河北唐山市迁安市2025-2026学年第二学期5月期中考试高二数学试卷

**基本信息** 高二数学期中卷以冰淇淋彩车泊车、飞机搜救等真实情境为载体，通过基础选择到综合解答的分层设计，融合导数、概率、排列组合等核心知识，考查数学眼光的抽象能力、数学思维的推理运算及数学语言的应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数几何意义（题1）、随机变量期望（题2）|基础巩固，直接应用定义与公式| |多选|3/18|概率事件关系（题9）、涂色问题（题11）|能力辨析，如独立与互斥事件判断| |填空|3/15|极值条件（题12）、条件概率（题13）|综合应用，导数与概率结合| |解答|5/77|函数单调性（题15）、排列应用（题16）、贝叶斯概率（题18）|创新探究，飞机搜救问题（题18）考查数据观念与决策能力|

迁安市 2025—2026 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷(1—22页，选择题)和第Ⅱ卷(3—4页，填空题和解答题)两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1,则 A. 1 B. C. 2 D. 2.若随机变量X 的分布列为则E(3X+1)= ( ) x 0 1 2 P 0.3 0.4 m A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4 3.游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是 A. 336 B. 120 C. 56 D. 24 4. A B C. D. 5..在 的展开式中x⁴ 的系数为 A. 13 B. 11 C. - 11 D. - 20 高二数学第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 6.三个数 的大小顺序为 ( ) A. b<c<a B. b<α<c C. c<b<a D. α<b<c 7.若 的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为 (， A. 1120 B. - 112 C. - 448 D. 448 8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)满足. 且 则不等式 的解集为 A. (-∞,-2)∪(0,+∞) B. (-∞,0)∪(2,+∞) C. (-2,0) D. (0,2) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.已知事件 A, B满足P(A)=0.4,P(B)=0.3,则下列选项正确的 A.若B⊂A, 则P(AB)=0.4 B.若A与B互斥, 则P(AUB)=0.7 C.若A与B相互独立, 则P(AB)=0.4 D.若 P(B|A)=0.3,则 A 与B 相互独立 10.若 则 A. B. C. D. 11.将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是A.若每块区域任意涂上一种颜色，则共有4⁵种不同涂法 B.若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 A B E C D C.若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D.若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 高二数学第 2页，共4页 第Ⅱ卷(非选择题，共92分) 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上。 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上。 12. 已知函数 在x=1处取得极值，则实数a的取值为 13.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 14. 若直线y=x+a与曲线y= In(x+b)相切,则 的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本题满分13分) .已知函数 (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)的单调区间和极值. 16. (本题满分15分) 3个女生(含甲)和4个男生(含乙)排成一排. (1)其中甲必须排在中间的排法有多少种? (2)如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法? (3)如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法? (4)如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法? 高二数学第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 17. (本题满分15分) 甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是 .记随机变量X 和Y 分别是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； (2)若Z=X+Y,求随机变量Z的分布列、数学期望、方差； 18. (本题满分17分) 飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7, 0.75, 0.9.求: (1)首先应该搜索哪个区域? (2)若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少? 19.(本题满分17分) 已知函数 其中a>0, (1)求g(x)的最小值h(a); (2)若g(x)≥0,求a的取值集合; (3)若 其中m∈Z，求m的最大值. 高二数学第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $迁安市2025一2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 本试卷分第I卷(1+2页，选择题)和第Ⅱ卷(3一4页，填空题和解答题)两部分，共150 分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净，再选涂其它答案。 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1，则im (1+2△x)-f() B. C.2 D. 2 A.1 3 2.若随机变量X的分布列为 0 2 P 0.3 0.4 m 则E(3X+1)=() A.0.3 B.1 C.3 D.4 3.游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧 均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是 A.336 B.120 C.56 D.24 4. A号 A. B品 C. D. .在(1-2x2)1+x)4的展开式中x4的系数为 A.13 B.11 C.-11 D.-20 高二数学第1页，共4页 6.三个数a=名b=12,c=马的大小顺序为() 3 A.b<c<a B.b<a<c C.c<b<a D.a<b<c 7,若(2x2_上)”的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为(， A.1120 B.-112 C.-448 D.448 8已知函数f)及其导函数f)满足()-2f()=+,且f)=,则不等式f(x)>的 解集为 A.（-o0,-2)U(0,∞)B.（-∞，0U(2,+oo)C.（-2,0) D.(0,2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分， 9.己知事件A,B满足P(A)=0.4,P(B)=0.3,则下列选项正确的 A.若BcA,则P(AB)=0.4 B.若A与B互斥，则P(AUB)=0.7 C.若A与B相互独立，则P(AB)=0.4 D.若PBA)=0.3,则A与B相互独立 10,若(4x-3}2026=a0+ax+a2x2+ax3++a2026x20266x∈R),则 A.a0=-32026 1+72026 B.a0+a2+a4+…+a2026= 2 1-72026 C.a1+a3+a5+…+a2025= D.9+a2++…+a26=1-32026 2 222+23 22026 11.将图中A,B,C,D,E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是 B A.若每块区域任意涂上一种颜色，则共有45种不同涂法 0 B若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 D C.若4种不同颜色全部用上，B,D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D若4种不同颜色全部用上，B,D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 高二数学第2页，共4页 第I卷（非选择题，共92分） 注意事项：第川卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上。 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上。 12.已知函数f(x)=ax3+3a2-2)x+3在x=1处取得极值，则实数a的取值为 13.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将 取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 14.若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切，则a2+b的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分) 已知函数-（2+} (1)求曲线y=f(x)在点(L,fI)处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间和极值， 16.（本题满分15分) 3个女生（含甲）和4个男生（含乙）.排成一排， (1)其中甲必须排在中间的排法有多少种？ (2)如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？ (3)如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？ (4)如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？ 高二数学第3页，共4页 17.(本题满分15分) 甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作 答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是三，记随机变量X和y分别 是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题的概率； (2)若Z=X+Y,，求随机变量Z的分布列、数学期望、方差； 18.(本题满分17分) 飞机坠落在甲、乙、.丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3,0.2,0.4,0.1.现搜救部门打算逐 个搜索这四个区域若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8， 0.7,0.75,0.9.求： ()首先应该搜索哪个区域？ (2)若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？ 19.（本题满分17分) 已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=f(x)-1,其中a>0, (1)求g(x)的最小值h(a)； (2)若g(x)≥0，求a的取值集合； 3)若fe)+ax-ln(x+m)≥0，其中meZ,求m的最大值. 高二数学第4页，共4页迁安市2025一2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷答案 1-4 C DD B 5-8 DCC A 9.BD 10.BCD 11.AB 12.-2或1 13.知14 1由题意知/因=是e+(2+e-2+-e+-》e, x2 …2分 则f'(0)=2c,f①=3e …4分 所以曲线y=f(x)在点(L,fI)处的切线方程为y-3e=2e(x-1),即2ex-y+e=0.…6分 (2)f0)的定义域为（←o,0U0,+o),由(1）知∫=+12x-De, 令">0，得x<-1或x)多 8分 令'(x)<0,得-1<x<0或0<x< 9分 所以)的单调遍增区间为(。，-)和利行+心， 单调进减区间为(-1,0和利0引 …11分 易知f(x)的极大值为f(-)=三， 极小值为f=46. …13分 16.(1)因为甲必须排在中间，只有1种排法，其他6人全排列，排法有A6=720种， 故甲必须排在中间的排法有720种， 3分 (2)将3个女生看成一个整体，与4个男生全排列，此时相当于5个元素全排列，有A；-120种， 3个女生内部全排列有A=6种，故女生必须全排在一起有120×6=720种.…7分 (3)7人全排列，排法有A7=5040种， 将女生甲和男生乙看作一个整体，与其余5人全排列，此时相当于6个元素全排列，有A:=720种， 女生甲和男生乙内部交换位置有A3=2种，故女生甲和男生乙相邻的排法有720×2=1440种， 故女生甲和男生乙不能相邻的排法有5040一1440=3600种. …11分 (4)从3个女生中选出2个的选法有C=3种，从4个男生中选出2个的选法有C=6种， 选2个女生和2个男生的选法有3×6=18种，将选出的4人全排列有A4=24种， 故选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲有18×24“432种. ……15分 339 Z,(1)甲答对2道题的概率为R是-)乙答对2道题的概率为B如XP 4416 故“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率为P=B=2×6“32 199 …5分 (2)由题意知X可取1,2，Y可取0,1,2，故Z可取1,2,3,4， …6分 PZ=)=P(X=1)PY=0)= …7分 Pz=2列=x=2Pw=0+PX=v-等Sx*是×{c×}员…8分 Pz-引=x=P0=2+PX=2=-是c*引得g×到-8g分 …10分 故Z的分布列为： 1 2 3 × 1 7 15 9 32 32 32 期望E(Z)1× 2*32 +3 15 +4× 9 32 3, …13分 32 32 方差D(Z=×+2×7+3×5+4x》-3 8 …15分 321 32 32 32 18.(1)应首先搜索丙区域. ………1分 理由如下：搜索甲区域，且被搜救部门发现的概率为0.3×0.8=0.24； 搜索乙区域，且被搜救部门发现的概率为02×0.7=0.14； 搜索丙区域，且被搜救部门发现的概率为0.4×0.75=03： 搜索丁区域，且被搜救部门发现的概率为0.1×0.9=0.09. 故首先搜索丙区域，因为当前可能性最大 …5分 (2)设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件B,为“飞机坠落在甲区域”，事件B2为飞机 坠落在乙区域，事件B,为“飞机坠落在丙区域”，事件B4为飞机坠落在丁区域”， 则P(B)=0.3,P(B2)=0.2,P(B)=0.4,P(B4)=0.1, …7分 P{AB)=1,P(B2)=1,P4B)=0.25,P(B)=1, …9分 P(A)=P(B)P(B)+P(B2)P(4 B)+P(B )P(4 B)+P(B)P(4 B) =0.3x1+0.2x1+0.4x025+0.x1=0,7,所以P8A=PB}P4_03x13 P(A) 0.7=…11分 腿2-号风a:28 P(A P(0 >, P&=P8,P48】= …16分 P 3 2 所以瘦索丙区域后，未发现飞机，此时飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为， 落入 丙区域的凝率为，落入丁区域的板率为 …17分 19.(1)g=f-i=x-anx-,g(x)=1-4=-a, ,x>0, XX 当a>0时，gx在《0，e上单调递减，在(4，+w）上单调递增， 所以g{xm=g{a=a-alna--l, …5分 (2)g(x)20恒成立，则g(x=a-ana-20恒成立即可 27分 h(a)=a-alna-1,k'(a)=1-(Ina+1)=-Ina 4…8分 当a∈(0,1)时，(a)>0,h(a)在a∈(0,1)上单调递增： 当ae(自，+o)时，(a)<0,h(a)在a∈(1，+o)上单调递减， 所以(a)=hM1)=0,要使g(x)≥0恒成立，即h(a)20,则a=1, 综上所述：口的取值范围是、 …11分 (3)已知f(e)=e-alne=e'-ax, 则f(e)+ax-in(x+m)=e-lh(x+m)≥0恒成立， 即h(x+mse恒成立，等价于x+m≤e恒成立，也就是m≤e-x恒成立.…l3分 令p()=c-x,t=e,令9g=e-lnt>09'0=e-, 局知90在10，+如上单调造瑞，且g付-e心-2<@g间=e-10, 所以存在6公小使得j-号-0，即e-六6时- …15分 当t∈(0,6)时，(t)<0,g(t)单调递减：当te(,+o∞)时，q()>0,gt)单调递增， +6在传上单调说院所以y=6引 甲0引所以以引所as2, 又因为m∈Z,所以m的最大值为2、 …17分