精品解析：河北遵化市高级中学、文圣高级中学2025-2026学年高二下学期5月学业水平测试数学试题

2025－2026学年度第二学期学业水平测试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度是（ ） A. 2m/s B. 6m/s C. 8m/s D. 9m/s 2. 下面求导正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 3. 直线，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为（ ） A. B. C. D. 4. 算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 34 D. 74 6. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量等可能地取，又设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 8. 若 恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若、两人站在一起有种方法 B. 若、不相邻共有种方法 C. 若在左边有种排法 D. 若不站在最左边，不站最右边，有种方法 10. 抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. （多选）以下求导运算正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某项课外活动的奖励分为一、二、三等奖，且相应的获奖概率是以为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金是以700元为首项，－140元为公差的等差数列，则参与该课外活动获得奖金的均值为______元． 13. 某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为________. 14. 已知上的奇函数，其导函数为，且当时，，若，则a与b的大小关系为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）解关于x的方程：． 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 17. 在展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项． 18. 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 隐藏卡 （1）若小明从张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否独立； （2）小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布列，并求出的数学期望. 19. 已知 （1）若，①函数在上单调递减，求实数b的最小值．②若存在两个不相等的正数m，n，满足，求证： （2）若，当时，，求整数a的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期学业水平测试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度是（ ） A. 2m/s B. 6m/s C. 8m/s D. 9m/s 【答案】D 【解析】 【详解】，根据导数的物理意义可知， 质点在s时的瞬时速度是. 2. 下面求导正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 3. 直线，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据构成三角形的条件，根据分类和分步计数原理，即可求解. 【详解】依题意，可以分为两类情况： 1.在直线上选2个点，直线上选1个点，可以构成三角形个数为， 2.在直线上选1个点，直线上选2个点，可以构成三角形个数为， 则以这九个点为顶点的三角形个数为. 4. 算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分四种情况讨论：①个位拨动三枚；②十位拨动一枚，个位拨动两枚；③十位拨动两枚，个位拨动一枚；④十位拨动三枚.分别列举出每种情况下对应的数字，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】由题意，拨动三枚算珠，有种拨法： ①个位拨动三枚，有种结果：、； ②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、； ③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、； ④十位拨动三枚，有种结果：、． 综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为． 故选：C. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 34 D. 74 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果． 【详解】的展开式为，1，2，3，4，， 的展开式，1，2，3，， 当，时，的系数为； 当，时，的系数为； 当，时，的系数为， 故的系数为． 故选：． 6. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D. 【详解】选项A：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1. 选项B：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项C：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项D：，则，则， 则不存在斜率为1的切线 故选：D 7. 设随机变量等可能地取，又设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，确定的所有可能取值，以及其对应的概率，即可求出结果. 【详解】因为随机变量等可能地取， 所以， 所以等可能的取，则， 所以. 故选：A. 8. 若恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用导数求函数，的最大值，再根据条件转化为 恒成立，最后利用参数分离转化为最值问题求解. 【详解】设，， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，， 即恒成立， 设 ，由条件恒成立， 得 恒成立，即恒成立，设， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以时，取得最大值， 则. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若、两人站在一起有种方法 B. 若、不相邻共有种方法 C. 若在左边有种排法 D. 若不站在最左边，不站最右边，有种方法 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用捆绑法计数即可；对于B，运用插空法计数即可；对于C，考虑左右边站位的等可能性全排后取半法即得；对于D，将问题分成①站在最右边，②不站在最左边，也不站在最右边两类情况分别计数，再合并统计即可. 【详解】对于A，利用“捆绑法”，把两人看成整体与其他3人进行全排， 再考虑两人的顺序，故不同的方法有种，故A正确； 对于B，考虑另外3人的不同站法，再将两人在另外3人留下的4个空位上选两个位置进行插空， 故不同的方法有种，故B错误； 对于C，因排队后与只有两个相同可能性的顺序，故先考虑5人全排， 再取其一半，则不同的方法有种，故C正确； 对于D，依题意，分成两类情况： ①站在最右边，则与3人随便站，有种不同的站法； ②不站在最左边，也不站在最右边，有3种站法，因不站最右边，故有3种站法， 余下3人全排即可，故不同的站法有种； 综上，不同的站法共有种，故D错误. 故选：AC. 10. 抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用n次的独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式，分别求得的值，即可求解. 【详解】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为， 根据独立重复试验的概率计算公式， 可得：， 由，故A是错误的； 由，故B是错误的； 由，故C是正确的； 由，故D是正确的. 故选：CD 【点睛】本题主要考查概率的计算及其应用，其中解答中熟练应用n次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 11. （多选）以下求导运算正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则，即可判断选项. 【详解】A项，，则，A正确； B项，，，B错误； C项，，，C正确； D项，，，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某项课外活动的奖励分为一、二、三等奖，且相应的获奖概率是以为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金是以700元为首项，－140元为公差的等差数列，则参与该课外活动获得奖金的均值为______元． 【答案】500 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质求出，再利用期望的定义列式求解. 【详解】令参与该课外活动获得的奖金为随机变量，的可能值为， 则， 于是，解得，， 所以参与该课外活动获得奖金的均值为500元. 13. 某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为________. 【答案】. 【解析】 【分析】先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率的计算公式，即可求出结果. 【详解】记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件， 则，， 所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为 . 故答案为 【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型. 14. 已知上的奇函数，其导函数为，且当时，，若，则a与b的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，确定函数的奇偶性，再利用导数确定在上单调性，进而比较大小. 【详解】令函数，由为上的奇函数， 得，即函数是偶函数， 当时，，则， 函数在上单调递减，， ， 由，得，因此， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）解关于x的方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数、排列数公式计算即得. （2）利用排列数公式化简并求解方程. 【详解】（1） . （2）方程中， ，且， 整理得 ，即 ，又， 所以，即原方程的解集为. 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）在和上单调递增，在上单调递减；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式得切线方程. （2）利用导数函数的单调区间和极值. 【小问1详解】 由，有， 则，， 故切点坐标为，切线斜率为12， 切线方程为，即； 【小问2详解】 令，解得x=0或x=1， 故当时，，当时，，当时， 故函数在和上单调递增，在上单调递减； 故函数的极大值为，极小值为. 17. 在展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）6 （2）4320 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的比值关系求解n； （2）通过二项展开式通项公式计算含的项的系数； （3）最后通过相邻项系数的比值不等式确定系数最大的项对应的r值，进而求出该项. 【小问1详解】 因为二项展开式第项的二项式系数为， 由题意可得：，则 ，解得 【小问2详解】 因为的展开式通项 , ， 令，解得， 所以含的项的系数： . 【小问3详解】 设展开式中系数最大的项是第项， 则，整理可得，解得， 因为，可得， 所以展开式中系数最大的项是. 18. 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 隐藏卡 （1）若小明从张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否独立； （2）小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布列，并求出的数学期望. 【答案】（1），，事件与事件不独立. （2）分布列答案见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出的值. 【小问1详解】 由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，，所以， 故事件与事件不独立. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、， 则，，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. 19. 已知 （1）若，①函数在上单调递减，求实数b的最小值．②若存在两个不相等的正数m，n，满足，求证： （2）若，当时，，求整数a的最大值． 【答案】（1）①1；②证明见解析； （2）4. 【解析】 【分析】（1）①利用导数求出的单调递减区间，再利用集合的包含关系求出范围即可；②由①可得，当时构造函数，利用导数确定单调性证得，结合已知并利用单调性即可得证. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数，利用导数求出函数最小值所在区间即可. 【小问1详解】 ①当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数的单调递减区间为， 由函数在上单调递减，得，因此， 所以实数b的最小值为1. ②由①知，函数在上单调递增，在上单调递减， 当从大于0的方向趋近于0时，，而， 不相等的正数满足，不妨令，则， 显然，当时，，不等式成立； 当时，， 令函数， 则， 令，求导得， 函数在上单调递增，则，又， 因此，即，而，于是， 而，函数在上单调递增，则 ，即， 所以. 【小问2详解】 当时，函数， 当时，不等式， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，恒成立， 因此 ，由， 得，所以整数a的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $