 4 k>- 故 3, 所以E>音k 3 10分 4 4 (3)la+2b2=la2+2a,b+22b(2eR) 12分 齿为1，所以一宁，+散限。 14分 此时(a+b)b=a-b+2b2=a-b-a:bb2 =a·b-ab=0 16分 所以(a+2b)⊥b 17分 注：本小题向量书写不带箭头，需在得分上减去5分：本小题最低得分为0分 19.(1)AB=1040m(2) 3 (3) Γ1250625 37 4314 (单位：m/min) 12 【详解】(1)在△ABC中，因为cosA= 13 ,cosC=,所以sinA=，inc=4,-2分 3 13 5 从而sinB=-sin[x-(4+C=sin(4+C)=sin4cosC+sin Ccos 4=5x2+l2x4-6经.4分 x- 13513565 答案第3页，共4页 由正弦定理级=4C,得BC snC=1260×4=1040 sin B 635 (m). .6分 sin C sin B 65 (2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了(100+50)m,乙距离A处 130tm, 7分 所以由余弦定理得d2=100+50)2+(130)2-2×130t×100+50)× 2 9分 3 =200(37t2-70t+50), 10分 由于0≤1≤1040，即0≤1≤8，故当1=3 130 7mi血时，甲、乙两游客距离最短. 12分 (3)由正弦定理BC-4C,得BC=1C sin B sinA=12605 sin A sin B 8×3=500(m).--13分 65 乙从B出发时，甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C. 设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤500_710≤3，解得1250≤v≤625 ---16分 y50 43 14 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在 1250625 (单 4314 位：m/min）范围内.---- -----.17分 答案第4页，共4页 2025级高一年级下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知角的终边经过点，则的值为 A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则实数的值为 A． B．2 C． D． 3．要得到函数的图像，只需将函数图像上所有点 A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 4．已知，且，则的值为 A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，则函数的值为O x y A B 3 -3 A． B．3 C． D．0 6．下列四个函数：①；②；③；④，其中既是偶函数且最小正周期为的函数个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，，，，则 A． B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为 10．在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是 A．若，则为直角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰直角三角形 11．已知，下列说法正确的是 A．若，在区间上单调 B．若关于直线对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，当时，函数取得最大值，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递减区间为_____________． 13．求值：___________． 14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 已知，． (1) 求的值； (2) 若，，求的值． 16．(本小题满分15分) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1) 若为锐角三角形，其面积为，，求的值； (2) 若，求的值． 17．(本小题满分15分) 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在上(异于点，)，过作，，垂足分别为，，记，四边形的的周长为，面积为．O P Q A B C θ (1) 分别求出l和关于的函数解析式，并将解析式化简为的形式，其中； (2) 当为何值时，有最大值？并求出最大值． 18．(本小题满分17分) 已知向量，． (1) 若向量在向量上的投影向量为，求实数的值； (2) 若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围； (3) 对，求证：当取得最小值时，． 19．(本小题满分17分) 如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从C沿直线步行到C，另一种是先A从沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1) 求索道AB的长； (2) 问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 数学第3页（共4页） 数学第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $