第二十四章 数据的分析（18种题型）期末复习讲义 2025-2026学年 新人教版数学 八年级下册

第二十四章 数据的分析 一、数据的集中趋势 统计量 定义 计算公式/说明 核心特点 算术平均数 一组数据的总和除以数据个数 ​ 充分利用所有数据，反映整体平均水平，易受极端值影响 加权平均数 考虑各数据权重（重要程度）的平均数 （wi为权重） 适用于数据重要性不同的场景，权重越大，对结果影响越大 中位数 将数据从小到大排列后，中间位置的数值 ① n为奇数：取第个数② n为偶数：取第和个数的平均数 不受极端值影响，反映数据的中间水平 众数 一组数据中出现次数最多的数 统计各数据的频数，取频数最高的数 反映数据的最常见值，可1个、多个、无，不受极端值影响 四分位数 将排序后的数据等分为4份的3个分位点，记为Q1（下四分位数/第25百分位数）、Q2（中位数/第50百分位数）、Q3（上四分位数/第75百分位数） ① 排序数据；② 用位置公式i=（p为百分位）确定位置③ 若i为整数，取第i和i+1个数的平均；若i非整数，向上取整取对应位置的数 刻画数据的分布位置，不受极端值影响，是箱线图的核心 二、数据的离散程度 统计量 定义 计算公式 / 说明 核心特点 极差 一组数据中最大值与最小值的差 极差=最大值−最小值 计算最简单，仅反映极端值差距，易受极端值影响 离差平方和 各数据与平均数差的平方的总和 衡量数据总波动大小，是方差的 “原始形式”，n越大，值越大 方差 离差平方和的平均数（总体方差） 衡量数据的平均波动，方差越大，数据波动越大、越不稳定 标准差 方差的算术平方根 ​ 与原数据单位一致，更直观反映波动大小 四分位距（IQR） 上四分位数与下四分位数的差 IQR=Q3−Q1​ 反映中间50%数据的波动，完全不受极端值影响，是箱线图判断异常值的核心 三、数据的可视化与分布 1. 箱线图 构成要素： · 箱体：左边界为Q1，右边界为Q3，箱体长度为IQR； · 箱内横线：中位数Q2； · 须线：从箱体延伸至非异常值的最大值/最小值； · 异常值：超出[Q1−1.5IQR,Q3+1.5IQR]范围的数据，用单独点标注. 作用：直观展示数据的集中趋势、离散程度、偏态分布，快速识别异常值，适合多组数据对比. 2. 用样本估计总体 核心逻辑：当总体数量大、无法全面调查时，用样本的平均数、方差、四分位数估计总体的对应统计量. 抽样要求：样本需具有代表性、广泛性、随机性，才能保证估计的准确性. 1.集中趋势相关易错点 错误1：求中位数/四分位数时忘记先排序； 错误2：混淆算术平均数与加权平均数； 错误3：认为众数唯一； 错误4：四分位数位置计算错误。 2.离散程度相关易错点 错误1：混淆离差平方和与方差； 错误2：方差计算漏除以数据个数n； 错误3：极差/四分位距计算顺序颠倒； 3.箱线图相关易错点 错误1：箱线图的箱体边界理解错误； 错误2：箱线图的须线绘制错误； 错误3：用箱线图判断平均数。 4.样本估计总体相关易错点 错误1：样本不具代表性，直接估计总体； 错误2：混淆样本与总体的统计量。 题型一 平均数 【例1】（2026·云南西双版纳·一模）小智参加演讲比赛，五位评委给他打的分值分别是：6分，7分，8分，9分，10分．五位评委所给分值的平均数是小智的最终得分，则他的最终得分是（   ） A．8分 B．分 C．9分 D．分 【答案】A 【分析】根据算术平均数的定义，将所有分数求和后除以分数的个数，即可得到小智的最终得分． 【详解】解：分， ∴他的最终得分是8分． 【变式1-1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班举行的“3V3篮球挑战赛”中，小明5场比赛的得分分别为：9，7，8，10，7．这五次得分的平均数是__________分． 【答案】8.2 【详解】解：根据题意，计算五次得分的总和：， 由平均数计算公式：平均数等于所有数据的和除以数据的个数，得：． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在青年歌手电视大奖赛中，采用10位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉一个最低分和一个最高分后的平均分，已知10位评委给某位歌手的打分分别是（单位：分）：，，，，，，，，，．则这位歌手的最后得分为___________分 【答案】 【分析】先确定打分中的最高分与最低分并去掉，再依据算术平均数的计算方法，计算剩余8个数据的平均数即可得到最后得分． 【详解】解：由题意得，去掉最高分分和最低分分，剩余的8个分数为，，，，，，，． 计算剩余分数的总和： 根据算术平均数的定义，最后得分（分）． 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【答案】A 【分析】本题考查平均数的应用，利用平均数公式求出三科总分，再减去已知的语文和英语分数即可得到数学成绩． 【详解】∵三科平均分为92分 ∴三科总分为（分）， ∵语文是88分，英语是95分 ∴数学成绩（分）． 题型二 利用已知的平均数，求相关数据的平均数 【例2】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 【答案】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义可得，则数据，，的平均数为，即可求解． 【详解】解：数据，，的平均数是， ， ， 则数据，，的平均数为 ． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 【答案】7 【分析】根据平均数的定义，先由原样本平均数求出原样本总和，再计算新样本的总和，最后求出新样本的平均数． 【详解】解：∵样本的平均数为10， ∴根据平均数的定义可得：，则， 对于样本，其平均数为： ． 【变式2-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）若一组数据，，…，的平均数为6，则数据，，…，的平均数为______． 【答案】15 【分析】本题考查了平均数，根据“如果一组数据，，，的平均数为，那么另一组数据，，，的平均数为”，求解即可． 【详解】解：∵数据，，…，的平均数是6， ∴数据，，…，平均数为， 故答案为：15． 【变式2-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【答案】20 【分析】根据平均数的定义，计算即可． 【详解】解：，，，，的平均数是5， ， ． 题型三 加权平均数 【例3】（2026·河南信阳·一模）楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为10，若依次按照的比例确定成绩，小明这四项得分依次为9，8，7，6，则小明这四项综合得分为（    ） A．8 B．7.7 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】根据给定的权重比，按照加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：∵ 四项得分的权重比为 ，总权重和为 ， ∴ 小明的综合得分为：． 【变式3-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、86分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为________分． 【答案】86 【分析】根据加权平均数的计算公式，代入数据计算即可得到最终成绩． 【详解】解：小鹿的最终成绩为（分）． 【变式3-2】（2026·河南周口·模拟预测）某在线教育平台根据讲师近六个月的“课程内容质量”和“互动答疑效果”两项评分综合计算教师评分，两项权重及得分如下表所示，则该讲师的综合评分为_____分． 课程内容质量 互动答疑效果 得分 85 95 权重 【答案】 【详解】解：（分）． 【变式3-3】（2026·江苏徐州·一模）为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 若把读、听、写的成绩按计入总分，则小丽的个人总分为_______分． 【答案】 【分析】根据读，听，写三项的成绩和对应权重，代入加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】解：小丽的个人总分为： ． 题型四 利用加权平均数做决策 【例4】（2026·河南洛阳·一模）某公司欲招聘一名职员，对甲、乙两名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示．如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是_____． 项目应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 82 80 70 乙 80 90 62 【答案】乙 【分析】分别计算甲、乙两名应聘者的加权平均数，比较大小即可求解. 【详解】解：由题意得 ∴被录用的是乙. 【变式4-1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表． 精神面貌 演唱质量 整体规范 A 86 91 87 B 90 85 92 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为，那么两个班级的排名顺序又怎么样？ 【答案】(1) 排名顺序为B班第一，A班第二 (2) 排名顺序为A班第一，B班第二 【分析】（1）分别计算两个班级的平均数，通过比较平均数大小确定排名顺序； （2）分别计算两个班级的加权平均数，通过比较平均数大小确定排名顺序. 【详解】（1）解：；， ， 排名顺序为B班第一，A班第二； （2）解： ；， ， 排名顺序为A班第一，B班第二. 【变式4-2】（25-26九年级下·广东广州·月考）在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 (1)根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． (2)如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． (3)在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 【答案】(1)83，85，84 (2)八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名 (3)加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础 【分析】（1）按算术平均数的计算方法计算即可； （2）按加权平均数的计算方法计算再比较大小即可； （3）根据各数据给出合理建议即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：八（1）班的平均分为：83（分）， 八（2）班的平均分为：85（分）， 八（3）班的平均分为：84（分）， 故答案为：83，85，84； （2）解：八（1）班的加权成绩（分）， 八（2）班的加权成绩（分）， 八（3）班的加权成绩（分）， ， ∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名； （3）解：加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·单元复习）某公司需要经常快递物品，准备从A、B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A、B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)求表格中m、n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (2)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】(1)，，平台A的服务态度更好； (2)该公司会选择平台B． 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． （1）根据算术平均数公式计算，即可求解； （2）根据加权平均数计算，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴平台A的服务态度更好； （2）解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵， ∴该公司会选择平台B． 题型五 中位数 【例5】（2026·云南文山·一模）在某次“保护野生动物知识竞赛”中，有五位同学的成绩（满分分）分别为，这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数得到中位数． 【详解】解：将原数据从小到大排序，得 ∵这组数据共有个，是奇数， ∴中位数为排序后第个数， 第个数为， 即这组数据的中位数是． 【变式5-1】（2026·云南红河·一模）为落实“五项管理”中体质管理要求，某校开展了跳绳活动．体育老师统计了某小组5名同学一分钟跳绳次数（单位：次）分别为：，，，，．这组数据的中位数是（　　） A．159 B．160 C．165 D．166 【答案】C 【详解】解：将这组数据从小到大排序，得：， 这组数据共有个，个数为奇数， 排序后最中间位置的数，就是中位数，即． 【变式5-2】（2026·云南昆明·模拟预测）为传承傣族剪纸技艺，某中学社团记录了5个小组完成一幅剪纸作品的耗时（单位：分钟）：28，30，32，29，29，则这组数据的中位数是（   ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】B 【分析】根据中位数的计算规则，先将这组数据从小到大排序，数据个数为奇数，最中间的数就是这组数据的中位数，求解即可． 【详解】解：给出的这组数据为28，30，32，29，29， 将数据从小到大排序得 这组数据共有5个数，个数为奇数，中位数是排序后最中间的数， 最中间的数为第3个数，即这组数据的中位数是． 【变式5-3】（2026·云南昆明·一模）某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了10名参赛学生的成绩，绘制成如图所示的统计图，则参赛学生成绩的中位数是（  ） A．90 B．92.5 C．95 D．100 【答案】C 【分析】将10名参赛学生的成绩按照从小到大排列，找出位置在第个和第个的成绩，求这两个数的平均数即可得出结果． 【详解】解：将10名参赛学生的成绩按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，位置在第个和第个的成绩分别为，， 故参赛学生成绩的中位数是． 题型六 利用中位数求未知数的值 【例6】（2026·江苏徐州·一模）一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的概念，先根据数据个数确定中位数的位置，再结合中位数的值得到x的取值范围，最后结合选项得出答案． 【详解】解：∵这组数据共有7个数据，且7是奇数， ∴该组数据的中位数是从小到大排序后第4个数据； ∵该组数据中位数为6， ∴排序后第4个数为6. 将除x外的已知数据从小到大排序得：. 要使排序后第4个数为6，需满足； 观察选项，只有D选项的4满足条件 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义； 根据奇数个数据的中位数概念，确定的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数定义为：将数据从小到大排列后，奇数个数据的中位数是中间位置的数， ∵这组数据共5个，中位数是5， ∴将数据从小到大排列后，第3个数必须为5， ∴需满足， ∵选项中仅符合条件， 故选：D． 【变式6-2】（2026·河南·一模）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）在12~16之间，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：，众数是，由此得到答案． 【详解】解：由题图数据可知，年龄小于14岁的有人，大于14岁的有人， ∴这组数据的中位数为14岁， ∵队员年龄唯一的众数与中位数相等， ∴其众数也是14岁， 岁的队员最少有3人， ∴这个轮滑队队员最少是（人）． 【变式6-3】（2026·河北保定·二模）如图是某地某月1日－5日的每天最高气温．若该月1日－7日每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同，则6日与7日的最高气温可能是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：从折线图可得1日－5日的每天最高气温的中位数为，而1日－7日这七天的每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同， ∴6日与7日的温度既不能同时大于，也不能同时小于， 四个选项中，A选项中的两个温度都小于，C和D选项中的两个温度都大于，只有B选项符合． 题型七 利用中位数做决策 【例7】（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 【答案】A 【详解】解：∵7名学生分数互不相同，将分数从小到大排序后，中位数是第4个分数， 又∵比赛共设3个获奖名额，获奖的分数是排序后前3个分数，均大于中位数， ∴该学生只需将自己的分数与中位数比较，若分数大于中位数，则可以获奖，反之不能获奖， 因此他应该关注的统计量是中位数． 【变式7-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】B 【分析】本题考查统计量的实际意义，解题关键是明确不同统计量的作用，利用中位数的位置特征判断排名． 【详解】解：∵总共有9名学生，且所有学生成绩各不相同，将成绩从高到低排序后，第5名的成绩就是这组数据的中位数， ∴该同学想要知道自己是否进入前5名，只需将自己的成绩与中位数比较，即可得出结论， 因此需要了解这9名学生成绩的中位数． 【变式7-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛．若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道这15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】B 【分析】要判断某同学能否进入前7名，需要知道他的分数在15个分数中的相对位置．由于分数互不相同，中位数是第8名的分数，若某同学分数高于中位数，则一定在前7名内；若低于中位数，则一定不在前7名.因此只需知道中位数． 本题考查了中位数，熟练掌握中位数相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵有15位同学，分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛， ∴将分数从高到低排列，中位数是第8名的分数. 若某同学分数高于中位数，则其分数必在前7名内； 若低于中位数，则其分数不在前7名内. ∴只需知道中位数即可判断． 故选：B． 【变式7-3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位数的实际应用，先将一组数据从小到大排序后，求解中位数，根据约半数的数据不超过中位数，因此只需计算该组数据的中位数即可． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排序为：37，45，45，47，58，58，59，63，72，83， 又∵数据共有10个，为偶数个，中位数为中间两个数的平均数， ∴中位数为． ∴大约有半数的机动车的时速不会超过． 故选：C． 题型八 众数 【例8】（25-26八年级下·浙江温州·期中）一组数据1，2，7，5，5，则这组数据的众数是（） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据定义统计各数据出现次数，找出出现次数最多的数即可得到答案． 【详解】解：在数据，，，，中， 出现次，出现次，出现次，出现次， ∴是这组数据中出现次数最多的数，即这组数据的众数为． 【变式8-1】（2026·云南保山·一模）某中学九年级一名女生记录了她五天一分钟跳绳的最好成绩（单位：次），分别是：178，170，172，175，172．这组数据的众数是（   ） A．170 B．172 C．175 D．178 【答案】B 【分析】根据定义统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据为，，，，，统计各数据出现次数得：出现次，出现次，出现次，出现次． ∴出现次数最多的数据是，因此这组数据的众数是． 【变式8-2】（25-26九年级下·河南周口·期中）生物学科调查校园绿植生长高度，抽取10株绿植高度（单位：cm）：28，30，29，31，27，30，32，28，29，30，这组数据的众数是（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【分析】统计一组数据中每个数出现的次数，找出出现次数最多的数即为众数． 【详解】解：原数据为 统计得：出现次，出现次，出现次，出现次，出现次，出现次 是这组数据中出现次数最多的数， 因此这组数据的众数为． 【变式8-3】（2026·江苏苏州·一模）2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．18和20 B．18和21 C．20和18 D．20和21 【答案】A 【分析】本题考查众数和中位数的定义，解题思路为：先将数据从小到大排序，再根据定义分别求出众数和中位数即可得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序得： ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中18出现3次，次数最多 ∴众数为18 ∵这组数据共10个，为偶数个，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为第5个和第6个数，即20和20 ∴中位数为 因此这组数据的众数和中位数分别是18和20． 【变式8-4】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）数据0，，6，1，的众数为，则这组数据的中位数是（   ） A．6 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了众数，中位数，先结合出现次数最多的数为众数得出，再把原数据从小到大排序得，，0，1，6，根据中位数的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：∵数据0，，6，1，的众数为， ∴， 则把原数据从小到大排序得，，0，1，6， ∴位于中间位置的数为0， ∴这组数据的中位数是0． 题型九 利用众数做决策 【例9】（25-26八年级下·浙江温州·期中）在端午节到来之前，学校食堂推荐了三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下列选项中的统计量，最值得关注的是（   ） A．最高分与最低分 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】D 【详解】解：∵学校食堂最终要选择最多师生爱吃的店铺，需要关注数据中出现次数最多的结果， ∴最值得关注的统计量是众数． 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从10名候选人中选择1名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【分析】在投票中，获胜者应为得票最多者，即众数． 本题考查了众数的概念，熟练掌握众数是解题的关键． 【详解】解：∵ 投票结果中，获胜者由得票数最多决定， ∴ 需使用众数作为统计量． 故选：C． 【变式9-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 250 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【分析】本题考查不同统计量的概念，掌握各统计量的实际意义是解题关键． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中喜欢红色的学生人数最多，即红色是最受多数女生喜欢的颜色，符合众数代表的统计意义， ∴可以用众数解释学校选用红色的现象． 【变式9-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数据， 由表格可知，喜欢红色校服的学生人数为，远多于喜欢白色（人）和蓝色（人）的人数， 又∵学校最终决定选择红色校服， ∴其参考的统计量是众数． 题型十 离差平方和 【例10】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．离差平方和为40 【答案】C 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据的样本容量为10，平均数为4，无法计算出方差、中位数与离差平方和． 【变式10-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，枚举所有合理分组，分别计算各组的组内离差平方和（组内每个数据与组平均数差的平方和），比较后得到最小值. 【详解】解：将数据从小到大排列得：， 当分组为， 则， 的平均数为， ， ∴， 当分组为时，同法可得：； 当分组为3个数和3个数时，要使“组内离差平方和达到最小”，则应分组为和， 第一组平均数， ， 第二组平均数， ， 总离差平方和； 当分组为时，同法可得， 当分组为时，同法可得； 组内离差平方和的最小值为. 【变式10-2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 【变式10-3】（25-26八年级下·浙江台州·期中）某校生物小组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：，，，，，则下列说法中不正确的是（    ） A．种子发芽数的平均数是 B．种子发芽数的中位数是 C．种子发芽数的众数是 D．种子发芽数的离差平方和为 【答案】B 【分析】计算这组数据的平均数，判断A；将数据从小到大排序确定中位数，判断B；找出出现次数最多的数得到众数，判断C；计算各数据与平均数差的平方和得到离差平方和，判断D． 【详解】解：A、平均数，故A选项正确，该选项不符合题意； B、先将数据从小到大排序：，，，，， 个数据的中位数是第个数据，即，不是，故B选项错误，该选项符合题意； C、众数是一组数据中出现次数最多的数，出现了次，其余数各出现次，故众数是，C选项正确，该选项不符合题意； D、离差平方和= ， 故D选项正确，该选项不符合题意． 题型十一 离差平方和的应用 【例11】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 【答案】D 【分析】离差平方和最小是最小二乘法的核心原理，用于拟合数据模型，进而对未知情况进行预测． 【详解】解：A．比较两种药物疗效，属于效果对比，不适用该原理； B．将学生按成绩分组，属于分类分组问题，不适用该原理； C．分析股票价格波动，仅需通过离差平方和衡量波动程度，不需要使用离差平方和最小化的原理； D．预测天气变化，需要根据已有气象数据拟合变化规律，需要通过离差平方和最小得到最优拟合模型，再完成预测，故符合要求． 【变式11-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查方差的意义，方差越小数据越稳定，由于四位同学测试次数相同，方差与离差平方和成正比，只需比较离差平方和的大小即可判断稳定性． 【详解】解：∵四位同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中n为测试次数， ∴n相同，方差大小与离差平方和的大小一致. 又∵ ， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 【变式11-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 题型十二 方差 【例12】（25-26八年级下·浙江·期中）八年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（    ） 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 1 1 ■ ■ 6 7 8 A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数 【答案】C 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义，判断哪个统计量不受被遮盖数据影响． 【详解】解：∵总人数为30， ∴成绩为26、27的人数和为， ∵已知成绩中30分的人数最多，为8人，且26、27的人数和为7，二者单个的人数最多小于8，因此众数恒为30，与被遮盖数据无关， ∵30个数据的中位数是从小到大排列后第15、16个数据的平均数， 从小到大累计人数，到成绩27结束累计总人数为，到成绩28结束累计总人数为， 因此第15个数据为28，第16个数据为29，中位数是确定值，与被遮盖数据无关， 平均数和方差的计算需要用到所有数据，因此与被遮盖数据有关． 【变式12-1】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 【答案】C 【详解】解：由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10．无法确定方差、中位数和众数 【变式12-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【答案】C 【分析】先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有5个平方项， ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； 原数据为6，8，8，6，7计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 将平均数代入： ； ∴离差平方和为4，不是5 ∴C选项说法错误，符合题意． ， ∴D选项说法正确，不符合题意； 【变式12-3】（25-26八年级下·浙江·期中）在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、离差平方和、方差的意义即可判断结果； 【详解】解：∵9个互不相等的数从小到大排序后，中位数是排在中间位置的第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余7个分数重新排序，中位数仍是原数据中的第5个数， ∴中位数一定不会发生改变， 平均数受极端值影响，去掉两端分数后会改变，离差平方和与方差反映数据波动程度，数值也会发生改变． 题型十三 利用已知的方差，求相关数据的方差 【例13】（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）已知一组数据的平均数和方差分别为2022和5；则的平均数和方差分别是（    ） A．2027和0 B．2027和5 C．2022和25 D．2024和10 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差，掌握这些知识点是解题的关键． 根据数据平移对平均数和方差的影响求解即可． 【详解】解：∵一组数据的平均数和方差分别为2022和5， ∴每个数据加5后，新数据的平均数也加5，而每个数据加上相同常数时，数据间的差值不变，即方差保持不变， ∴的平均数为，方差为5． 故选B． 【变式13-1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知一组数据的平均数为4，方差是3，则另一组数据，的平均数和方差分别为（    ） A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的计算，分别根据公式计算即可． 【详解】解：平均数公式：若一组数据的平均数为a，则新数据的平均数为； 方差公式：若一组数据的方差为b，则新数据的方差为（A，B是常数）． 本题中， 平均数，方差． 【变式13-2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 【答案】C 【分析】此题考查了平均数和方差的求法． 根据平均数和方差的变化规律求解． 若原数据平均数为、方差为，则数据的平均数为，方差为． 【详解】解：∵原数据的平均数， 方差 ∴新数据的平均数 新数据的方差 ∴新数据的平均数和方差分别为9和9， 故选：C． 【变式13-3】（25-26八年级上·山东东营·期中）已知一组数据的方差为4，则另一组数据的方差为（　　　） A．11 B．9 C．16 D．4 【答案】C 【分析】本题考查方差的变换规律，涉及的知识点是“方差的性质：若一组数据的方差为，则数据的方差为（常数不影响方差的倍数变化，仅影响）”．解题方法是直接利用方差的变换公式计算新数据的方差；解题关键是牢记方差的变换规律，区分“加减常数不改变方差，乘除常数对方差的影响是平方倍”．易错点是混淆方差与平均数的变换规律，误将常数的影响计入方差．解题思路为：根据已知数据的方差，结合新数据的变换形式（乘加），利用方差变换公式计算新方差． 【详解】已知原数据的方差为． 对于新数据， 根据方差的性质：若原数据方差为， 则数据的方差为． 此处， 因此新数据的方差为： 故选C． 题型十四 利用方差求未知数的值 【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 【变式14-1】（25-26八年级上·山西运城·期末）吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，平均数，众数，根据方差算式可得这组数据为9，7，9，7，8，这组数据的平均数为8，则可求出这组数据的众数，再求出添加一个数8后的平均数和方差即可得到答案． 【详解】解：∵方差算式为， ∴这组数据为9，7，9，7，8，共5个数据，即，故A结论正确，不符合题意； 由方差算式可知平均数为8，故B结论正确，不符合题意； 这组数据中7和9均出现了2次，次数最多， 所以这组数据的众数为7和9，C结论错误，符合题意； 添加一个8后，数据为9，7，9，7，8，8，平均数仍为8， 原始方差， 新方差， ∴方差变小，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【变式14-2】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 【变式14-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 【答案】A 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 题型十五 利用方差做决策 【例15】（25-26八年级下·重庆·期中）甲、乙、丙、丁四位男同学在期末体育考试前进行次立定跳远测试，平均成绩都是米，方差分别是：，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，据此比较四个方差的大小即可求解． 【详解】解：∵四位同学平均成绩相同，方差分别为，，，， ∴， ∴丙的方差最小，成绩最稳定． 【变式15-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分，7.25分，8.72分，0.48分，则这四人中成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】比较四个方差的大小即可得到结果． 【详解】解：四人平均成绩相同，方差越小，成绩越稳定． 又∵，，，， ∴，丁的方差最小， ∴四人中成绩最稳定的是丁． 【变式15-2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）对于两组数据甲和乙，如果，且，则（   ） A．这两组数据的波动相同 B．数据甲的波动小一些 C．它们的平均水平不相同 D．数据乙的波动小一些 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的意义即可判断结果． 【详解】解：∵， ∴两组数据的平均水平相同； 又∵， ∴数据甲的波动比数据乙的波动小． 【变式15-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）八（2）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 96 98 98 方差 2.6 0.3 0.3 1.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题根据平均数和方差的意义选择参赛同学，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表成绩越稳定，据此决策即可． 【详解】解：∵丙、丁同学的平均数为，大于甲、乙同学的平均数， ∴应从丙和丁同学中选择， ∵丙同学的方差小于丁同学的方差， ∴丙同学的成绩更好且状态稳定，应选丙同学． 题型十六 四分位数 【例16】（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（    ） A．乙组的中位数是80分 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组成绩比甲组成绩集中 【答案】D 【分析】根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意． 【变式16-1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（    ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 【答案】D 【分析】根据四分位数的计算规则，先计算上下四分位数的位置，再通过累计频数确定对应位置的数字即可得到结果． 【详解】∵总数据量，将所有数字从小到大排列， 下四分位数位置为 ，故下四分位数取第22、23个数据的平均数， 上四分位数位置为 ，故上四分位数取第67、68个数据的平均数， 计算从小到大的累计频数： 数字0累计频数为7，数字1累计频数为，数字2累计频数为，数字3累计频数为34，数字4累计频数为42，数字5累计频数为49，数字6累计频数为58，数字7累计频数为，数字8累计频数为 ， ∴第22、23个数据均为2，故下四分位数为， 第67、68个数据均为8，故上四分位数为， 故选：D． 【变式16-2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意． 【变式16-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 【答案】A 【分析】本题考查了四分位数，众数，中位数．根据第一四分位数、第三四分位数、中位数、众数的定义及计算方法，逐一验证各选项即可． 【详解】解：依题意，第一四分位数即分位数， 需取年龄从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数， 则年龄从小到大排列后，得 ∴第5个数据为28，第6个数据为30， ∴ 第一四分位数为，故A选项正确 依题意，第三四分位数即分位数，， ∴需取年龄从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数， 则第15个数据为43，第16个数据为50，平均数为，故B选项错误， 依题意，中位数即分位数，， ∴ 需取年龄从小到大排列后第10个和第11个数据的平均数，第10个和第11个数据均为32，平均数为32，故C选项错误 ∵ 众数是出现次数最多的年龄，32出现的次数最多（5次）， ∴众数是32，故D选项错误， 故选：A． 题型十七 画箱线图 【例17】（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 【答案】(1)，， (2)图见解析，八年级名学生的成绩更集中、稳定，详见解析 【分析】（1）将七、八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可； （2）求出七年级成绩的下四分位数、上四分位数，求出中位数，作图比较即可得解； 【详解】（1）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，， 中位数， 八年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． 中位数，众数． （2）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． ∴上四分位数为，下四分位数为， 中位数， 作图如下， ∵八年级箱线图的范围（最小值到最大值）为到，下四分位数、上四分位数的范围为到，七年级为到，下四分位数、上四分位数的范围为到， ∴八年级的箱线图更短，中位数都为，说明八年级成绩的波动更小， ∴八年级名学生的成绩更集中、稳定． 【变式17-1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】(1)，，见解析； (2)； (3)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，，，补全箱线图即可； （2）根据平均数的概念求解即可； （3）用800乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可． 【详解】（1）解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如下： （2）解：八年级所抽取学生的平均成绩（分）； （3）解：（人）， ∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 【变式17-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 【变式17-3】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 【答案】(1)84，乙 (2)70，90，96 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数据的分析，包括平均数、利用方差判定稳定性、四分位数以及箱线图，解题关键是掌握以上定义． （1）根据平均数公式求出平均数，根据方差的意义判断稳定性即可； （2）根据四分位数定义求解即可； （3）根据四分位数画出甲的箱线图即可． 【详解】（1）解：（分）， ∵，，且， ∴乙的测试更稳定； 故答案为：84，乙； （2）解：将甲的成绩从小到大排列为60，68，70，78，89，91，92，96，96，100， 所以，， 故答案为：70，90，96； （3）解：绘制甲的箱线图如下： 题型十八 统计综合 【例18】（2026·湖北·一模）某公司生产A，B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地实效，工作人员从生产的这两种型号扫地机器人中各随机抽取台，在完全相同条件下试验，记录下它们除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 台A型扫地机器人的除尘量：，，，，，，，，，． 台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：，，，，． 抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 A B 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)若3月公司可生产B型扫地机器人共5000台，估计该月生产的B型扫地机器人“优秀”等级的台数； (3)如果你父母打算从该公司生产的这两种型号的扫地机器人中选购一种，你会建议他们选购哪种型号？请说明你的理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)；； (2)该月生产的B型扫地机器人“优秀”等级的台数约为台． (3)会建议他们选购型号，理由见解析 【分析】（1）根据众数的定义计算出，由统计图确定的值，再根据中位数的定义计算出； （2）根据样本中，B型机器人“优秀”等级的占比，乘以该月B型机器人的生产总量即可； （3）从平均数、中位数、众数、方差和优秀率的角度对比两种型号的扫地机器人，即可得出结论． 【详解】（1）解：A型扫地机器人的除尘量中，出现次，出现的次数最多， ∴众数为，即， B型扫地机器人的除尘量中，“合格”的数量为， ∴，即， B组的10个数中，第5个数对应“良好”的第3个数，即90；第6个数对应“良好”的第4个数，即90； ∴中位数为，即； （2）解：（台）， 答：该月生产的B型扫地机器人“优秀”等级的台数约为台． （3）解：建议买A型扫地机器人，理由如下： A型扫地机器人的优秀率高于B型扫地机器人，且A型的方差小于B型，说明A型的产品质量更加稳定．（言之有理即可） 【变式18-1】（2026·湖北孝感·一模）某书法协会的创意节目《墨韵AI》以人工智能演绎传统水墨画为核心亮点，受到广泛关注演出结束后，节目组收集了80名现场观众的评分，同时汇总了2400名线上观众的评分，并进行整理、描述、分析，部分信息如下： 统计量群体 平均数 中位数 众数 现场 8.1625 8 线上 7.88 8 根据以上信息，回答下列问题 (1)扇形统计图中_____________，9分所在扇形圆心角的度数为_____________； 表格中___________，___________ (2)该创意节目的线上观众有10000人，请你估算线上观众评分不低于9分的总人数． (3)小红认为现场观众群体的评分更能反映节目真实口碑，小李则认为线上观众的评分更具参考价值，你更支持谁的观点？请结合统计知识简要说明理由． 【答案】(1)25，，8，7 (2)3200人 (3)支持小李的观点，理由见解析 【分析】（1）根据频率、中位数和众数的定义求解即可； （2）总人数乘以对应百分比即可得出答案； （3）根据样本估计总体思想求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 9分所在扇形圆心角的度数为； 现场评分共80个数据，第40，41个数据的平均数即为中位数， 而，， ∴（分）； ∵线上观众打分为7分的占，占比最大， ∴线上打分的众数分； （2）解：线上观众评分不低于9分的总人数为（人）； （3）解：支持小李的观点，因为线上观众群体对节目的打分样本容量大，更能体现实际情况． 【变式18-2】（2026·重庆铜梁·二模）2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：A．，B．．，D．），部分信息如下： 七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92． 七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由． (3)已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（）的学生总人数． 【答案】(1)；； (2)选择八年级，理由见解析 (3)本次测试中成绩为优秀的学生总人数约为人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算出和，求出八年级C组的占比，进而求出所占的圆心角，得出的值； （2）从平均数、中位数、众数和方差的角度评价两个年级的成绩即可； （3）先计算出八年级成绩优秀的人数，再计算出两个年级成绩优秀的学生的占比，最后乘以七八年级的学生总数即可． 【详解】（1）解：∵七年级的10名学生的成绩中，第5个数为，第6个数为， ∴七年级的中位数为（分），即， ∵七年级的10名学生的成绩中，95出现2次，出现的次数最多， ∴七年级的众数为分，即， 八年级10名学生的成绩中，C组的占比为， ∴所占圆心角，即； （2）解：选择八年级，理由如下： 从平均数上看，两个年级的成绩一样，但从众数上看，八年级学生的成绩均优于七年级，且八年级的方差小于七年级，说明八年级学生的成绩更加集中和稳定．（言之有理即可） （3）解：八年级的C、D两组的人数为（人） ∴七、八年级抽取的学生中，成绩优秀的人数为（人），在样本中的占比为， （人）． 答：本次测试中成绩为优秀的学生总人数约为人． 【变式18-3】（2026·广西·一模）为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，规定跳绳次数不少于180次为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下： 甲班代表跳绳次数：160，160，160，160，170，170，170，170，180，180，180，180，180，180，190，190，190，190，190，200； 代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（） 甲班 177.5 180 12 乙班 182 180 14 丙班 180.5 180 14 (1)填空：___________，___________，___________； (2)若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（次）的学生总人数； (3)学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好？请结合统计量说明理由． 【答案】(1)180；190；180 (2)本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人 (3)乙班的跳绳训练成效更好，理由见解析 【分析】（1）根据各班的数据和中位数、众数的定义即可求解； （2）根据样本数据估计总体数据的方法即可求解； （3）从平均数，中位数，众数或优秀率方面进行比较即可确定． 【详解】（1）解：∵甲班代表跳绳次数从小到大排列的数据中第10位和第11位均为180， ∴中位数， ∵乙班代表跳绳次数的扇形统计图中190次占比为30%最多， ∴乙班代表跳绳次数的数据中众数， ∵从丙班代表跳绳次数的条形统计图可得数据中第10位和第11位均为180， ∴中位数． （2）解：达到“优秀”的学生总人数为（人） 答：本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人． （3）解：乙班的跳绳训练成效更好． 理由是：从表格看，三个班级的中位数相同，说明数据的中间水平一致；甲班优秀率60%，而乙、丙班的优秀率都是70%，但乙班的平均数和众数均高于甲、丙班，说明乙班训练成效更好．（答案不唯一，理由合理即可） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 数据的分析 一、数据的集中趋势 统计量 定义 计算公式/说明 核心特点 算术平均数 一组数据的 除以数据 充分利用所有数据，反映整体平均水平，易受 加权平均数 考虑各数据 （重要程度）的平均数 （wi为权重） 适用于数据重要性不同的场景，权重越大，对结果影响 中位数 将数据 后，中间位置的数值 1 n为奇数：取第 个数；② n为偶数：取第 和 个数的平均数 不受极端值影响，反映数据的 众数 一组数据中 的数 统计各数据的频数，取频数最高的数 反映数据的最常见值，可1个、多个、无，不受极端值影响 四分位数 将排序后的数据等分为4份的3个分位点，记为Q1（下四分位数/第25百分位数）、Q2（中位数/第50百分位数）、Q3（上四分位数/第75百分位数） ① ；② 用位置公式i= （p为百分位）确定位置③ 若i为整数，取第i和i+1个数的平均；若i非整数，向上取整取对应位置的数 刻画数据的分布位置，不受极端值影响，是 的核心 二、数据的离散程度 统计量 定义 计算公式 / 说明 核心特点 极差 一组数据中 极差= 计算最简单，仅反映极端值差距，易受极端值影响 离差平方和 各数据与平均数差的平方的 衡量数据总波动大小，是方差的 “原始形式”，n越大，值越大 方差 离差平方和的平均数（总体方差） 衡量数据的平均波动，方差越大，数据波动 、越 标准差 方差的 ​ 与原数据单位一致，更直观反映 四分位距（IQR） 上四分位数与下四分位数的差 IQR=Q3−Q1​ 反映中间50%数据的波动，完全不受极端值影响，是箱线图判断异常值的核心 三、数据的可视化与分布 1. 箱线图 构成要素： · 箱体：左边界为Q1，右边界为Q3，箱体长度为IQR； · 箱内横线：中位数Q2； · 须线：从箱体延伸至非异常值的 ； · 异常值：超出[Q1−1.5IQR,Q3+1.5IQR]范围的数据，用单独点标注. 作用：直观展示数据的集中趋势、离散程度、偏态分布，快速识别异常值，适合多组数据对比. 2. 用样本估计总体 核心逻辑：当总体数量大、无法全面调查时，用样本的 、 、 估计总体的对应统计量. 抽样要求：样本需具有代表性、广泛性、随机性，才能保证估计的准确性. 1.集中趋势相关易错点 错误1：求中位数/四分位数时忘记先排序； 错误2：混淆算术平均数与加权平均数； 错误3：认为众数唯一； 错误4：四分位数位置计算错误。 2.离散程度相关易错点 错误1：混淆离差平方和与方差； 错误2：方差计算漏除以数据个数n； 错误3：极差/四分位距计算顺序颠倒； 3.箱线图相关易错点 错误1：箱线图的箱体边界理解错误； 错误2：箱线图的须线绘制错误； 错误3：用箱线图判断平均数。 4.样本估计总体相关易错点 错误1：样本不具代表性，直接估计总体； 错误2：混淆样本与总体的统计量。 题型一 平均数 【例1】（2026·云南西双版纳·一模）小智参加演讲比赛，五位评委给他打的分值分别是：6分，7分，8分，9分，10分．五位评委所给分值的平均数是小智的最终得分，则他的最终得分是（   ） A．8分 B．分 C．9分 D．分 【变式1-1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班举行的“3V3篮球挑战赛”中，小明5场比赛的得分分别为：9，7，8，10，7．这五次得分的平均数是__________分． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在青年歌手电视大奖赛中，采用10位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉一个最低分和一个最高分后的平均分，已知10位评委给某位歌手的打分分别是（单位：分）：，，，，，，，，，．则这位歌手的最后得分为___________分 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 题型二 利用已知的平均数，求相关数据的平均数 【例2】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 【变式2-1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 【变式2-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）若一组数据，，…，的平均数为6，则数据，，…，的平均数为______． 【变式2-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 题型三 加权平均数 【例3】（2026·河南信阳·一模）楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为10，若依次按照的比例确定成绩，小明这四项得分依次为9，8，7，6，则小明这四项综合得分为（    ） A．8 B．7.7 C．7.5 D．7 【变式3-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、86分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为________分． 【变式3-2】（2026·河南周口·模拟预测）某在线教育平台根据讲师近六个月的“课程内容质量”和“互动答疑效果”两项评分综合计算教师评分，两项权重及得分如下表所示，则该讲师的综合评分为_____分． 课程内容质量 互动答疑效果 得分 85 95 权重 【变式3-3】（2026·江苏徐州·一模）为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 若把读、听、写的成绩按计入总分，则小丽的个人总分为_______分． 题型四 利用加权平均数做决策 【例4】（2026·河南洛阳·一模）某公司欲招聘一名职员，对甲、乙两名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示．如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是_____． 项目应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 82 80 70 乙 80 90 62 【变式4-1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表． 精神面貌 演唱质量 整体规范 A 86 91 87 B 90 85 92 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为，那么两个班级的排名顺序又怎么样？ 【变式4-2】（25-26九年级下·广东广州·月考）在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 (1)根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． (2)如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． (3)在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·单元复习）某公司需要经常快递物品，准备从A、B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A、B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)求表格中m、n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (2)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 题型五 中位数 【例5】（2026·云南文山·一模）在某次“保护野生动物知识竞赛”中，有五位同学的成绩（满分分）分别为，这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·云南红河·一模）为落实“五项管理”中体质管理要求，某校开展了跳绳活动．体育老师统计了某小组5名同学一分钟跳绳次数（单位：次）分别为：，，，，．这组数据的中位数是（　　） A．159 B．160 C．165 D．166 【变式5-2】（2026·云南昆明·模拟预测）为传承傣族剪纸技艺，某中学社团记录了5个小组完成一幅剪纸作品的耗时（单位：分钟）：28，30，32，29，29，则这组数据的中位数是（   ） A．28 B．29 C．30 D．32 【变式5-3】（2026·云南昆明·一模）某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了10名参赛学生的成绩，绘制成如图所示的统计图，则参赛学生成绩的中位数是（  ） A．90 B．92.5 C．95 D．100 题型六 利用中位数求未知数的值 【例6】（2026·江苏徐州·一模）一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式6-2】（2026·河南·一模）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）在12~16之间，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式6-3】（2026·河北保定·二模）如图是某地某月1日－5日的每天最高气温．若该月1日－7日每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同，则6日与7日的最高气温可能是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型七 利用中位数做决策 【例7】（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 【变式7-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【变式7-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛．若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道这15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【变式7-3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 题型八 众数 【例8】（25-26八年级下·浙江温州·期中）一组数据1，2，7，5，5，则这组数据的众数是（） A．1 B．2 C．5 D．7 【变式8-1】（2026·云南保山·一模）某中学九年级一名女生记录了她五天一分钟跳绳的最好成绩（单位：次），分别是：178，170，172，175，172．这组数据的众数是（   ） A．170 B．172 C．175 D．178 【变式8-2】（25-26九年级下·河南周口·期中）生物学科调查校园绿植生长高度，抽取10株绿植高度（单位：cm）：28，30，29，31，27，30，32，28，29，30，这组数据的众数是（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【变式8-3】（2026·江苏苏州·一模）2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．18和20 B．18和21 C．20和18 D．20和21 【变式8-4】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）数据0，，6，1，的众数为，则这组数据的中位数是（   ） A．6 B． C．0 D．1 题型九 利用众数做决策 【例9】（25-26八年级下·浙江温州·期中）在端午节到来之前，学校食堂推荐了三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下列选项中的统计量，最值得关注的是（   ） A．最高分与最低分 B．平均数 C．中位数 D．众数 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从10名候选人中选择1名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【变式9-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 250 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【变式9-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 题型十 离差平方和 【例10】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．离差平方和为40 【变式10-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 【变式10-2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【变式10-3】（25-26八年级下·浙江台州·期中）某校生物小组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：，，，，，则下列说法中不正确的是（    ） A．种子发芽数的平均数是 B．种子发芽数的中位数是 C．种子发芽数的众数是 D．种子发芽数的离差平方和为 题型十一 离差平方和的应用 【例11】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 【变式11-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式11-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 题型十二 方差 【例12】（25-26八年级下·浙江·期中）八年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（    ） 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 1 1 ■ ■ 6 7 8 A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数 【变式12-1】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 【变式12-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【变式12-3】（25-26八年级下·浙江·期中）在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 题型十三 利用已知的方差，求相关数据的方差 【例13】（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）已知一组数据的平均数和方差分别为2022和5；则的平均数和方差分别是（    ） A．2027和0 B．2027和5 C．2022和25 D．2024和10 【变式13-1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知一组数据的平均数为4，方差是3，则另一组数据，的平均数和方差分别为（    ） A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3 【变式13-2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 【变式13-3】（25-26八年级上·山东东营·期中）已知一组数据的方差为4，则另一组数据的方差为（　　　） A．11 B．9 C．16 D．4 题型十四 利用方差求未知数的值 【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【变式14-1】（25-26八年级上·山西运城·期末）吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【变式14-2】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【变式14-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 题型十五 利用方差做决策 【例15】（25-26八年级下·重庆·期中）甲、乙、丙、丁四位男同学在期末体育考试前进行次立定跳远测试，平均成绩都是米，方差分别是：，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式15-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分，7.25分，8.72分，0.48分，则这四人中成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式15-2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）对于两组数据甲和乙，如果，且，则（   ） A．这两组数据的波动相同 B．数据甲的波动小一些 C．它们的平均水平不相同 D．数据乙的波动小一些 【变式15-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）八（2）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 96 98 98 方差 2.6 0.3 0.3 1.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型十六 四分位数 【例16】（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（    ） A．乙组的中位数是80分 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组成绩比甲组成绩集中【变式16-1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（    ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 【变式16-2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 【变式16-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 题型十七 画箱线图 【例17】（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 【变式17-1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【变式17-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【变式17-3】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 题型十八 统计综合 【例18】（2026·湖北·一模）某公司生产A，B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地实效，工作人员从生产的这两种型号扫地机器人中各随机抽取台，在完全相同条件下试验，记录下它们除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 台A型扫地机器人的除尘量：，，，，，，，，，． 台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：，，，，． 抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 A B 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)若3月公司可生产B型扫地机器人共5000台，估计该月生产的B型扫地机器人“优秀”等级的台数； (3)如果你父母打算从该公司生产的这两种型号的扫地机器人中选购一种，你会建议他们选购哪种型号？请说明你的理由（写出一条理由即可）． 【变式18-1】（2026·湖北孝感·一模）某书法协会的创意节目《墨韵AI》以人工智能演绎传统水墨画为核心亮点，受到广泛关注演出结束后，节目组收集了80名现场观众的评分，同时汇总了2400名线上观众的评分，并进行整理、描述、分析，部分信息如下： 统计量群体 平均数 中位数 众数 现场 8.1625 8 线上 7.88 8 根据以上信息，回答下列问题 (1)扇形统计图中_____________，9分所在扇形圆心角的度数为_____________； 表格中___________，___________ (2)该创意节目的线上观众有10000人，请你估算线上观众评分不低于9分的总人数． (3)小红认为现场观众群体的评分更能反映节目真实口碑，小李则认为线上观众的评分更具参考价值，你更支持谁的观点？请结合统计知识简要说明理由． 【变式18-2】（2026·重庆铜梁·二模）2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：A．，B．．，D．），部分信息如下： 七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92． 七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由． (3)已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（）的学生总人数． 【变式18-3】（2026·广西·一模）为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，规定跳绳次数不少于180次为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下： 甲班代表跳绳次数：160，160，160，160，170，170，170，170，180，180，180，180，180，180，190，190，190，190，190，200； 代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（） 甲班 177.5 180 12 乙班 182 180 14 丙班 180.5 180 14 (1)填空：___________，___________，___________； (2)若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（次）的学生总人数； (3)学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好？请结合统计量说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $