作业考试化08（范围：三角形“四心”、外接球）专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦三角形“四心”与外接球专项，通过概念辨析、定理应用及综合计算，系统衔接平面几何与立体几何，培养空间观念和推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形“四心”判定|5题（1-4,8）|线面垂直条件下心的类型判断|平面“四心”概念向立体延伸，用垂直性质推导位置关系| |空间线面关系判断|2题（5-6）|线面、面面位置关系命题判断|空间几何定理直接应用，构建平行与垂直推理链条| |外接球计算|2题（7,9）|几何体棱长求外接球表面积/半径|利用直角三角形、垂心性质确定球心，结合勾股定理计算半径| |正方体综合应用|1题（10）|线面证明、面面关系及体积等计算|以正方体为载体，综合考查空间证明与计算，体现知识应用综合性|

永年二中高一数学必修二作业考试化08 考试范围：三角形“四心”+外接球 班级 姓名 1．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题（1）】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.若，则点O是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题（3）】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.若，，，垂足都为P，则点O是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题改编】在三棱锥中，，过作平面，为垂足，为的中点，则下列结论中肯定成立的是（    ） A． B． C． D．，，三点共线 4．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题改编】过所在平面外的一点P，作，垂足为O，若点P到直线AB，AC和BC的距离都相等，则点O是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 5．设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（多选题）已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．，，则或 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 7．已知所在平面外有一点，连接，，，若，，，则四面体外接球的表面积为 ． 8．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题（2）】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.若，，则点O是边的______点. 9．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题改编】已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则______. 10．【人教A版数学必修二8.5.2练习第2题改编】如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面； (2)若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． (3)设该正方体棱长为，求三棱锥的体积和表面积. (4)设该正方体棱长为，求点D到平面AEC的距离； (5)设该正方体棱长为，若球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化08 考试范围：三角形“四心”+外接球 班级 姓名 1．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题（1）】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.若，则点O是的（ ）心. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】如图，因为，所以，，故，又，,所以，故可得，同理可得 所以点O是的外心； 2．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题（3）】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.若，，，垂足都为P，则点O是的（ ）心. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】因为，，且，平面，所以平面，所以， 因为，所以，又，平面，所以平面，所以，同理可得：,，故点O是的垂心。 3．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题改编】在三棱锥中，，过作平面，为垂足，为的中点，则下列结论中肯定成立的是（    ） A． B． C． D．，，三点共线 【答案】B 【解析】根据垂直关系，证明平面，再判断选项. 【详解】平面，平面，，，点是的中点，，，平面，平面，，，故B正确；不能推出选项. 4．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题改编】过所在平面外的一点P，作，垂足为O，若点P到直线AB，AC和BC的距离都相等，则点O是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定及性质可得，，，由勾股定理可知，即可确定O的性质. 【详解】 由题设，可得如图示意图：分别是的高，即，又面，而面，面，面，∴、、，又，，，∴面，面，面，又面，面， 面，∴，，，在中，，，.∴，故O一定是的内心. 5．设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐一判断即可． 【详解】对于A，由，与可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由，与可能平行或相交，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对于D，由，则与可能平行或异面，故D错误. 6．（多选题）已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．，，则或 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 【答案】AD 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】A：由线面平行的性质可得若，，则或，正确； B：若，，，，且与相交，则，故原条件缺少与相交，错误； C：若平面相交，均平行于交线，满足，，，此时不平行，错误； D：由面面平行的判定定理可得若，，，，，则，正确； 7．已知所在平面外有一点，连接，，，若，，，则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】应用直线与平面垂直的判定和性质，平面几何中三角形的重心、垂心和外心以及外接球半径的知识，即可解决． 【详解】由，， ，知四面体对棱相等，故如图,要求四面体外接球的表面积，即求以该四面体的棱作为面对角线的长方体的外接球的表面积，设长方体的棱长为，则,所以长方体的体对角线为，故，∴四面体外接球的表面积为. 8．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题（2）】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的______心.若，，则点O是边的______点. 【答案】中 【解析】由可得，，根据题意可得，可得，从而可得，从而可得点O是的外心，又因为，根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半得到点O为斜边的中点，即为边的中点. 9．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题改编】已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则______. 【答案】4 【分析】根据线面垂直和等腰三角形三线合一的性质得到点为中点，然后根据直角三角形的性质求即可. 【详解】因为平面，平面，所以，因为，所以点为中点，因为，，所以. 10．【人教A版数学必修二8.5.2练习第2题改编】如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面； (2)若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． (3)设该正方体棱长为，求三棱锥的体积和表面积. (4)设该正方体棱长为，求点D到平面AEC的距离； (5)设该正方体棱长为，若球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积. 【答案】(1)证明见解析；(2)平面平面，证明见解析. (3)表面积为，体积为. (4)； (5) 【详解】（1）连接，交于，连接，由正方体的结构易知为的中点， 又E为的中点，则，平面，平面，所以平面； （2）平面平面，证明如下： 由F为的中点，连接；E为的中点，易知， 所以为平行四边形，则，由平面，平面，则平面， 由（1）平面，且，平面，所以平面平面. （3）显然两两垂直，而，则，又是的中点， 则，，所以三棱锥的体积为； 表面积为. （4） 因为正方体中，平面，由于平面，所以，.因为正方体的棱长为，E为的中点，所以.因为， 所以.设到平面的距离为，，，解得. （5）设球的半径为，该球的直径为面对角线长，即，，所以该球的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $