专题02 勾股定理（考点清单+思维导图+三大考点9种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节期末复习培优题型变式专练（人教版）

专题02 勾股定理 1 勾股定理 1．勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 2．直角三角形斜边上的高 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 2勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 3勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 4如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如）. 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形， 其中为三角形的最大边. 5.勾股定理的逆定理 1．勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边． ②当满足时，是斜边，是直角． ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 目录 【题型一 利用勾股定理的性质求线段长】 2 【题型二 勾股树（数）问题】 4 【题型三 勾股定理与折叠问题】 5 【题型四 利用勾股定理的性质求面积】 8 【题型五 判断三边能否构成直角三角形】 9 【题型六 利用勾股定理的逆定理求解】 11 【题型七 勾股定理的逆定理的实际应用】 13 【题型八 勾股定理在实际生活中的应用】 16 【题型九 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 18 【题型一 利用勾股定理的性质求线段长】 例题：（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，，，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是勾股定理，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：20． 【变式训练】 1．（2025·天津·二模）如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，由作图可知，垂直平分，易得；设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，可有， ∴，解得， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，AD平分，过点D作交AB于点E．若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，等角对等边；由平行及角平分线的条件得；设，则，在中，由勾股定理建立方程求得x的值，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴； ∵AD平分， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故选：D． 【题型二 勾股树（数）问题】 例题：（24-25八年级下·安徽宣城·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．，， D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足，那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、， 7，12，13不是勾股数，故该选项不符合题意； B、， 3，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意； C、，，不是正整数， ，，不是勾股数，故该选项不符合题意； D、， 9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 【题型三 勾股定理与折叠问题】 例题：（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理与折叠的问题． 【详解】解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得：，即可求解 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质得， ． 故选：B 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了轴对称性质，直角三角形的性质，勾股定理定理，利用勾股定理求出线段是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出线段，根据轴对称的性质，最后求得的长； （2）由翻折知，在中，利用勾股定理求出，在中，求出，即可求得的周长． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 由折叠得： ， 的长为4； （2）由翻折得， ， 在中，， 设，则， ， 解得， ， 在中，， 的周长． 【题型四 利用勾股定理的性质求面积】 例题：（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）若等边三角形的周长为12，求该的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，画出图形，可得，利用勾股定理即可解答，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，是等边三角形的周长为12， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图字母所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．144 D．194 【答案】C 【分析】此题主要考查勾股定理．根据已知两个正方形的面积169和25，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积． 【详解】解：∵， ∴字母所代表的正方形的面积． 故选：C． 2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，则中间小正方形的面积是（   ） A．144 B．49 C．64 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的勾股定理的证明，理解图示中四个全等直角三角形的边的关系与小正方形边的关系是解题的关键． 由四个全等的直角三角形可知，已知，则在直角三角形中可求出的长度，即小正方形的边长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，，且， ， ， ∴，即小正方形的边长是7， ∴小正方形的面积为， 故选：B． 【题型五 判断三边能否构成直角三角形】 例题：（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形中，若两较短的边的长的平方和等于最长边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为2，3，4的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段能构成直角三角形，符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．3，5，8 D．，， 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选A． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知、、为的三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理的逆定理，将等式化为是解题的关键． 将等式化为，根据等式成立的条件进而判定三角形的形状即可． 【详解】解： ①当时，上式成立，此时为等腰三角形； ②当时，上式为，此时为直角三角形； 故选：D． 【题型六 利用勾股定理的逆定理求解】 例题：（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，连接， 由勾股定理求得的值，再证明为直角三角形，得到，最后根据代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ∵，，，， ∴根据勾股定理得：， 又∵，， ∴，， ， 为直角三角形，， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【答案】 【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴ 为等边三角形， ∴，， 又∵， ，， ∴，   ，   ， ∴ ∴为直角三角形， ∴ ， ∴． 【题型七 勾股定理的逆定理的实际应用】 例题：（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，某校有一块四边形劳动基地，现计划在劳动基地种植绿植，测得，米，米，米，米，若每平方米所种绿植需要100元，问需要投入多少钱． 【答案】需要投入1850元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；连接，由勾股定理可得米，然后根据勾股定理逆定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵米，米，， ∴米， ∵米，米， ∴， ∴， ∴平方米， ∴（元）， 答：需要投入1850元． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 【答案】这片绿地的面积是 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理等知识． 连接，勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ， ，， ， 是直角三角形，， ， ， ， 答：这片绿地的面积是． 【题型八 勾股定理在实际生活中的应用】 例题：（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，李明想知道学校旗杆的高度．他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端处，发现此时绳子底端距离打结处．则旗杆的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为，根据勾股定理得出，求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为， 由题意并结合勾股定理可得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一梯子斜竖在垂直于地面的墙上，若，，则梯子的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴由勾股定理可得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 【题型九 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 例题：（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，展开后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，根据题意可知最短距离为，，， 根据勾股定理得：， 蚂蚁爬行的最短距离为， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，沿过点A的圆柱母线剪开得展开图如下，则蚂蚁从A爬行到点B的最短距离为线段的长， 由题意得，， ∴， ∴从点A爬到点B的最短路程是， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．4，5，6 C．1，1， D．7，24，25 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴，，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、∵， ∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长，符合题意； C、∵， ∴，1，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、∵， ∴7，24，25能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：B. 3．（2025·浙江台州·二模）如图，大正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形的面积为（   ） A．5 B． C．10 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．设直角三角形较短直角边为，较长直角边为，由题意得，求得①，由，求得②，据此求解即可． 【详解】解：设直角三角形较短直角边为，较长直角边为， 由题意得，即①， ， ∵， ∴， ∴， ∴②， 得， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：D． 4．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 5．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，AD平分，过点D作交AB于点E．若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，等角对等边；由平行及角平分线的条件得；设，则，在中，由勾股定理建立方程求得x的值，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴； ∵AD平分， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则代表的正方形的面积是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，掌握以勾股定理的计算为背景是关键． 根据图示，运用以勾股定理为背景得计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为：100 ． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，E为中点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先根据，为中点，得出，证明，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 的长为． 故答案为：． 8．（2025·青海西宁·二模）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为，摆至最高位置时与最低位置时的高度之差为，则该秋千的绳长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意可证，，，设，则，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， 故答案为： ． 9．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，当点、、在同一条直线上时，最短， 则此时为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，已知，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，连接，得出为等腰直角三角形，得到，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，， 为等腰直角三角形， ∴， 在中， ， 在中，， 是直角三角形，且， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）哪吒在陈塘关附近的海滩上发现了一个神秘的三角形标记，如图，在中，厘米，厘米，交于点，厘米，哪吒想知道这个三角形标记上的长度是多少厘米，你能帮他算出来吗？ 【答案】能，． 【分析】本题考查了勾股定理，因为，所以把分成了两个直角三角形，根据厘米，厘米，利用勾股定理求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，根据求出结果即可． 【详解】解：， ， 在中，厘米，厘米， 厘米， 在中，厘米，厘米， 厘米， 厘米． 答：能帮哪吒算出来，的长度是厘米． 12．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：如图，四边形中，，，，，， (1)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形. (2) 【分析】本题考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可． 【详解】（1）是直角三角形， 理由：在中，，，， ． ，，， ，， ， 是直角三角形，； （2）解：； ， ， 四边形的面积为84． 13．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 【答案】7200元 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此得四边形由和构成，即可求解． 【详解】解：连接， 在 中，， 在中，，且， 即， ， ， ， 所以需费用（元）． 14．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小明等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离；（取1.7） (2)通过计算，试判断此车是否超过了80的限制速度？ 【答案】(1) (2)超过了的限制速度 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）先说明，然后根据含30度角直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可求得的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：小车的速度为： ∴此车超过的限制速度． 15．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理可得，再由三线合一定理得到，则可利用勾股定理求出的长，进而得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， ，点是的中点， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 1 勾股定理 1．勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 2．直角三角形斜边上的高 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 2勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 3勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 4如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如）. 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形， 其中为三角形的最大边. 5.勾股定理的逆定理 1．勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边． ②当满足时，是斜边，是直角． ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 目录 【题型一 】 1 【题型二 】 1 【题型三 】 1 【题型四 】 1 【题型五 】 1 【题型六 】 1 【题型七 】 1 【题型八 】 1 【题型一 利用勾股定理的性质求线段长】 例题：（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，，，，则 ． 【变式训练】 1．（2025·天津·二模）如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．3 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，AD平分，过点D作交AB于点E．若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D．5 【题型二 勾股树（数）问题】 例题：（24-25八年级下·安徽宣城·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．，， D．9，12，15 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型三 勾股定理与折叠问题】 例题：（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． (1)求的长； (2)求的周长． 【题型四 利用勾股定理的性质求面积】 例题：（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）若等边三角形的周长为12，求该的面积 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图字母所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．144 D．194 2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，则中间小正方形的面积是（   ） A．144 B．49 C．64 D．25 【题型五 判断三边能否构成直角三角形】 例题：（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，3，4 C．3，5，8 D．，， 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知、、为的三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【题型六 利用勾股定理的逆定理求解】 例题：（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【题型七 勾股定理的逆定理的实际应用】 例题：（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，某校有一块四边形劳动基地，现计划在劳动基地种植绿植，测得，米，米，米，米，若每平方米所种绿植需要100元，问需要投入多少钱． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 【题型八 勾股定理在实际生活中的应用】 例题：（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，李明想知道学校旗杆的高度．他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端处，发现此时绳子底端距离打结处．则旗杆的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一梯子斜竖在垂直于地面的墙上，若，，则梯子的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【题型九 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 例题：（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．（结果保留） 2．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．4，5，6 C．1，1， D．7，24，25 3．（2025·浙江台州·二模）如图，大正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形的面积为（   ） A．5 B． C．10 D．13 4．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，AD平分，过点D作交AB于点E．若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D．5 二、填空题 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则代表的正方形的面积是 ． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，E为中点，连接，若，，则的长为 ． 8．（2025·青海西宁·二模）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为，摆至最高位置时与最低位置时的高度之差为，则该秋千的绳长为 ． 9．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 10．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，已知，则的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）哪吒在陈塘关附近的海滩上发现了一个神秘的三角形标记，如图，在中，厘米，厘米，交于点，厘米，哪吒想知道这个三角形标记上的长度是多少厘米，你能帮他算出来吗？ 12．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：如图，四边形中，，，，，， (1)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 13．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 14．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小明等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离；（取1.7） (2)通过计算，试判断此车是否超过了80的限制速度？ 15．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若． (1)求证：； (2)求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$