河北唐山市开滦第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息**：聚焦高二下期中数学核心内容，以运动方程瞬时速度、函数极值、排列组合及概率统计为载体，通过导数应用（如第1题切线问题）、实际情境（如献血选法、摸球分布列）考查数学思维的运算推理与数学语言的模型表达，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数几何意义、函数最值、排列组合|第1题结合运动学情境考查瞬时速度，体现数学眼光的抽象能力| |多选题|3题|排列综合、二项式系数、函数零点|第9题多角度考查排列问题，层次分明，培养推理意识| |填空题|3题|切线方程、分布列、应聘分配|第14题以大学生应聘为背景，强化数学语言的数据表达| |解答题|5题|导数综合、概率分布、二项式定理|17题导数与切线、极值综合，15题分类分步计数原理应用，注重能力提升与创新应用梯度|

2025-2026唐山市开滦二中高二下期中数学试卷 一、单选题 1．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为（    ） A．－4.8m/s B．－0.88m/s C．0.88m/s D．4.8m/s 【答案】A 【分析】由已知结合瞬时变化率的定义即可求解 【详解】 当→0时，→－4.8． 故选：A 2．函数y＝在处的导数为0，那么（    ） A．a B．0 C．1 D． 【答案】B 3．函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】求得，根据题意，得出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数既有极大值又有极小值， 则满足，解得且． 4．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的四则运算对函数进行求导，令求出极值点，然后分别求出与时函数的单调区间，得出当时y取最大值，从而得出结论. 【详解】已知函数，则， 令，则 ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， ∴当时y取最大值， 故选：A. 5．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【解析】分个位数是0和个位数是5两类求解. 【详解】当个位数是0时，有个， 当个位数是5时，有个， 所以能被5整除的个数是10， 故选：C 6．在的展开式中，的系数为（   ） A．210 B．120 C．80 D．60 【答案】B 7．抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出，即可得出答案. 【详解】 故选：C 【点睛】本题主要考查了古典概型求概率问题，属于基础题. 8．设动直线与函数，的图象分别交于点、，则的最小值为 A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由题意，令，则， 当时，，当时，，所以，即的最小值为,故选A. 二、多选题 9．在同学聚会上，A，B，C，D四个同学站成一排照相留念，则下列说法正确的有（    ） A．若A、B不相邻共有12种方法 B．若A、B两人站在一起有24种方法 C．若A在B左边有12种排法 D．若A不站在最左边，B不站最右边，有14种方法 【答案】ACD 【分析】使用插空法可判断A；用捆绑法可判断B；定序问题用除法可判断C；根据特殊元素特殊位置优先排，计算可判断D. 【详解】A中，先排C，D，共有种，再将A，B插入到3个空位中，共有种，所以A、B不相邻共有种，A正确； B中，由捆绑法得，A、B两人站在一起共有，B错误； C中，四人排成一排共有种，A，B的位置关系共两种，A在B左边占一半，故满足条件的排法有种，C正确； D中，当B站最左边时，共有种；当B不站最左边时，先排B有2种，再排A有2种，最后排CD有，所以.所以A不站在最左边，B不站最右边共有14种方法.D正确. 故选：ACD 10．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．二项式系数最大的项为 B．常数项为2 C．第6项与第7项的系数相等 D．含的项的系数为480 【答案】AC 【分析】利用二项式系数的性质及展开式的通项公式即得. 【详解】因为，所以二项式系数最大的项为，，A正确； 因为展开式的通项为， 令，得常数项为1，B错误； 第6项为，第7项为， 第6项与第7项的系数相等，C正确： 含的项为，其系数为448，D错误． 故选：AC． 11．设函数，则（   ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点为曲线的对称中心 【答案】ABD 【分析】对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由当，可得，结合A，即可判断B；判断是否有解，即可判断C；求解，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为， 令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 所以有三个零点，故A正确； 对于B，由A可知，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，故B正确； 对于C，因为， ， 因为无解， 所以不存在，使得为曲线的对称轴，故C错误； 对于D，因为， ， 当函数关于点中心对称时， 则有点， 即， 所以，解得， 所以当时，函数的图象关于中心对称，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：函数关于对称，则有；函数关于中心对称，则有. 三、填空题 12．曲线在在处的切线的方程为_________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可． 【详解】因为 所以， ，切点为 , ∴ 曲线在 在处的切线的方程为,化为 ， 故答案为. 【点睛】求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点处的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 P处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程. 13．已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 【答案】 【分析】利用均值公式求解第一空，利用均值的性质求解第二空即可. 【详解】由均值公式得， 因为，所以．解得． 故答案为：； 14．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有_________ 【详解】试题分析：每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一家企业录用一名，种；一种是其中有一家企业录用两名大学生，种，∴一共有种 考点：排列组合问题. 四、解答题 15．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有28人，型血的共有7人，型血的共有9人，型血的有3人． （1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）共有种不同的选法    （2）共有种不同的选法 【详解】试题分析：（1）由分类加法计数原理得共有种不同的选法；（2）由用分步乘法计数原理得共有种不同的选法． 试题解析：从型血的人中选1人有28种不同的选法．从型血的人中选1人有7种不同的选法，从型血的人中选1人有9种不同的选法，从型血的人中选1人有3种不同的选法． （1）任选1人去献血，即无论选择哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有种不同的选法． （2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有种不同的选法． 【点睛】解此类题型关键是判定所求题目是符合分类原理，还是符合分步原理，再求得各类（步）的方法数，然后再各类相加，或各步相乘，即可求得正解. 16．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球. （1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列； （2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据题意，利用古典概型的概率公式分别求出和 时的概率，再画出 的分布列即可； （2）根据题意，利用古典概型的概率公式求出时的概率 , 再根据对立事件的概率公式求出时的概率，最后画出 的分布列即可. 【详解】（1）X的分布列为 X 0 1 P （2）∵P(X＝0)＝ ＝ ， ∴X的分布列为 X 0 1 P 17．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值． （1）求a，b，c的值; （2）求y＝f(x)在区间[－3，1]上最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义列方程组，即可得解； （2）求导，确定函数的单调性和极值，再和端点值比较即可得解. 【详解】（1）由题意，， 因为曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0， 所以，， 又当时，y＝f(x)有极值，所以， 所以； （2）由（1）得，， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 又，，，， 所以在[－3,1]上的最大值为，最小值为. 18．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)－2 (2)1093 (3)2187 【分析】运用赋值法结合二项式定理求二项展开式中部分项的系数之和． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故； （2）当时，； 由（1）知， 所以； （3）由展开式可知均为负值，均为正值， 结合（1）（2）可知， 故 . 19．已知函数，，为的导数，且.证明： 在内有唯一零点； . （参考数据：，，，，.） 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）由题意，得，分别求得在区间和上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解； （2）由（1）得，求得函数的单调性，得到的最大值为，再由得，得到，利用作差比较，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，则 所以， 当时，可得，即在内没有零点， 当时，， 因为，所以，所以在上单调递减， 又，且， 所以在内有唯一零点. （2）由（1）得，当时，，所以，即单调递增； 当时，，所以，即单调递减， 即的最大值为， 由得，所以， 因此， 因为，所以 从而，即， 所以，故. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 试卷第2页，共11页 试卷第3页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山市开滦二中高二下期中数学试卷 一、单选题 1．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为（    ） A．－4.8m/s B．－0.88m/s C．0.88m/s D．4.8m/s 2．函数y＝在处的导数为0，那么（    ） A．a B．0 C．1 D． 3．函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 4．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 6．在的展开式中，的系数为（   ） A．210 B．120 C．80 D．60 7．抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，则等于（    ） A． B． C． D． 8．设动直线与函数，的图象分别交于点、，则的最小值为 A． B． C． D．1 二、多选题 9．在同学聚会上，A，B，C，D四个同学站成一排照相留念，则下列说法正确的有（    ） A．若A、B不相邻共有12种方法 B．若A、B两人站在一起有24种方法 C．若A在B左边有12种排法 D．若A不站在最左边，B不站最右边，有14种方法 10．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．二项式系数最大的项为 B．常数项为2 C．第6项与第7项的系数相等 D．含的项的系数为480 11．设函数，则（   ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 12．曲线在在处的切线的方程为_________. 13．已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 14．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有_________ 四、解答题 15．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有28人，型血的共有7人，型血的共有9人，型血的有3人． （1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 16．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球. （1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列； （2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列. 17．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值． （1）求a，b，c的值; （2）求y＝f(x)在区间[－3，1]上最大值和最小值． 18．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 19．已知函数，，为的导数，且.证明： 在内有唯一零点； . （参考数据：，，，，.） 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $